Объём тел вращения

37

него фигура, состоящая из двух треугольников $BB_1D_1$ и $A_1B_1D_1$ эквивалентны при врашении относительной диагонали $BD_1$, то есть дают одно и то же тело (проверьте это!). Искомый объем $v = v_1 + v_2$, где $v_1$ и $v_2$ — объемы, полученные врашением треугольников $BB_1D_1$ и $A_1B_1D_1$ вокруг оси $BD_1$. Так как $BD_1 = a\sqrt{3}$ и $B_1O_1 = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ (где $B_1O_1 \perp BD_1$), то $v_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot B_1O_1^2 \cdot BD_1 = \frac{2\pi a^3\sqrt{3}}{9}$.

Объем $v_2$ равен объему тела, полученного врашением треугольника $A_1B_1D_1$ относительно оси $B_1D_1$, умножением на cos $\theta$, где $\theta$ — угол наклона диагонали $BD_1$ к плоскости треугольника $A_1B_1D_1$ (по теореме 2).

Заметив, что cos $\theta = \frac{B_1D_1}{BD_1} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, легко найти $v_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot A_1O_1^2 \cdot B_1D_1 \times \cos \theta = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{9}$. Искомый объем $v = v_1 + v_2 = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$.

Задача 2. Одна из двух взаимно перpendикулярных плоскостей параллельна основанием правильно шестмугольной прізмы и относим от ее центра на 3 а; другая относим от центра прізмы на 2a$\sqrt{3}$. Большая диагональ относия прізмы параллельна линии $l$, по коморой пересекаются указанные плоскости, а ребра прізмы равны $a$. Найти объем тела,

$$v_2 = \left( \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3} \right) \cdot 2\pi (2a\sqrt{3}) = 18\pi a^3.$$

Искомый объем: $v = 30\pi a^3$.

В заключение — несколько задач для самостоятельного решения.

1. Найти объем тела, полученного врашением круга радиуса $R$, если ось врашения наклона к плоскости круга под углом $\theta$, а ее проекция на его плоскость: а) проходит через центр круг; б) проходит на расстоянии $m > R$ от центра круг.

2. Плоскость $\alpha$ параллельна основанием цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $2R$ и проходит на расстоянии $2R$ от его центра. Примяя $l$ лежит в плоскости $\alpha$ и находится на расстоянии $2R$ от проекции цилиндра на плоскость $\alpha$. Найти объем тела, полученного врашением цилиндра вокруг оси $l$.