Каких чисел больше?

26

КАКИХ ЧИСЕЛ БОЛЬШЕ?
Ю.П. Лысов

Каких чисел больше — натуральных или четных? Где больше точек — на отрезке или прямой? Можно ли найти множество, у которого больше элементов, чем у данного множества? Выясняя эти естественные вопросы, Георг Кантор в математике иден и рассуждая, из которых выросла теория множества — фундамент основных разделов современной математики *).

Попробуем на этом и одном из следующих занятий математического кружка ответить на вопросы, которые ставил перед собой Кантор.

Что мы делаем, если железом ответить на вопрос: коео в классе больше — девочек или мальчиков? Obъчно мы поступаем так: перечисываем девочек, мальчиков, а затем сравниваем полученные два числа. Этот способ дает возможность сравнивать различные конечные множества. Но всегда ли мы им пользовемся?

Представьте себе, что вы входите в зрительный зал кинотетра после третього звонка и пытается выяснить, чего больше — зрителей или креSEL. Посмотрев в зал, вы заметаете, что все зрители сидят, и в то же время несколько креSEL остались свободными. Ответ на вопрос ясен — креSEL больше.

Вы установили соответствие между зрителями и частю креSEL. Этот принципи взаимного соответствия помещет нам в сравнение бесконечных множества. (Впрочем, в нейном виде соответствие было установлено и в первом примере с девоками и мальчиками.)

О пределене 1. Взаимно однозначным соответствием множества A и B называется правило, которое каждаому элементу множества A сма-

*) Подробнее об этом рассказано в статье Л. А. Калужнина. К 100-летию теории множества Георг Кантора, с. 2.

вим в соответствие один определенный элемент множества B, так что при этом каждый элемент множества B поставлен в соответствие число — k, принадлежшее множеству B. Легко заметить, что это соответствие является взаимно однозначным.

Построенное соответствие показывает, что в множестве A столко же элементов, сколько в B. Полученный результат хорошо согласуется с нашими наглядными представлениями.

Задание 2. Установите взаимно однозначным соответствием множества A науральных чисел и множества B четырех чисел.

Натуральному числу n поставим в соответствие число 2n.

Получаем, что науральных чисел (A) столко же, сколько и четырех чисел (B). Но множество B целиком содержится в множестве A. Нет ли здесь ошибки? Ошибки нет.

27

Все верно, и в этом легко убедиться, если на одной числовой прямой отметить натуральные числа, а на другой — четные и расположить эти прямые одну под другой (см. рисунок; на прямых разный масштаб).

Здесь проявляется важное отличие конечных множества от бесконечных: часть бесконечного множества может быть в определенном смысле равной всему множеству. Такое равенство называют эквивалентностью.

Определение 2. Два множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Задание 3. Докажите, что множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Задание 4. Докажите, что множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Задание 5. Докажите, что множества A и B называются эквивалентными (количество эквивалентными, равномочными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Определение 3. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть элементы этого множества можно вычисать в строку в соответствие с присвоенными им номерами.

В множестве целых чисел у каждой элемента имеются два «соседних». Может быть, в множестве, в котором не для каждой элемента можно указать «соседа», будет больше элементов, чем в счетном? Рассмотрим, например, множество правилных дробей. Для любых двух дробей a и b (a < b) найдется правильная дробь

![Graph showing the division of two integers a and b by a common denominator.]

c такая, что a < c < b, то есть «соседа» нет. И тем не менее это множество тоже счетно.

Задание 4. Докажите, что множество правилных дробей счетно.

Указан и е. Воспользуйтесь тем, что число правилных дробей со значенателем, равным N, конечно.

Задание 5. Докажите, что множество всех рациональных чисел счетно.

Решение задачи 5 можно получить, используя в качестве леммы задачу 4.

Возникает гипотеза, что все бесконечные множества эквивалентны множеству натуральных чисел. Однако это не так. Величайшим достинением Кантора было решение следующего задачи.

Задание 6. Докажите, что нельзя установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством бесконечных последовательностей из 0 и 1.

Решение этой задачи приведено на с. 8, но если вы еще его не читали, попробyte решить задачу самостояльно. (Автор статьи знаком с большим количеством школьников, решивших ее.)

Итак, мы убедились в существование несчетных множества, но это тема одного из следующих занятый кругжка, а сейчас познакомимся еще с несколькими счетными множествами.

Задание 7. Множество всех возможных русских слов счетно (мы, разумеется, считаем, что каждое слово состоит из конечного числа букв).

Задание 8. Множество всех возможных конечных наборов целых чисел счетно.

Если учеть, что любое уравнение степени n имеет не более n корней, то легко получается решение следующего задачи.

Задание 9. Множество чисел, каждое из которых является решением какого-то уравнения с целыми коэффициентами, счетно.

Множество чисел из задания 9 называется множеством алгебраических

28

чисел. Докажите, что все рациональные числа и всевозможные комбинации радиkalов и рациональных чисел являются алгебраическими числами. Алgebraические являются и неоторные числа, которые нельзя записать в радиkalах (существование таких чисел в 1824 году доказал норвежский математик Нильс Хенрик Абель). Из задач 6 и 9 следует существование неалgebraических чисел. Такие числа называются трансцендентными.

В заключение предлагаем вашему вниманию более трудные задачи.

Задание 10. Множество М состояит из восьмерок, лежащих на плоскости и не пересекающих друг друга (восьмерка — пара касающейся окружности, какдая из которых может быть любого размера). Докажите, что М конечно или счетно.

Нетрудно заметить, что, располагая на плоскости непересекающей буквы «Г» или «О», можно получить нечетное множество. Существует ли ещё какая-нибудь буква, обладающая тем же свойствам, что и восьмерка?

Задание 11. Множество М состояит из буквы «T», лежащих на плоскости и не пересекающей буква. Докажите, что М конечно или счетно.

Решив предыдущую задачу, вы без особого труда можно сказать про каждой букву русского алфавита, может ли эта буква находиться на плоскости в нечетном количестве, или при любом расположении она образует не более чем счетное множество.

Задание 12. Число $x_0$ называется максимумом функции $f(x)$, если существует положительное число $\delta$ такое, что $f(x)$ в интервале $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ больше всего одного значения функции в этом интервале. Докажите, что множество максимумов любой функции конечно или счетно.

Из старого словаря

(Окончание. Начало см. с. c. 20, 23)

Такая картина была ответгнута лишь к концу века, когда был открыт электрон.

Еще одно слово: «Эфир — материя жидкая, как воздух, но не сравненно его тоньше…»

Общепринято было считать, что всего Вселенную заполняет эфир, который проникает во все тела и служит средой, передающей свет, подобно тому, как воздух есть среда, передающая звук. Весь XIX век (особенно его конец) был посвящен попыткам построить теорию эфира. Лишь в начале XX века Эйнштейн показал, что существование эфира является лишней гипотезой, которая без всякого вреда может быть отброшена. Так и было сделано. Ложная уверенность в необходимости среды для передачи света была столбная, что гипотеза эфира была использована. Максимум в его теории электромагнитного поля, которая, как мы сейчас знаем, совсем не нуждается в эфиле.

Итак, мы приведели три определения, от которых уже давно не осталось и следа. Но строки в Словаре, как раскопанные курганы, помогают нам осознать, сколько стремительно развивается наука.

Я. С.