Решения задач М179, М196—М199; Ф208, Ф209

31

Решения задач

M179; M196–M199; Ф208, Ф209

М179. В «Кванте» № 8 за 1973 год было опубликовано решение задачи M179. При этом мы предложили читательам самостояльно закончить решение задачи. Мы надемся, что вы это сделали и можете сравнить свое решение с нашим.

Напомним формулировку задачи.

Для каждого треугольника $T$ строится последовательность треугольников
$$T_0 = T, T_1, T_2, T_3, \dots,$$
еде $T_n$ — треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника $T_{n-1}$. Требуется выяснить, сколько существует попарно неподобных друзей друзей треугольников $T$ таких, для которых $T_n$ подобен $T$ (при каждом фиксированном $n$).

Обозначим через $(\alpha, \beta, \gamma), (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1), \dots, (\alpha_n, \beta_n, \gamma_n)$ углы треугольника $T$ и соответствующих ему треугольников $T_1, \dots, T_n$. Требуется узнать, сколько существует треок $(\alpha, \beta, \gamma)$ таких, для которых трейка $(\alpha_n; \beta_n, \gamma_n)$ совпадает с $(\alpha, \beta, \gamma)$ или получается из нее перестановкой, причем $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma$.

Тройки $(\alpha, \beta, \gamma)$ и их преобразования
$$\begin{align*} (\alpha, \beta, \gamma) &\rightarrow (\alpha_1, \beta_1, \gamma_1), (\alpha, \beta, \gamma) \rightarrow \\ h^n &\rightarrow (\alpha_n, \beta_n, \gamma_n) \end{align*}$$

удобно представлять себе геометрические следующие:

Нарисуем треугольник $Y$, у которой дляна каждой высоты равна $\pi$, и будем изобразать трейку неотрицательных чисел $(\alpha, \beta, \gamma)$, для которого $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, точкой $y$ внутри этого треугольника, расстояния от которой до сторона равны соответствующим $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ (рис. 1). Такое соответствие
$$(\alpha, \beta, \gamma) \rightarrow y$$

между трейками $(\alpha, \beta, \gamma)$ и точками $y \in Y$ будет взаимно однозначным. Перестановкам чисел в трейке $(\alpha, \beta, \gamma)$ соответствуют перемещения треугольника, совмещаются его с самим собой (повороты и симметрины относительно высот). Напомним, что преобразование $h$ геометрическим описывается так. На средних линиях треугольника $Y$ (точкам $y$ средних линий соответствуют прямогольные треугольники $T$) $h$ не определяено, а каждый из четырех треугольников, на которые средние линия разбиают треугольник $Y$, $h$ отображает на весь $Y$, причем это отображение — преобразование подобия с коэффициентом 2, переводящей каждый отрезок в параллельный ему отрезок. Стсюда индикцией по $n$ получаем, что преобразование $h^n$ устроено аналогично: на прямых, параллельных сторонам и разбиающих высоты на $2^n$ равных частей, $h^n$ не определяено; в каждом из $2^{2n}$ треугольников, на которые эти прямые разбиают $Y$, $h^n$ — преобразование подобия с коэффициентом $2^n$, отображающей этот треугольник на весь $Y$. (На рисунке 2 изображено $h^2$.) Условия $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma$ выделяют один из шести треугольников, на которых разбиают треугольник $Y$ его высоты. Этот прямой

32

угольный треугольник обозначим $Y_1$, остальные — как показано на рисунке 3 — обозначим соответствующее $Y_2$, …, $Y_6$. Пусть $f_j$: $Y - Y$ — перемещение $Y$ такое, что $f_j(Y_j) = Y_1$. Если каждый из $2^{2n}$ маленьких треугольников, которые отображаются преобразованием $h^n$ на весь треугольник $Y$, разбить высотами на шесть треугольников, то $Y_1$ будет разбит на $2^{2n}$ подобных ему (с коэффициентом $2^n$) треугольников, которые мы обозначим через $X_j$, $1 \leq j \leq 2^{2n}$ (рис. 4). После отображения $h^n$ каждый $X_i$ перейдет в некоторый $Y_j$, и если затем переставить числа в той же ($\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$) в порядке убывания — применить $f_j$, то произведение двух преобразования $f_j \cdot h^n$ отображает $X_i$ на $Y_1$ (преобразование подобия с коэффициентом $2^n$).

