Tìm kiếm lời giải bài toán

39

TÌM KIẾM GIẢI PHÁP
NHIỆM VỤ
Ya.I.Grugekhov

Để tìm lời giải nhiều nhiệm vụ, phương pháp di chuyển xen kẽ ở cả hai bên được sử dụng - từ các nhiệm vụ này đến nhiệm vụ mong muốn và quay lại. Đầu tiên, họ cố gắng thu được một loạt hệ quả từ dữ liệu, sau đó - các câu lệnh mà từ đó sẽ dẫn đến kết quả mong muốn, sau đó họ quay trở lại dữ liệu, v.v.

Nói chung, từ những nhiệm vụ này, người ta có thể nhận được nhiều hệ quả không liên quan gì đến lời giải của nó. Tuy nhiên, hầu hết chúng ta thường tập trung vào một cách tiềm thức chính xác những thứ trong số chúng có thể liên quan đến những gì chúng ta đang tìm kiếm, vì sự chú ý của chúng ta vừa tập trung vào nó hoặc vào những tuyên bố mà nó theo sau. Điều tương tự cũng xảy ra khi chuyển từ tìm kiếm sang dữ liệu.

Nên thực hiện chuyển động luân phiên ở cả hai bên cho đến khi nảy sinh ý tưởng lời giải (một hoặc nhiều). Đôi khi có vẻ như nó xuất hiện một cách bất ngờ. Trên thực tế, đó là kết quả của quá trình làm việc chăm chỉ để đưa ra những gì bạn đang tìm kiếm từ dữ liệu. Có thể thấy rõ điều này trong sơ đồ (Hình 1), trong đó cho lời giải đi qua các câu 1, 2, 3 và 4.

Hãy xem một ví dụ.

Bài toán 1. Chứng minh rằng trong một góc vuông, góc phân giác của góc vuông chia đôi góc tạo bởi đường trung tuyến và đường cao cùng một góc.

Chúng tôi nghiên cứu các điều kiện. Chúng tôi vẽ một bản vẽ (Hình 2), biểu thị một số góc bằng các con số. Chúng ta chọn dữ liệu ($\angle ABC = 90^\circ$, $BO \perp AC$, $AM = MC$, $\angle ABK = \angle KBC$) và dữ liệu bắt buộc (chứng minh rằng $\angle 2 = \angle 3$). Chúng tôi kiểm tra trước rằng cách sắp xếp các phần tử trong Hình 2 là cách duy nhất có thể thực hiện được (đường phân giác nằm giữa đường trung tuyến và chiều cao); điều này dễ dàng được chứng minh bằng cách sử dụng điểm giữa của cung AC ngoại tiếp khoảng $\Delta ABC$ của đường tròn.

Cơm. 1. Hình 2.

40

Hãy để lại cho cha của chúng tôi. Vì $\overrightarrow{ABK} = \overrightarrow{KBС}$ nên để chứng minh đẳng thức $\overrightarrow{2} = \overrightarrow{3}$ chỉ cần chứng minh $\overrightarrow{1} = \overrightarrow{4}$ là đủ. Để làm điều này, bạn có thể so sánh độ lớn của $\overrightarrow{1}$ và $\overrightarrow{4}$ với các góc khác. Hãy xem liệu $\overrightarrow{A}$ và $\overrightarrow{1}$ có bằng nhau không. Điều này có thể thực hiện được nếu $AM = MB$.

Chúng tôi có được một hệ quả từ dữ liệu. Vì $MB$ là đường trung tuyến vẽ cạnh huyền trong tam giác vuông $ABC$, nên $MB = \frac{1}{2}AC$, tức là $MB = AM$, và do đó $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{1}$.

Hãy quay lại việc chứng minh mối quan hệ. Vì $BO \perp AC$ và $BC \perp AB$ nên $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{4}$ giống như các góc nhọn có các cạnh vuông góc với nhau. Do đó $\overrightarrow{1} = \overrightarrow{4}$, có nghĩa là $\overrightarrow{2} = \overrightarrow{3}$.

