Об одном геометрическом месте точек

45

И. Ф. Шарыzin
Об одном геометрическом месте точек

В «Кванте» №11 за 1972 год в «Задачике «Кванта» была предложена задача M174. Вом ее условия.

На сторонах треугольника ABC, как на основаниях, построены равноведные треугольники AB₁C, BA₁C и AC₁B (рис. 1). Доказите, что перпендикуляры, опущенные из точки A, B и C соответственно на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

В публикуемой статье расссказано об одном довольно общем методе решения задачи макого типа, в частности, решения задачи M174. В конце статьи приведены задачи для самостоятельного решения.

Довольно часто встречаются задачи, в которых требуется доказать, что какие-то три или более прямых пересекаются в одной точке. Нередко эти задачи можно решать так: доказать, что две из расматриваемых прямых пересекаются в точке, удовлетворяющей некоторому условию, которое удовлетворяют все точки третьей прямой и только они. В качестве примера можно привести следующие две теоремы из школьного учебника: bicсектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке; перпендикуляры, восставленные к середinem сторонам треугольника, пересекаются в одной точке.

Аналогично, если требуется доказать, что какие-то три или более точки лежат на одной прямой, то можно попытаться доказать, что все расматриваемые точки удовлетворяют условию, которое удовлетворяют все точки некоторых прямой и только они (подобные расужения можно проводить не только для прямых, но и, например, для окружностей).

Об одном геометрическом месте точек, помогающим решать подобные задачи, мы сейчас и рассакжем.

Формулировки утверждения

Утверждение 1. Пусть A₁ и A₂ — две фиксированные (различные) точки плоскости; k, k₁ и k₂ — действительные числа. Тогда геометрическим местом точки M таких, что

k₁ (A₁M)² + k₂ (A₂M)² = k,
будем:

a) окружность или одна точка, или пустое множество, если k₁ + k₂ ≠ 0;

b) прямая линия, перпендикулярная отрезку A₁A₂, если k₁ + k₂ = 0 (но k₁ ≠ 0).

Рис. 1.

46

Справедливо и обобщение утверждения 1 для большого числа точек.

Утверждение 2. Пусть $A_1, A_2, \dots, A_n$ — фиксированные точки плоскости, $k_1, k_2, \dots, k_n$ (все $k_i \neq 0$) — данные числа. Тогда геометрическим местом точек $M$ также, что сумма
$$k_1(A_1M)^2 + k_2(A_2M)^2 + \dots + k_n(A_nM)^2$$
постоянна, будем
a) округность, точка или пустое множество, если $k_1 + k_2 + \dots + k_n \neq 0$;
b) пряма или вся плоскость, если $k_1 + k_2 + \dots + k_n = 0$.

С помощью утверждения 16 можно доказать следующее весма полезное условие.

Утверждение 3. Для того, чтобы перепределки, опущенные из точек $A_1, B_1$ и $C_1$ соответствовали на стороны BC, AC и AB треугольника ABC, пересекались в одной точке, необходимimo и достаточно, чтобы выполнять равенство
$$(A_1B)^2 - (BC_1)^2 + (C_1A)^2 - (AB_1)^2 + (B_1C)^2 - (CA_1)^2 = 0.$$ (1)

Из последнего утверждения вытекает такое следствие.

Утверждение 4. Если перепределки, опущенные из вершин $A_1, B_1, C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ на стороны BC, AC и AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке, то и перепределки, опущенные из точек $A, B$ и $C$ на прямые $B_1C_1, A_1C_1$ и $A_1B_1$, также пересекаются в одной точке.

Попробуйте самостояльно доказать все эти утверждения. Мы же сначала покажем, как с помощью утверждения 3 или 4 решить задачу M174, а затем докажем сами утверждения.

Решение задачи M174

Согласно утверждения 3 нам надо проверить справедливо следующую равенства (см. рис. 1):
$$(AB_1)^2 - (B_1C)^2 + (CA_1)^2 - (A_1B)^2 + (BC_1)^2 - (C_1A)^2 = 0.$$

Рис. 2.

