Задачи М236—М240; Ф248—Ф252

29

Задачи

M236—M240; Ф248—Ф252

М236. а) Имеется 51 двузначное число. Доказите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

6. Даны натуральные числа $k$ и $n$, $1 < k < n$. Для каждого наименьшего $m$ верно следующее утверждение: при любой расстановке $m$ ладей на доске размером $n \times n$ можно выбрать $k$ ладей из этих $m$ так, чтобы никакие две из выбранных лодей не были друг друга?

А. Ю. Сойфер и С. Г. Слободник

M237. Углы остроугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжестей этих трех масс попал

a) в точку пересечения высот?

6. в центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжестей попал

b) в точку пересечения отрезков, соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?

г) в центр описанной окружности?

Б. Д. Гинзбуре

M238 * Доказите, что сумма $C_n^1 + C_n^3 \cdot 1973 + C_n^5 \cdot (1973)^2 + C_n^7 (1973)^3 + \ldots$ делится на $2^{n-1}$.

(Здесь $C_n^k$ — коэффициенты многочлена)

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$.

Ф. Г. Шлейфер

30

М239. На плоскости задны две точки A и B. Пусть C — неокоторая точка, одинаково удаленная от A и B. Построим последовательность точек $C_1 = C, C_2, C_3, \dots, C_n, C_{n+1}$, где $C_{n+1}$ — центр окружности, описанной около треугольника $AC_nB$. При каком положении точки C
a) точка $C_n$ попадет в середину отрезка AB (при этом $C_{n+1}$ и дальнейшие члены последовательности не определяны)?
б) точка $C_n$ совпадает с C?
Н. Чернов, ученик 10 класса (Кривой Роэ)

М240. По заданному $x$ значения $x^8$ можно найти за три арифметических действия: $x^2 = x \cdot x, x^4 = x^2 \cdot x^2, x^8 = x^4 \cdot x^4$, а $x^{15}$ — за пять действия: первые три — те же самые, затем $x^8 \cdot x^8 = x^{16}$ и $x^{16} : x = x^{15}$. Доказите, что
a) $x^{1000}$ можно найти за 12 действия (умноженный и делений);
б)* для любого натурального $n$ значения $x^n$ можно найти более чем за $\frac{3}{2} \log_2 n + 1$ действия.

Э. Г. Белаза

Ф248. Tonкий тяжелый обруч радиуса $R$ с очень легкими спицами может свободно врашаться вокруг горизонтальной оси. К обручу прикреплили маленький шарик, масса которого равна массе обруча. Найти перiod малых колебаний обруча с шариком. Для этого можно попытаться найти аналогию в движении обруча с шариком и математического матрика.

Ф249. Невесомыйстержень, на концах которого закреплены шарики массами $m$ и $M$, опирается серединой на жесткую подставку, вокруг которого он может свободно врашаться в вертикальной плоскости.
В начальной моментстержень расположен горизонтально, а скорость его равна нулю. С какой силой давит он в этот момент на подставку?

Ф250. Одинаковые заряды $q$ находятся на расстояниях $a$ и $b$ от за-
земленной сферы малого радиуса $r$ (рис. 1). Расстояние до поверхности земли и других заемленных предметов много больше $a$ и $b$. Найти силу, с которой заряды действуют на сферу.

Рис. 1.

Ф251. На фотографини летящей пули (рис. 2) видны звуковые волны, которые возбуждаются при движении пули. (Такую фотографию удалось получить благодаря тому, что областки, в которых плотность воздуха различана, по-разному преломляют световые лучи.) Воспользовавшись линейкой, определяйте примерную величины скорости пули. Скорость звука в воздухе равна 340 м/с.

Рис. 2.

Ф252. На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой $F$. Для того чтобы канат не скользил по стольу, когда на столб намотан только один виток каната, второй конец каната нужно удерживать с силой $f$. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотан $n$ его витков? Как изменится сила $f$, если взять столб вдвое больше радиуса? (Сила $f$ не зависит от толщины каната.)