Nếu không thể giải bài toán bằng chuyển động xen kẽ của cả hai bên, bạn có thể chuyển sang các phương pháp khác. Ví dụ: giải bài toán trong trường hợp đặc biệt. Hãy nhớ xem liệu bài toán tương tự có gặp phải hay không, liệu bài toán này có thể được rút gọn thành bài toán đã biết, đơn giản hơn hay không, liệu lời giải của Nhật Bản có bắt buộc hay không nếu chỉ tính đến một phần dữ liệu.

Bài toán 2. Tính toán

$$M = \sqrt{\frac{44 \cdot 4}{200} - \frac{88 \cdot 8}{100}}$$

Chúng ta nghiên cứu điều kiện a). Thật dễ dàng để trích căn bậc hai của hiệu của hai số; 6) số nào có các chữ số giống nhau; b) số trừ của số bốn được trừ từ số tám; d) Số trừ có 200 chữ số, số trừ có 100; e) ở số trừ có số chữ số gấp đôi.

Không thể tính được sự khác biệt này. Hãy thử phân tích nó thành các yếu tố. Để làm điều này, trước tiên chúng ta hãy xem xét một phần của ứng dụng

đo, soạn thảo nó sao cho chỉ một phần dữ liệu được thực thi: (a), (6), (c), (e) (ngoại trừ (d)).

1. $4444 - 88 = 4 \cdot 1111 - 8 \cdot 11 = 4 \cdot (1111 - 2 \cdot 11) = 4 \cdot (1100 + 11 - 11 - 11) = 4 \cdot (11 \cdot 100 - 11) = 4 \cdot 11 \cdot (100 - 1) = 4 \cdot 11 \cdot 99 = 4 \cdot (11)^2 \cdot 9$.

2. $4444 - 88 = (4400 + 44) - (44 + 44) = 44 \cdot 100 - 44 = 44 (100 - 1) = 44 \cdot 99 = 4 \cdot (11)^2 \cdot 9$.

Một trong hai phương pháp này có thể được áp dụng cho lời giải cho trước bài toán; chọn cái thứ hai:

$$M = \sqrt{\frac{44 \cdot 4}{200} - \frac{44 \cdot 4}{100}} = \sqrt{\frac{44 \cdot 4}{100} \cdot (10^100 - 1)} = \sqrt{\frac{44 \cdot 4}{100} \cdot (10^100 - 1)} = \sqrt{\frac{44 \cdot 4}{100} \cdot (10^100 - 1)} = \frac{66 \cdot 6}{100}$$

Với lời giải planimetric bài toán đôi khi rất hữu ích khi vẽ một bản vẽ không phải bằng tay mà chính xác hơn là sử dụng các công cụ. Bằng cách nhìn vào nó, bạn có thể loại bỏ một số quan niệm sai lầm và tìm ra mối quan hệ thực sự giữa các yếu tố của hình. Tất nhiên, kết luận thu được theo cách này phải được chứng minh.

Bài toán 3 (ngụy biện, tức là sự xa lánh trong đó cố tình phạm sai lầm, điều này phải được tìm ra). Đặt bốn đuôi là $K = 90^\circ$, $C > 90^\circ$ và $BC = AK$. Qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $CK$ ta kẻ các đường vuông góc với chúng. Chúng ta sẽ nối giao điểm $O$ của chúng với tất cả các đỉnh của bốn đuôi. Từ các cặp tam giác vuông bằng nhau $KOM$ và $MOC$, $AOP$ và $BOP$ ta có:

$$OK = OC, OA = OB; \quad OKM = \overrightarrow{OCM}.$$

Vì $AK = BC, OA = OB$ và $OK = OC$, nên $\Delta AOK = \Delta OBC$. Do đó $\overrightarrow{AKO} = \overrightarrow{BCO}$.

41

Thêu từng phần tử từ đẳng thức (2) đẳng thức (1), ta thu được $\triangle AKM = \triangle BCM$, tức là góc vuông bằng tun.

Ở đây, rõ ràng là đối số sử dụng hình vẽ: giả sử rằng điểm $O$ nằm trong một không phải là hình tứ giác. Nhưng nó cũng có thể ở cạnh $KC$ hoặc bên trong hình tứ giác. Chúng tôi kiểm tra những trường hợp này và đi đến kết luận vô lý tương tự.