47

откуда
$(MD)^2 = \frac{k - k_1(A_1D)^2 - k_2(A_2D)^2}{k_1 + k_2} = C$.

В правой части последнего равенства мы получили постоянную величины и обозначили ее через $C$. Таким образом, $(MD)^2$ постоянно, то есть точка $M$ лежит на окружности с центром в точке $D$ и радиусом $\sqrt{C}$, если $C > 0$; совпадает с точкой $D$, если $C = 0$; точек $M$, удовлетворяющих условию задачи, нет, если $C < 0$.

Легко проверить и обратное утверждение: какая точка $M$ полученного множества удовлегворяем соотношение $k_1(A_1M)^2 + k_2(A_2M)^2 = k$, для этого достаточно подставить в формулу (2) выражение для $(MD)^2$.

Мы рассмотрели случай $k_1 > 0$, $k_2 > 0$. Случай $k_1 < 0$, $k_2 < 0$ совпадается к рассмотренному заменю знаков $k_1$, $k_2$ и $k$ на противоположные, а в случае $k_1 > 0$, $k_2 < 0$ (или $k_1 < 0$, $k_2 > 0$) можно действовать так же, как в самом первом случае, только точка $D$ будет лежать вне отрезка $A_1A_2$ (рис. 3; проведите самостояльно все выкладки). Формула (2) остается в силу в любом случае, в дальнейшем мы это использем.

Утверждение 16. Соотношение
$$k_1(A_1M)^2 - k_1(A_2M)^2 = k$$

эквивалентно соотношение
$$(A_1M)^2 - (A_2M)^2 = \frac{k}{k_1}$$.

Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5.

Пусть $D$ — проекция точки $M$ на прямую $A_1A_2$. Тогда по теореме Пифогора (см. рис. 4, 5)
$$(A_1M)^2 = (A_1D)^2 + (MD)^2,$$
$$(A_2M)^2 = (A_2D)^2 + (MD)^2,$$
откуда
$$(A_1M)^2 - (A_2M)^2 = (A_1D)^2 - (A_2D)^2 = \frac{k}{k_1}.$$

Итак, задача свелась к нахождению на прямой $A_1A_2$ точек $D$, удовлетворяющих последнему соотношению. Такую точку легко найти (проверьте), причем она единственная. точка $M$ должна лежать на перпендикуляре, восставленном к прямой $A_1A_2$ в точке $D$.

Справедливо и обратное утверждение (доказите его самостояльно): для всех точек прямой, перпендикулярной отрезку $A_1A_2$, разность квадратов расстояний до $A_1$ и $A_2$ носится.

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Доказательство будем проводить по индукции. Для $n = 2$ мы уже доказали утверждение 2. (Для $n = 2$ геометрическим местом точек будет все плоскость, если $k_1 + k_2 = 0$ и $A_1$ совпадает с $A_2$. Тогда для всех точек плоскости $(A_1M)^2 - (A_2M)^2 = 0)$.

Пусть теперь утверждение 2 верно для некоторого $n$. Доказем, что оно верно и для $(n + 1)$. Заметим, что если $n \geq 2$, а все $k_1, k_2, \dots, k_n, k_{n+1}$ не равны нулю, то среди них

48

найдуться два, сумма которых не равна нулю. Пусть это будет $k_1$ и $k_2$. Возьмем точку $D$, построенную в доказательстве утверждения 1а, и воспользовемся формулой (2). Тогда равенство
$$k_1(A_1M)^2 + k_2(A_2M)^2 + k_3(A_3M)^2 + \dots + k_{n+1}(A_{n+1}M)^2 = k$$
можно записать в виде
$$(k_1 + k_2)(DM)^2 + k_3(A_3M)^2 + \dots + k_{n+1}(A_{n+1}M)^2 = k - k_1(A_1D)^2 - k_2(A_2D)^2.$$
Тепер справа стоит построенная, а следва число точек уменьшилось на единицу, сумма же коэффициентов не изменилась. Согласно предположению индекции для последнего равенства утверждения 2 выполняется. Значит, оно выполняется и для $(n+1)$ точки. Утверждение 2 доказано.

