Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →
26
NHỮNG SỐ NÀO LỚN HƠN?
Chuẩn rồi. Lysov
Những con số nào lớn hơn - tự nhiên hay chẵn? Nơi nào có nhiều điểm hơn - trên một đoạn thẳng hay một đường thẳng? Có thể tìm được một tập hợp có nhiều phần tử hơn tập hợp đã cho không? Bằng cách làm sáng tỏ những câu hỏi tự nhiên này, Georg Cantor đã tham gia vào toán học và lý luận, từ đó phát triển lý thuyết tập hợp - nền tảng của các nhánh chính của toán học hiện đại *).
Trong bài học này và một trong những bài học tiếp theo của vòng tròn toán học, chúng ta sẽ cố gắng trả lời những câu hỏi mà Kantor đã đặt ra cho chính mình.
Chúng ta phải làm gì nếu trả lời câu hỏi bằng sắt: trong lớp có nhiều bé gái hay bé trai? Chúng tôi thường làm điều này: chúng tôi liệt kê các bé gái, bé trai và sau đó so sánh hai số thu được. Phương pháp này cho phép so sánh các tập hữu hạn khác nhau. Nhưng chúng ta có luôn sử dụng nó không?
Hãy tưởng tượng rằng bạn bước vào khán phòng của một rạp chiếu phim sau tiếng chuông thứ ba và cố gắng tìm hiểu xem cái gì đông hơn - khán giả hay khán giả. Nhìn vào hội trường, bạn nhận thấy rằng tất cả khán giả đang ngồi, đồng thời một số ghế vẫn còn trống. Đáp số câu hỏi đã rõ ràng - creSEL lớn hơn.
Bạn đã thiết lập được sự tương ứng giữa khán giả và một phần của CreSEL. Nguyên tắc tương ứng lẫn nhau này giúp chúng ta có thể so sánh các tập hợp vô hạn. (Tuy nhiên, sự tương ứng tương tự đã được thiết lập trong ví dụ đầu tiên giữa bé gái và bé trai.)
Về giới hạn 1. Sự tương ứng một đối một giữa tập hợp A và tập hợp B là một quy luật phù hợp với từng phần tử của tập hợp A.
*) Điều này sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong bài viết của L. A. Kaluzhnin. Nhân kỷ niệm 100 năm lý thuyết tập hợp Georg Cantor, tr. 2.
Chúng ta liên kết một phần tử cụ thể của tập hợp B sao cho mỗi phần tử của tập hợp B được liên kết với một số - k, thuộc tập hợp B. Dễ dàng nhận thấy rằng sự tương ứng này là một đối một.
Sự tương ứng được xây dựng cho thấy tập A có cùng số phần tử với B. Kết quả thu được rất phù hợp với các biểu diễn trực quan của chúng tôi.
Bài tập 2. Thiết lập sự tương ứng một-một giữa tập A gồm các số tự nhiên và tập B gồm bốn số.
Hãy liên hệ số tự nhiên n với số 2n.
Ta thấy rằng số tự nhiên (A) bằng số bốn số (B). Nhưng tập B hoàn toàn nằm trong tập A. Có sai sót gì ở đây không? Không có lỗi.
27
Mọi thứ đều chính xác và thật dễ dàng để xác minh điều này nếu bạn đánh dấu các số tự nhiên trên một trục số và các số chẵn trên trục kia và đặt các dòng này bên dưới dòng kia (xem hình; các dòng có tỷ lệ khác nhau).
Ở đây, sự khác biệt quan trọng giữa tập hữu hạn và tập vô hạn được bộc lộ: một phần của tập hợp vô hạn có thể, theo một nghĩa nào đó, bằng toàn bộ tập hợp. Sự bình đẳng như vậy được gọi là sự tương đương.
Định nghĩa 2. Hai tập hợp A và B được gọi là tương đương (tương đương về số lượng, bằng nhau về lũy thừa) nếu có sự tương ứng một-một giữa chúng.
Bài 3. Chứng minh tập hợp A và B được gọi là tương đương (bằng nhau về số lượng, bằng nhau về số lượng) nếu giữa chúng có sự tương ứng 1-1.
Bài 4. Chứng minh hai tập hợp A và B được gọi là tương đương (bằng nhau về số lượng, bằng nhau về số lượng) nếu giữa chúng có sự tương ứng 1-1.
Bài 5. Chứng minh tập hợp A và B được gọi là tương đương (bằng nhau về số lượng, bằng nhau về số lượng) nếu giữa chúng có sự tương ứng 1-1.
Định nghĩa 3. Một tập hợp được gọi là đếm được nếu nó tương đương với tập hợp các số tự nhiên, nghĩa là các phần tử của tập hợp này có thể tính thành một chuỗi theo các số được gán cho chúng.
Trong tập hợp các số nguyên, mỗi phần tử có hai phần tử lân cận. Có lẽ một tập hợp trong đó không phải mọi phần tử đều có thể có “hàng xóm” sẽ có nhiều phần tử hơn một tập hợp đếm được? Ví dụ, hãy xem xét tập hợp các phân số thích hợp. Với hai phân số a và b bất kỳ (a < b) đều có một phân số đúng
![Graph showing the division of two integers a and b by a common denominator.]
c sao cho a < c < b, nghĩa là không có “hàng xóm”. Tuy nhiên, bộ này cũng có thể đếm được.