Sau đó, chúng tôi thực hiện vẽ bằng các công cụ một cách chính xác nhất có thể (Hình 4). Từ hình vẽ cho thấy rõ các điểm $O$ và $K$ nằm ở hai phía đối diện của đường thẳng $BC$. Đảm bảo rằng trong trường hợp này việc suy luận không dẫn đến sự lười biếng và chứng minh bằng mâu thuẫn rằng đây là cách suy luận duy nhất có thể có của các phần tử tương ứng với nhiệm vụ nhất định.

Khi tìm kiếm lời giải, trước tiên chúng ta thường tìm thấy một con đường không phải là ngắn nhất. Do đó, sẽ rất hữu ích khi kiểm tra xem liệu có thể rút ngắn đối số, đơn giản hóa hoặc bỏ qua hoàn toàn một số phép biến đổi trung gian nhất định hay không.

Sau khi hoàn thành tất cả công việc này, nên lưu ý những điểm khiến việc tìm kiếm lời giải trở nên khó khăn nhất, cố gắng ghi nhớ lời giải và những điểm chưa biết trước đó đã được thiết lập trong quá trình hoặc quên các định lý.

Công việc như vậy được phản ánh ở lời giải sau bài toán, khi những định lý này nảy sinh trong ý thức vào đúng thời điểm.

Các khuyến nghị được xem xét được thu thập trong bảng dưới đây. Gợi ý được đặt trong đó không cần phải ghi nhớ. Trong quá trình lời giải của một số bài toán, chỉ cần đọc và thực thi chúng một cách có chọn lọc là đủ.

Hãy áp dụng phương pháp này cho lời giải tiếp theo bài toán.

Bài toán 4. Trong hình vuông $ABCT$ từ điểm $T$, tính từ tâm, có bán kính bằng cạnh, vẽ một cung tròn $AC$. Trên $AT$, cũng như trên đường kính, một hình bán nguyệt được xây bên trong hình vuông. $P$ — điểm cung $AC$; đường thẳng $PT$ cắt hình bán nguyệt $AT$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng độ dài đoạn $PK$ bằng khoảng cách từ điểm $P$ đến cạnh $AB$.

Gợi ý 1. Chúng tôi thực hiện bản vẽ phù hợp với các điều kiện của nhiệm vụ và thực hiện $PE \perp AB$ (Hình 5). Chúng ta phải chứng minh rằng $PE = PK$.

Gợi ý 2. Hãy vẽ các đoạn $AP$ và $AK$. Chúng ta phải chứng minh rằng $\Delta APE = \Delta APK$.

Gợi ý 2. Nội tiếp $\triangle AKT$ nằm trên đường kính và $PE \perp AB$, nên các tam giác $APE$ và $APK$ là các tam giác vuông có chung cạnh huyền $AP$.

Gợi ý 2. Ví dụ, vẫn còn phải chứng minh đẳng thức $\alpha = \beta$.

42

Gợi ý	Bổ sung gợi ý
1. Làm quen với nhiệm vụ.	a) Hoàn thành bản vẽ, bản vẽ. Phân tích tất cả các cách sắp xếp có thể có của các số liệu. b) Chọn dữ liệu và những gì bạn đang tìm kiếm. c) Nhớ lại các dấu hiệu và tính chất của các khái niệm.
2. Lần lượt di chuyển từ cái được tìm kiếm đến dữ liệu và từ dữ liệu sang cái được tìm kiếm, hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.	a) Thay thế cái được tìm kiếm bằng một tuyên bố mà nó theo sau. b) Rút ra hệ quả từ dữ liệu. c) Sử dụng tất cả dữ liệu.
3. Trong trường hợp khó khăn, hãy tham khảo hướng dẫn bổ sung: 3a, 36, 38, v.v.	a) Ghi nhớ bài toán, tương tự như thế này. Hãy sử dụng phương pháp của cô ấy lời giải. b) Thay đổi các điều kiện bài toán (thời gian chỉ tính đến một phần dữ liệu, thay thế phần dữ liệu được yêu cầu, v.v.). c) Giải bài toán trong trường hợp từng phần. d) Sử dụng các công cụ để vẽ và làm mô hình chính xác hơn. Quan sát cho thấy tính chất của các hình. Chứng minh cho kết luận thu được.
4. Giải thích những gì bạn tìm thấy lời giải, giải thích từng bước. Hoàn thành nhiệm vụ.	a) Cố gắng rút ngắn lý luận hoặc tìm cách khác dễ dàng hơn lời giải. b) Thực hiện kiểm tra. c) Hãy nhớ những định lý được sử dụng tại lời giải mà trước đây chưa được biết hoặc bị lãng quên.

