Тепловые машины

12

Современная жизнь и современное производство немыслимых без машин. А чтобы приводить в движение машины, нужны двигатели, задача которых — поставлять необходимую машинам энергии.

Земная кора и вода океанов обладают огромными запасами внутренней энергии. Но эту энергию нельзя непосредственно использовать для приведения машины в движение, — она переходит к другим телам лишь способом теплопередачи.

Понятно поэтому, что нужно устройства, которые, получая энергию в процессе теплопередачи, передавало бы ее другим телам (в частности, машинам), совершая работу. Чтобы это устройства могло действовать неограниченно долго (а не до исчерпания каких-то своих внутренних ресурсов), оно должно работать циклическим, периодически возвращаться к одному и тому же состоянии. Такое устройство существенно называется тепловым двигателем. Короче говоря, тепловой двигатель преобразует подводимую к нему теплоту в работу. Схематически это можно представить так, как на рисунке 1.

Заметим, что противоположная задача — отдавать в форме теплоты энергию, получаемую в процессе механической работы, — решается свсем просто. Годится своего рода «мельница», работающая вхлопоту (рис. 2): за рукойку $P$ врашают жернов $A$, который третья о другой, неподвижный, жернов $B$, так что оба они греются. Вначале за счет совершаемой внешними силами работы прогревается сама мелница — растет ее внутренняя энергия, а с ней и температура. Этот этап длится до тех пор, пока энергия, передаваемая мелничцем окружающим телам в виде теплла, не сравняется с затрачиваемой механической энергией. После этого наступает динамическое равновесие, процесс становится Staционным (стационным процесс можно считать циклическим). Таким образом, мелничца становится «механической печкой», то есть прямой противоположностью тепловому двигателю.

Такого рода устройство было известно нашим далеким предкам, которые умели добиться огонь тренем. Придумать тепловой двигатель было

Рис. 1.

Рис. 2.

13

значительное труднее. В основу его можно положить различные принципы. Но чаще всего используется то обстоятельство, что внутренняя энергия идеального газа (то есть, в существии, кинетическая энергияxaотическая движения его молекул) при определенных условиях внешне проявляется себя как потенциальная энергия упругой деформации: газ, скатый в цилиндре поршнем, вполне аналогичен скатой пружине, он может совершить работу (когда шла речь о невозможности неосредственно получения работы за счет внутренней энергии, имелись в виду только твердые и жидкие тела).

Попробуем мысленно сконструировать простейший тепловой дигатель, рабочим телом которого является идеальный газ. Пусть скатый газ находится в цилиндре под поршнем (рис. 3). Если поршень имеет возможность двигаться, газ расширяется и совершает работу.

Когда газ теплопроводан (то есть окружен теплопроводицей оболочкой), он при аднабатическом расшириении остывает, и за счет его внутренней энергии совершается работа ($A = -\Delta U$). Но если стены цилиндра достаточно хорошо проводятся

Рис. 3.

Рис. 4.

дят теплоту, а сам цилиндр находится в термостате, то температура, а значит и внутренняя энергия газа, поддерживает постоянной — работа совершается за счет подводимой теплоты ($A_1 = q_1$). Здесь уже наличии превращение теплоты в работу, но это еще не тепловой двигаться, так как в его работе нет циклиности.

Чтобы возвратить газ в начальное состояние, его необходимо сделать. Но это потребует затраты как раз такой же работы $A_1$, какая была получена при расшириении, и приведет к возвращению в термостат полученной ранее от него теплоты $q_1$. Чтобы этого избежать, газ следует перед сжатием охладить. При одном и том же объеме давление холодного газа ниже; так что процесс сжатия потребует меньше работы ($A_2 < A_1$) и в термостат вернет меньше количество теплоты $q_2 = A_2$. Для охлаждения газа устанавливается тепловой контакт между цилиндром и вторым термостатом с более низкой температурой. Сжав газ до исходного объема, снова восстанавливают контакт цилиндра с первым термостатом.

Один из простейших тепловых дигателей

Одна из возможных схем движения представлена на рисунке 4.

