24
ЧТО ВИДИТ
ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ГЛАЗ
На обложке нарисован правильный 24-угольник. Внимательно рассматривая его, можно обнаружить несколько правильных многоугольников, получившихся в пересечении диагоналей, отрезков диагоналей и сторон.
Виды, например, равносторонние треугольники и квадраты, причем их центры могут быть отличными от центра данного 24-угольника. Заметили ли вы их, глаза на рисунок? Если нет — не беда. Некоторые из квадратов выделены на рисунке 1, некоторые правильные треугольники — на рисунке 2.
Впрочем, нужно еще убедиться в том, что эти многоугольники действительно правильные; чертеж сам по себе, как бы тщательно онни был выполнен, таких гарантий не дает.
Для доказательства представим себе мысленно, что 24-угольник вписан в окружность, и рассмотрим углы, образованные ее ходами, а также заметим, какие отрезки на чертежке равны и почему (само доказательство проведите самостояльно). Рисунки 1 и 2, соответственно иллюстрирующие характеристики случай образования квадратов и правильных треугольников, помогают сравнить и с более сложной задачей: выяснить, сколько на обложке нарисовано правильных треугольников и квадратов.
Обратимся вновь к обложке. Отчетливо видно, как, пересекаясь, диагонали 24-угольника, близжайте к его центру, образуют фигуру, которое глаз решительно отказывается от окружности (в действительности это, конечно, правильный 24-угольник). В некоторых удалении от центра данного 24-угольника видим концентрические вторую и третью и не только явно выраженные четырьмя и пятую «окружности». Другие «окружности» диаметром подобше не видны, не заметны, Сколько их? Ответ на этот вопрос может подсказать рисунок 3.
На рисунке 4 изображен правильный звездчатый 24-угольник. Можно проверить непосредственно, проядя глазом по каждому из звенев ломаной, действительно ли это многоугольник, то есть является ли начертанная ломанная замкнутой, не распадается ли фигура на несколько замкнутых ломанных.
При этом остается, однако, невьясенным вопросом: возможно ли другие правильные звездчатые 24-угольники? Если смотреть только на рисунок, то проверить это трудно. При помощи визуальных наблюдающих проверить, что если вершины 24-угольника соединяются через одну, то ломанная замкнется в 12-угольник, если через две, то в 8-угольник… Почему это произошло? Не связано ли это с тем, что деление числа сторона данного 24-угольника на два приводит к числу 12, а на 3 дает 8? Телерь вы, наверное, может установить число правильных звездчатых 24-угольников, и не прибегая к рисунку (как?
Красивое решение имеет следующая задача: «В скольких точках пересекаются диагонали -угольника (), если известно, что никакие три из его диагоналей не пересекаются в одной точке, получаем, что точек пересечения диагоналейровно столько, сколькими способами можно выбрать 4 из , то есть .
В случае 24-угольника, у которой никакие три диагонали не пересекаются в одной точке, точек пересечения диагоналей были бы . Но раз данный 24-угольник —
25
правильный, то таких точек меньше дает оценку сверху. На рисунке (см. обложку) видно, что в некоторых точках пересекаются по три и более диагоналей. Но, может быть, зрение нас обманывает и в действительности на чертеже приводится не одна точка пересечения трех прямых, а две очень близкие, а потом и неразличные на глаза точки пересечения пар диагоналей?
В некоторых случаях несложные расуждения подтверждают правильность виденного. Например, почти очевидно, что более чем двухкратными являются точки пересечения диагоналей, принадлежащие диагоналям правильного 24-угольника, которые являются осями его симметрии. Установите наличие (или отсутствие) более чем двухкратных точек пересечения диагоналей на рисунках 5, 6.
Можно показать, что в верхних виделенных на рисунке 6 правильных треугольников пересекаются более двух diагоналей данного правильного 24-угольника. Попробуйте это сделать.
Попробуйте уточнить оценку числа пересечений diагоналей правильного 24-угольника.
Попробуйте получить правильный 24-угольник, пользовать только перегибанием листа бумаги.
В. Н. Березин