Bài 4. Chứng minh tập hợp các phân số đếm được.
e cũng được chỉ định. Lợi dụng thực tế là số phân số thích hợp có mẫu số bằng N là hữu hạn.
Bài 5. Chứng minh tập hợp các số hữu tỉ đếm được.
Lời giải bài toán 5 có thể thu được bằng cách sử dụng bài toán 4 làm bổ đề.
Giả thuyết đặt ra là mọi tập hợp vô hạn đều tương đương với tập hợp số tự nhiên. Tuy nhiên, điều này không đúng. Thành tích lớn nhất của Cantor là lời giải tiếp theo bài toán.
Bài tập 6. Chứng minh rằng không thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa tập hợp số tự nhiên và tập hợp vô hạn các số 0 và 1.
Lời giải trong số này bài toán được đưa ra trên trang. 8, nhưng nếu bạn chưa đọc thì hãy thử tự giải bài toán. (Tác giả bài viết biết rất nhiều học sinh đã giải được bài toán này.)
Vì vậy, chúng tôi tin chắc vào sự tồn tại của các tập hợp không đếm được, nhưng đây là chủ đề của một trong những vòng bận rộn tiếp theo và bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một số tập hợp đếm được khác.
Nhiệm vụ 7. Tập hợp tất cả các từ tiếng Nga có thể đếm được (tất nhiên, chúng tôi giả sử rằng mỗi từ bao gồm một số hữu hạn các chữ cái).
Nhiệm vụ 8. Tập hợp tất cả các bộ số nguyên hữu hạn có thể đếm được.
Nếu chúng ta tính đến bất kỳ phương trình bậc n nào có không quá n nghiệm, thì chúng ta dễ dàng thu được lời giải của bài toán tiếp theo.
Bài tập 9. Tập hợp các số, mỗi số là nghiệm của một phương trình nào đó có hệ số nguyên, đếm được.
Tập hợp số ở bài 9 được gọi là tập đại số
28
những con số. Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ và mọi tổ hợp có thể có của căn thức và số hữu tỉ đều là số đại số. Đại số cũng là những số không toric không thể viết dưới dạng căn thức (sự tồn tại của những số như vậy đã được chứng minh vào năm 1824 bởi nhà toán học người Na Uy Niels Henrik Abel). Từ bài toán 6 và 9 tồn tại các số không đại số. Những con số như vậy được gọi là siêu việt.
Để kết luận, chúng tôi trình bày cho bạn sự chú ý khó khăn hơn bài toán.
Nhiệm vụ 10. Tập M gồm các số tám nằm trên mặt phẳng và không giao nhau (tám là một cặp đường tròn tiếp tuyến, mỗi đường tròn có thể có kích thước bất kỳ). Chứng minh rằng M là hữu hạn hoặc đếm được.
Dễ dàng nhận thấy rằng bằng cách đặt các chữ cái “G” hoặc “O” không giao nhau trên một mặt phẳng, người ta có thể thu được một tập lẻ. Có chữ cái nào khác có tính chất tương tự như số tám không?
Bài 11. Tập M gồm chữ “T” nằm trên một mặt phẳng và không giao nhau với chữ cái. Chứng minh rằng M là hữu hạn hoặc đếm được.
Sau khi giải được bài toán trước đó, bạn có thể dễ dàng nói về từng chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga liệu chữ cái này có thể nằm trên mặt phẳng ở dạng số lẻ hay không, hoặc theo bất kỳ cách sắp xếp nào, nó tạo thành không quá một tập hợp đếm được.
Nhiệm vụ 12. Số được gọi là số lớn nhất của hàm nếu tồn tại số dương sao cho trong khoảng lớn hơn chỉ một giá trị của hàm trong khoảng này. Chứng minh rằng tập cực đại của hàm số bất kỳ là hữu hạn hoặc đếm được.
Từ từ điển cũ
(Kết thúc. Xem phần đầu ở trang 20, 23)
Bức tranh này chỉ được trả lời vào cuối thế kỷ này, khi electron được phát hiện.
Còn một từ nữa: “Ether là chất lỏng, giống như không khí, nhưng không mỏng hơn nó nhiều…”
Người ta thường chấp nhận rằng toàn bộ Vũ trụ chứa đầy ether, chất này thâm nhập vào mọi vật thể và đóng vai trò là môi trường truyền ánh sáng, giống như không khí là môi trường truyền âm thanh. Toàn bộ thế kỷ 19 (đặc biệt là vào cuối thế kỷ 19) được dành cho nỗ lực xây dựng lý thuyết về ether. Chỉ đến đầu thế kỷ 20, Einstein mới chứng minh được rằng sự tồn tại của ether là một giả thuyết không cần thiết có thể loại bỏ mà không gây hại gì. Và thế là nó đã được thực hiện. Niềm tin sai lầm về sự cần thiết của một phương tiện truyền ánh sáng phổ biến đến mức giả thuyết ether đã được sử dụng. Mức tối đa là trong lý thuyết của ông về trường điện từ, mà như chúng ta biết ngày nay, không cần đến ether.
Vì vậy, chúng tôi đã đưa ra ba định nghĩa, trong đó không còn dấu vết nào từ lâu. Nhưng những dòng chữ trong Từ điển giống như những gò đất được khai quật giúp chúng ta nhận ra khoa học đang phát triển nhanh chóng như thế nào.
TÔI Ở VỚI.