$A_3$ — аднабатическая (телопроводицейемые) заслоники, передвигающие перерывот или установливают тепловой контакт между термостатами и цилиндром. $KM$ — кулачковый механизм, при помощи которого горизонтальное перемещение поршня преобразуется в подъем груза $\Gamma$. Профиль кулачка (линия $BCD$) выбирается таким, чтобы при любом положении поршня действующие на кулачок с обенх сторон силы были почти уравновешены (использовается эффектив наклонной плоскости). Благодаря этому процесс расшириения газа будет квазистатическое, то есть представляющим собой последовательность почти равновесных состоя-

14

Рис. 5.

ний. Только в равновесном состоянии газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона. В верхней точке подмена часть груза снимается, что опять обеспечивает приблизительное равновесие поршня в процессе скатания при более низкой температуре (а значит, и меньше давления).

Происходящие в движетеlope процессы графических изображений на диаграмме в координатах $p$, $V$ (рис. 5). Точка $K$ — исходное состояние газа. Изотерма $KL$ — расширенное газа при постоянной (сравнительно высокой) температуре $T_1$ в контакте с «горячим» термостатом. Изохора $LM$ — постепенное освивание газа в контакте с «холодным» термостатом до температуры $T_2$ (постепенно, а значит, квазистационность процесса в газе обеспечивает плоской теплопроводностью цилиндра). Изотерма $MN$ — скатание газа при сравнительно низкой температуре $T_2$. Изохора $NK$ — нагревание газа от температуры $T_2$ до $T_1$ при тепловом контакте с горячим термостатом.

Работа совершается только на участках $KL$ ($A_1$) и $MN$ ($A_2$). Величина работы, совершаемой за весь цикл $A = A_1 - A_2$, численно равна площади, ограниченной контуром цикла. Теплота подводится к газу от «горячого» термостата во время расширения на участке $KL$ ($q_1$) и при нагревании на участке $NK$ ($q$). Теплота отделяется газом холодному термостату при охлаждении на участке $LM$ (количество этой теплоты равно $q$ и соответствует разности внутренних энергий газа при температуре $T_1$ и $T_2$) и при скатании на участке $MN$ ($q_2$). Всего за цикл горячий термостат отделет теплоту $Q_1 = q_1 + q$, а холодный термостат получает теплоту $Q_2 = q_2 + q$.

В термодинамике горячий термостат называют нагреваемым, а холодным — охладителем. Как мы видели, для циклического функционирования теплового диггателя охладитель столже необходим, как и нагреваемый: скимая неохлажденный газ, мы свели бы к нулю вес эффициент, полученный при расшиREN. В то же время, в полезную работу превращается лишь часть энергии, получаемой от нагреваемя; остальная энергия передается охладителю.

Крайне желательно, чтобы охладитель отделалось как можно меньше энергии (так как диггательство для совершения работы, а вовсе не для нагреваемя охладителя). Чем больше береется теплоты от нагреваемя, тем больше нужно материалов затрат на поддержание его температуры (приходится, например, скигать больше топлива). Передача неокоторого количества теплоты холодному термостату требует дополнительных забот по его охлаждению (ведь в случае повышения температуры охладителя до $T_1$ диггательство остановится).

Техническое совершение теплового диггателя характеризуется его «термическим к. п. д.», который, как известно, определяется отношением

$$\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}.$$

Ведь в соответствии с первым законом термодинамики работы диггателя за цикл $A = Q_1 - Q_2$, так как после каждого цикла восстанавливается исходное состояние газа, а значит, и первоначальное значение его внутренней энергии. (Работа совершается исключительно за счет теплоты.)

15

Рис. 6.

Усовершенствование теплового дигитателя

Для повышения к. п. д. дигитателя желательно уменьшить количество теплоты, не превращаемой в работу, а только «протекающий» через дигитель от нагрева к охладителю. С этой точки зрения прежде всего привлекают к себе внимание изохорические процессы $LM$ и $NK$, не связанные с совершением работы. Изохорические охлаждаясь ($LM$), газ отделен вследко же теплоты $q$, сколько потом приходит к нему подвеси при изохорическом нагревании ($NK$).