43

Cơm. 6.

Gợi ý 26. $KO = \frac{1}{3} KC$, do đó $S_{\Delta KPC} = 9 S_{\Delta KOT}$.

Gợi ý 2 a. $OT = TA = OE$, do đó $S_{\Delta KOT} = \frac{1}{2} S_{\Delta AKO}$, $S_{\Delta AKO} = \frac{1}{2} S_{\Delta AOB}$, $CK = 3 \cdot OK$, do đó $S_{\Delta AOB} = \frac{1}{3} S$. Cuối cùng, $S_{\Delta KCP} = 9 S_{\Delta KOT} = \frac{9}{2} S_{\Delta AKO} = \frac{9}{4} S_{\Delta AOB} = \frac{3}{4} S$.

Bài 6. Chứng minh rằng $\frac{R}{r} \geq \sqrt{2} + 1$, trong đó $R$ là bán kính của quả bóng được mô tả xung quanh một paramit gấp bốn lần đều, $r$ là bán kính của quả bóng được mô tả trong paramid này.

Gợi ý 1. Đặt $PABCD$ là một tham số thông thường, $PO$ chiều cao của nó (Hình 7). Khi đó tâm $T$ của quả bóng được mô tả trong paramid nằm ở độ cao của nó và tâm $M$ của quả bóng được mô tả gần nó nằm ở độ cao hoặc trên phần mở rộng của nó.

Gợi ý 2 a. Để sử dụng dữ liệu bài toán khi chứng minh bất đẳng thức $\frac{R}{r} \geq \sqrt{2} + 1$, chúng tôi biểu diễn $R$ và $r$ thông qua các phần tử của paramida. Điều này dễ thực hiện hơn nếu một phần tử là tuyến tính, phần tử thứ hai là một góc. Đặt $BC = a$, $\triangle PKO = \alpha$, trong đó $K$ là phần giữa của $CB$, $\triangle PCO = \beta$. Lưu ý rằng $R$ và $r$ dễ thể hiện qua $a$ và $\alpha$ hơn là qua $a$ và $\beta$.

Cơm. 7.

Gợi ý 26. $T$ là tâm của quả bóng được mô tả trong paramidus thông thường và $\triangle PKO$ là góc tuyến tính của góc nhị diện $BC$, do đó $TK$ là phân giác của các góc $OKP$ và $r = OT = \frac{a}{2} \cdot tg \frac{\alpha}{2}$.

Gợi ý 2 a. Để tìm $R = MP = MC = MB = \dots$, bạn có thể kiểm tra. $ME \perp PC$ và xét các tam giác đồng dạng $PME$ và $POC$. Và để làm được điều này, bạn cần tìm $PC$, $OP$ và $PE = \frac{1}{2} CP$.

Gợi ý 26. $OC = \frac{a \sqrt{2}}{2}$, $OP = \frac{a}{2} tg \alpha$. Do đó, $\Delta OPC$ sẽ cho kết quả là $PC = \frac{a}{2} \sqrt{2 + tg^2 \alpha}$. Sau đó $PE = \frac{a}{4} \sqrt{2 + tg^2 \alpha}$.

Từ sự giống nhau của các tam giác $OPC$ và $MPE$ ta có: $\frac{PM}{PE} = \frac{PC}{OP}$, $PM = \frac{PE \cdot PC}{PO}$. Thay các giá trị $PE$, $PC$ và $PO$, ta được $R = PM = \frac{(2 + tg^2 \alpha) \cdot a}{4 tg \alpha}$.