Утверждение 3. Необходимость. Пусть $P$ — точка пересечения перепределкиров, опущенных из $A_1$, $B_1$ и $C_1$ на BC, AC и AB. Из утверждения 16 следуют равенства
$$(A_1B)^2 - (CA_1)^2 = (PB)^2 - (CP)^2,$$
$$(B_1C)^2 - (AB_1)^2 = (PC)^2 - (AP)^2,$$
$$(C_1A)^2 - (BC_1)^2 = (PA)^2 - (BP)^2.$$
Сложив эти три равенства, получим, что в этом случае условие (1) выполняется.

Достаточность. Пусть выполнен условие (1) и пусть $P$ — точка пересечения перепределкиров, опущенных из $A_1$ на BC и $B_1$ на CA. Из утверждения 16 следует, что
$$(A_1B)^2 - (CA_1)^2 + (B_1C)^2 - (AB_1)^2 = (PB)^2 - (AP)^2.$$
Но из условия (1) следует, что левая часть последнего равенства равна $(BC_1)^2 - (C_1A)^2$, то есть $(BC_1)^2 - (C_1A)^2 = (PB)^2 - (AP)^2$, а это и означает, что точка $P$ лежит на перепределкуре, опущном из $C_1$ на AB, что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Его справедливо следует из симметриности условия (1) относительно $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$.

Упражнения

1. Используя утверждение 3, доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

2. Даны три попарно пересекающей окружности. Доказать, что все общеные любых двух из этих окружностей проходят через одной точку.

3. Доказать, что если перепределкиры, опущенные из точки $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ на прямые $B_1B_2$, $B_2B_3$, …, $B_nB_1$, пересекаются в одной точке, то
   $$(B_1A_1)^2 - (A_1B_2)^2 + (B_2A_2)^2 - (A_2B_3)^2 + \dots + (B_nA_n)^2 = 0.$$

4. Возьмем три окружности, каждая из которых касется одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Доказать, что перепределкиры, воспставленные к сторонам треугольника в точках касания этих окружностей, пересекаются в одной точке.

5. Пусть расстояния от некоторой точки $M$ до вершин $A$, $B$ и $C$ треугольника ABC выражаются числа $a$, $b$ и $c$. Доказать, что при каком $d \neq 0$ ни для одной точки плоскости расстояния до вершин в том же порядке не могут выражаться числами

$$\sqrt{a^2 + d}, \sqrt{b^2 + d}, \sqrt{c^2 + d}.$$

6. Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка $D$. $A_1$, $B_1$ и $C_1$ центры окружностей, вписанных в треугольника BCD, ACD и ABD. Доказать, что перепределкиры, опущенные из вершин $A$, $B$ и $C$ на $B_1C_1$, $A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно, пересекаются в одной точке.

7. Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $A_4$ произвольные точки плоскости. Доказать, что найдуться такие четыре числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$, не все равны нулю, что $x_1(A_1M)^2 + x_2(A_2M)^2 + x_3(A_3M)^2 + x_4(A_4M)^2$ построено для любой точки $M$ этой плоскости.

8. Дан треугольник ABC. Расмотрим всевозможные пары точки $M_1$ и $M_2$ таких, что $AM_1 : BM_1 : CM_1 = AM_2 : BM_2 : CM_2$. Доказать, что все прямые $M_1M_2$ проходят через фиксированную точку плоскости.

9. Okружность касется стороны $AB$ треугольника ABC и продолжения сторона $AC$ и CB соответственно в точках $M$ и $N$. Другая okружность касется стороны $AC$ и продолжения сторона $AB$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $K$. Доказать, что точка пересечения прямых $MN$ и $PK$ лежит на высоте треугольника ABC, проходящей через вершину $A$.

10. Даны два отрезка $AB$ и $CD$. Найти геометрическим местом точки $M$ таких, что сумма $S_{\triangle ABM} + S_{\triangle CDM}$ построена.

11. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что середины диагоналей описанного четырехугольника и центр вписанного в него кругл лежат на одной прямой (задача Ньютона).

12. Доказать, что геометрическим местом точки, относительной от которых до двух фиксированных точок плоскости построено и отлично от единицы, является okружность (окружность Аполлони).