Разобъем обе изохоры промежутными (синним) изотермами на очень маленькие участки (рис. 6). Тогда можно считать, что в процессе охлаждения на любом участке — скажем, на участке $\alpha$ — теплота отделяя в том же количестве, в каком подводится на участке нагрева (участок $\beta$) между теми же изотермами, при одной и той же температуре.

Целесообразно ли при этих условиях «сбрасывать» соответствующее энергию в охладитель, а потом заново брать столко же от нагрева?

Не лучше ли сохранить ее в какомибудь аккумуляторе энергии (или генераторе) при дигителе, а затем вновь использовать?

Таким генератором мог бы служить специальный термostat, разделенный на множество секций аднабатических перегородками (рис. 7).

Каждая секция имеет свою температуру (приблизительно соответствующее одной паре участков изохор $LM$ и $NK$), так что последовательность всех секций в целом обеспечивает более или менее плавный переход от $T_1$ к $T_2$. В частности, при $T_1 = 450^\circ$ К и $T_2 = 300^\circ$ К секции могут иметь, например, температуры $440^\circ$, $430^\circ$, …, $320^\circ$, $310^\circ$ К (чем больше секций, тем больше реализующий процесс к теоретическому).

Охлаждение по изохоре $LM$ осуществляется, изолировав цилиндр от горячего термостата и последовательно установливая тепловой контакт со все более и более холодными секциями генератора — например, передвигая его сизу вверх (см. рис. 7; ТС — теплопроводный стержень).

Аналогично при нагревании по изохоре $NK$ к цилиндру поочередно «подключают» все более и более горячие секции генератора. В итоге по завершения цикла все секции будут снова иметь первоначальный запас энергии, так что генератор не нуждается ни в каком энергетическом взаимодействии с внешним миром.

При той же величины работы $A$ за цикл использование генератора снижает (на величины $q$) потребность дигитателя как вриток теплоты от нагрева, так и в передаче ее

16

охладитель, так что $Q_1 = q_1 = A_1$, $Q_2 = q_2 = A_2$, где $A_1$ и $A_2$ — рабочты, совершаемые на изготовических участках $KL$ и $MN$ соответственно (см. рис. 8). Численное эти величины равны площадям кривolinейных трапеций $KLRS$ и $NMRS$. Сравним эти площади.

При любом $V_i$ давления $p_2$ и $p_1$ (ординаты обенх изготов) пропорциональны абсолотным температурам (закон Шарля):

$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}.$$

В таком же соответствии находится, очевидно, и интересующие нас площади, а следовательно, и соответствующие количества теплоты $Q_2$ и $Q_1$:

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}.$$

Поэтому к.п. д. теплового диггаателя с регенератором

$$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}.$$

К.п. д. диггаателя с регенератором выше, чем к.п. д. диггаателя без регенератора, поскольку разность $Q_1 - Q_2$ в обенх случах одинакова, а теплота $Q_1$, отданная горячим термостатом, уменьшается на величины $q$.

Из-за технической сложности (ведь для идеального регенератора нужно разбивать интервал $\Delta T$ на бесконечно малые участки) такой регенератор практический неприменим.

Как мы увидим далее, применимость последней формулы гораздо ширие, чем для рассмотренного частного случая диггаателя с регенератором. Так определяется к.п. д. любой тепловой машины, работающей по обратному циклу.

Обращение теплового диггаателя

Тепловой диггаатель с регенератором — это обратная машина. Значит, он может функционировать и «вспять» по тому же самому циклу, проходя через все те же самые состояния, но только в обратной последовательности $KN \rightarrow NM \rightarrow ML \rightarrow LK$. При этом и все переходы энергии (работы и теплопередачи) меняют свое направление. Изхорченное охлаждение (KN) сопровождается передачей теплоты от газа к регенератору; изготовления расширясь (NM), газ получает от холодного термостата теплоту $q_2$ и совершает работу $A_2$; изхорченное нагрева (ML) идет за счет теплопередачи от регенератора (возвращащегося при этом в начальное состояние); изготовление скатите (LK) при более высокой температуре $T_1 > T_2$ требует совершения внешними силами работы $A_1 > A_2$ с одновременной передачей теплоты $Q_1 = A_1$ горячему термостату.