Vì vậy, $\frac{R}{r} = \frac{2 + tg^2 \alpha}{2 \cdot tg \alpha \cdot tg \frac{\alpha}{2}}$.

44

Gợi ý 2a. Bất đẳng thức ban đầu chứa hai tham số: $R$ và $r$. Sử dụng dữ liệu bài toán, chúng tôi đã thay thế nó bằng bất đẳng thức

$$\frac{2 + \text{tg}^2 \alpha}{2 \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \frac{\alpha}{2}} \geq \sqrt{2} + 1,$$

trong đó chúng ta có thể đi tới tg $\frac{\alpha}{2}$, tức là chỉ tới một tham số, nghĩa là sẽ dễ chứng minh hơn.

Gợi ý 26. Biến đổi phần ley của bất đẳng thức cuối cùng, ta thu được

$$\frac{1 + \text{tg}^4 \frac{\alpha}{2}}{2 \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \left(1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}\right)} \geq \sqrt{2} + 1.$$

Ta ký hiệu $\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = x$, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

$$\frac{1 + x^2}{2x(1-x)} \geq \sqrt{2} + 1.$$

Gợi ý 2a. Để chứng minh bất đẳng thức chỉ cần chứng minh rằng

$$A = \frac{1 + x^2}{2x(1-x)} - \left(\sqrt{2} + 1\right) \geq 0.$$

Gợi ý 26.

$$A = \frac{1 + x^2 - 2x\sqrt{2} - 2x^2 + 2\sqrt{2}x^2 + 2x^2}{2(1-x)} = \frac{(3 + 2\sqrt{2})x^2 - 2(1 + \sqrt{2})x + 1}{2x(1-x)}$$

Phân biệt của tam thức bậc hai ở tử số là 0 (kiểm tra) và $3 + 2\sqrt{2} > 0$. Do đó, tam thức không âm.

Gợi ý 2a. Nếu có thể chỉ ra rằng mẫu số của phân số $2x \times (1-x)$ là dương thì bài toán sẽ được giải.

Gợi ý 26. $x = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}$, nhưng $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$, từ đó $0 < \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} < 1$, tức là $0 < x < 1$, $1 - x > 0$. Điều này có nghĩa là $A \geq 0$ và bất đẳng thức $\frac{R}{r} \geq \sqrt{2} + 1$ đã được chứng minh.

Bài tập

1. Trong hình bình hành $ABCD$, điểm $M$ là trung điểm của $AD$, $BC = 2AB$, $E$ - đáy của đường vuông góc hạ từ đỉnh $C$ đến $AB$. Chứng minh rằng $\Rightarrow EMD = 3 \Rightarrow AEM$.

2. Một vòng tròn được bao quanh hình tam giác $ABC$. Chứng minh rằng góc giữa đường kính của hình tròn này $CM$ và chiều cao của tam giác $CK$ bằng $| \Rightarrow A - \Rightarrow B|$.

3. Chứng minh rằng $\frac{n}{12} + \frac{n^2}{8} + \frac{n^3}{24}$ là số nguyên với mọi $n$ chẵn.

4. Các cạnh của hình bình hành là $a$ và $b$. Tính các đường chéo của tứ giác tạo bởi giao điểm của các đường phân giác của các góc trong của hình bình hành này.

5. Vẽ một hình tam giác $ABC$ dọc theo cạnh $b$, bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp và đường trung tuyến $m_c$.

6. Hai mặt của hình chữ nhật tam giác là những tam giác vuông đều có cạnh huyền chung $AB$. Góc nhị diện tại $AB$ là $a$. Tìm một góc nhị diện có cạnh có một chân.

7. Tìm thể tích của một đường thẳng, tại đáy của nó là một tam giác đều nhìn từ cạnh $a$, nếu các góc nhị diện giữa mặt phẳng đáy và các mặt bên bằng $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

8. Tìm tất cả các số có năm chữ số có dạng $\frac{34x5y}{34x5y}$ chia hết cho 36.

9. Chứng minh rằng $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{243}$ có thể được biểu diễn dưới dạng $a\sqrt{3} - b\sqrt{2}$, trong đó $a$ và $b$ là số nguyên và $3a^2 - 2b^2 = 1$.