Это уже не диггаель! Ведь совершаемая им за цикл работа

17

$A_2 - A_1$ отрицательна — его самого приходится приводить в движение каким-нибудь посторонним дивигательем. Зато он отбирает от более холодного термостата теплоту $Q_2$ и передает ее горячему термостату, да еще с некоторой добавкой за счет работы постороннего.divигателя (рис. 9), то есть как бы «накачивает» теплоту. Такой «телловой насос» может использоваться как холодильник и для «динамического отопления» за счет теплла, отбираемого, скажем, от льда и снега на улице.

Итак, машина с генератором обратима: совершив один цикл как.divигатель и поднять груз, она может потом за счет его потенциальной энергии совершить еще один цикл уже в качестве теплового «насоса». В результате машина и все окружающие тела вернутся в исходное состояние.

Как мы увидим далее, различие между обратными и не обратными машинами играет в термодинамике очень большую роль.

Цикл Карно

Регенератор повышает к.п.д., избавляя.divигатель от внешних теплопередачи при пожженении и повышении температуры газа. Но их можно избежать и без такого громоздкого устройства. Ведь совсем не обязательно отводить теплоту, чтобы охладить газ. Вместо этого заставить газ совершить работу, дав ему возможность расширяться аднабатические (то есть без подвода или отвода теплла).

Когда при изготовлении расшириния газ достигнет состояния $L$ (рис. 10), закрываются аднабатические заслоники и газу дается возможность расширяться, совершая работа за счет внутренней энергии (для этого надо, конечно, постепенно разгружать поршень, что может быть заранее обеспечено надлежащим выбором продукции кулачкового механизма). В процессе аднабатического расшириния меняются и температура, и объем, и давление газа. На диаграмме $p$, $V$ этот процесс изобрабатывается кривой, называемой аднабатой (на рисунке 10 аднабата — $LB$).

Когда температура газа в процессе расшириния попизится до $T_2$ (точка $B$), открывается нижняя заслоника и устанавливается тепловой контакт с охладителем. После этого газ изотермические скимиют (изотермма $BD$)*.

Теперь надо нагреть газ до температуры $T_1$; это опять-tаки делается без теплопередачи, аднабатической скатием (аднабата $DK$). За ним снова следует изотермическое расшириние ($KL$), процесс повторяется (для обратного хода поршня на кулачке передаочного механизма предусматривается вторая дорогка).

Работы на аднабатических участках $LB$ и $DK$ равны по величины и противоположны по знаку. (ведь они энергетические заменены теплопередачи $q$).

Двигатель, работающий по расстоянию нам циклу, был впервые описан в книге Сади Карно «Размышления о движущей силе огня»

*) Если из начального состояния $K$ производить аднабатическое расшириние газа, то в момент, когда его температура станет равной $T_2$, остальные параметры будут иметь определенные значения $p_2$, $V_2$. Именено до такого состояния ($p_2$, $V_2$, $T_2$), которое соответствует точке $D$, и производится изотермическое скатием (изотермма $BD$).

18

и о машинах, способных развивать эту силу» (1834 г.), его называют машиной Карно, а цикл — циклом Карно. Цикл Карно образимый.

Рассчитать коэффициент полезного действия двигателя Карно сложнее, чем двигателя с генератором. Но в этом нет надобности, так как для всех обратных тепловых двигателей справедлива следующая теорема.

Теорема Карно. При заданных температурах нагреваля и охлаждения все обратные тепловые двигатели имеют одинаковые к. п. д. (при этом предполагается, что двигатели не вступают в тепловой контакт ни с какими телами, кроме нагревая и охлаждения).

Доказательство теоремы Карно основывается на втором законе термодинамики.

Второй закон термодинамики
Первый закон термодинамики, выражющий закон сохранения энергии, не накладывает ограниченный на направление процессов (ведь при переходе из состояния А в состояние В энергия остается неизменной, то она сохраняется также и при обратном переходе из B в A). Если, например, погрузить теплый камень в холодную воду, то с законом сохранения энергии одинаково совместимы как нагревание воды за счет охлаждения камня, так и дальнейший разогрев камня за счет остывания воды — лишь бы изменения энергии обихы тел были по величины и протиоположны по знаку.

Однако никто не наблюдается, чтобы теплый камень сам собой раскалился за счет замерзания воды, в котором он брошен! Весь опит человека утверждает, что при тепловом контакте теплота всегда переходит от более горячого тела к более холодному, так что температуры обихх тел постепенно выравнивают. Именно с этим свойством и связано определенное понятие «температура».

Но сколько ни убедительных эти факты, они касаются лишь тепло-сбмена при простом тепловом контакте. Мы ведь знаем уже, что «телловым насосом» можно отнять энергию от холодного тела и передать горячему. Но чтобы «насос» действовал, внешнее тела должны совершать работу, так что по завершении цикла не всё возврашает в исходное состояние.

Второй закон термодинамики утверждает, что даже и косвенным путем невозможен некомпенсированный переход теплоты от более холодного тела к более горячему. «Некомпенсированный» — значит не оставляющий после себя никаких следов (то есть никаких изменений в каких бы то ни было телах, кроме разогрева горячого тела и остывания холодного). Нельзя так усвоершенствовать тепловой насос, чтобы он путем теплопередачи отнимал энергию от холодного тела и отдавал горячему с возвращением всех процесх тел (включая и сам насос) в начальное состояние.

Понятно, что никаким опитом (или даже серий опытов) доказать такой рода отрицательное утверждение нельзя (как нельзя доказать экспериментально невозможность вечного движения). Как и многие другие законы, второй закон термодинамики принимается в физике как аксиома, из которой выводятся многочисленные и далекую души следствия. Незмененное согласие всех следствий с опитами и практикой и успешное предсказание на их основе новых фактов всеяет обоснованную уверенность в истинности закона.

Исходя из второго закона термодинамики можно показать, что невозможно циклически действующие, которое получало бы энергию путем теплопередачи и совершало за ее счет работу, не оставляя никаких других изменений в окружающей мире.

Такое фантастическое устройство настоящего заманчива, что оно получило название «perpetuum mobile»

19

Второго рода. Практическая выгода от него была бы не многим меньше, чем от пресловутого «perpetuum mobile», (то есть вечного двигателя) первого рода, способного совершать работу вообще без затраты энергии. Дейстивтельно, «perpetuum mobile второго рода» мог бы совершать работу за счет незначительного охлаждения огромных масс земной коры или воды океанов.

Доказательство теоремы Карно
Приименим теперь второй закон термодинамики для доказательства теоремы Карно.
Доказательство будем вести от противного. Допустим, что есть два обратных двигателя с различными к. п. д. Совершая одинаковую работу, они получают от нагрева и отдают охланитель различные количества теплоты (рис. 11).

Использовая обратимость, превращим худший из двигателя (на нашем рисунке — правый) в тепловой «насос» с механическим приводом от другого двигателя (рис. 12). Полученный сложный агрегат не производит никаких внешних эффектов, кроме передачи теплоты от холодного термостата к горячему (a сам он периодически возвращается в исходное состояние). Противоречие со вторым законом термодинамики доказывает недопустимость сделанного предположения, а следовательно, доказывает и теорему Карно.

Для пары необратимых двигателей такое доказательство не проходит — они могут иметь и разные к. п. д.

А что, если один двигатель обратным, а другой — нет? Как видно из рисунка 12, к абсурду ведет предположение о худшем к. п. д. у обратному двигателя (превращаемого в насос). Следовательно, необратимый тепловой двигатель не может иметь больший к. п. д., чем обратный.

В соответствии с теоремой Карно равен выведенная формула для к. п. д. обратного теплового двигателя с генератором

$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$$

автоматически распространяется на все обратные тепловые двигатели.

Следовательно, для всех обратных тепловых двигателей выполняется условие

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1},$$

или

$$\frac{Q_2}{T_2} = \frac{Q_1}{T_1}.$$

Отношение количества теплоты к температуре расматривается тела, участвущего в теплопередаче, в термодинамике называют приведенным теплом. Как видим, обратный двигатель отделяет охланитель столько же приведенного тепла, сколько получает от нагрева (тогда как просто теплоты он отделяет меньше, чем получает).