Мы утверждаем, что в каждом из $2^{2n}$ треугольников $X_i \subset Y_1$ существуетровно одна «неподвижная точка» $y_i$ также, что $y_i \in X_i$ и $f_j(h^n(y_i)) = y_i$. Из ответа нужно еще исключить неподвижные точки тех треугольников $X_i$, у которых больше категории $Y_1$ (их существует именно столбко, каков коэффициент подобия), поскольку для этих (и как нетрудно видеть, только для этих) треугольников «неподвижная точка» попадает на границу, где отображение $h^n$ не определяено. Отсюда сразу следует, что ответ в нашей задаче: $2^{2n} - 2^n$. (На рисунке 4 в каждом из 12 головных треугольников лежит по одному точке ($\alpha, \beta, \gamma$), для которого ($\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$) после перестановки в порядке убывания совпадает с ($\alpha, \beta, \gamma$).)

Осталось только доказать наше утверждение. Для этого мы применим к треугольнику $Y_1$ и отображению $p$ этого треугольника на $X_i \subset Y_1$, обратному к $f_j h^n$, следующее теорему.

Теорема. Пусть $Z$ — некоморяя фигура на плоскости (причем все границы точки $Z$ считаются принадлежащими $Z$), $p: Z \rightarrow Z$ — преобразование подобия с коэффициентом $k < 1$. Тогда существуетровно одна «неподвижная точка» преобразования $p$, принадлежащая $Z$, то есть молко одна $z_0 \in Z$, для которой $p(z_0) = z_0$.

Доказательство теоремы для ограниченной фигуры $Z$ (а именно этот случай нам нужен) проще всего проверить так. Пусть $Z_n = p^n(Z)$ (результат $n$-кратного применения $p$ к $Z$). Тогда $Z \supset Z_1 \supset Z_2 \supset Z_3 \supset \dots$ и пересечение всех $Z_n$ состоит из одной точки $z_0$ (рис. 5). Эта точка и будет неподвижной точкой преобразования $p$.

Другое доказательство, позволяющее явно указать неподвижную точку и пригодное для неограниченных фигуры $Z$, можно получить с помощью компликционных чисел. Любое преобразование подобия плоскости можно записать как результат последовательного выполнения поворота, растяжения в $k$ раз, параллельного перенаса: $z| \rightarrow az + b$ и быть может, еще предварительно симметрично относительно прямой: $z| \rightarrow az + b$ (здесь $a$ и $b$ — компликственные числа, $|a| = k$, $z = x - iy$ — сопряжение $k = z + iy$; см. статью «Мнимые числа и геометрические задачи», «Квант» №3, 1973, с. 22). В первом случае неподвижная точка находится как решение уравнения уравнения.

$$z_0 = az_0 + b > z_0 = \frac{b}{1 - a} = \frac{b + \bar{a}b}{1 - k^2},$$

во втором — как решение системы уравнений

$$\begin{cases} z_0 = \bar{a}z_0 + b \\ \bar{z}_0 = \bar{a}z_0 + \bar{b} \end{cases} > z_0 = \frac{b + \bar{a}b}{1 - \bar{a}},$$

$$= \frac{b + \bar{a}b}{1 - k^2}.$$

34

Примечання 1. Заметим, что при перемене мест чисел, который мы произведем, сумма произведений строго увеличивается. Отсюда следует, что сумма произведений равна максимальной в том и только в том случае, когда таблица получается из таблицы с упорядоченным строками путем перестановки столбцов.

2. Если не предполагается, что в таблице стоит положительные числа, то утверждение неверно. Простейшим примером может служить таблица $2 \times 3$ (рис. 7).

В. М. Макаревич

M198. Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки соответствующего H и K так, что треугольники KAB и HCB равноведренные (KA = AB и HC = CB (рис. 8)). Докажите, что треугольник KDH — может равноведренный.

Это совсем простая задача. Расмотрим треугольники AKD и CDH. Они равны, поскольку AD = CH, AK = DC и DAK = DCH (см. рис. 9, а, б, с). Поэтому длины отрезков KD и DH одинаковы. Легко убедиться и в том, что треугольники KDH, AKB и BHC подобны (сделайте это).

В. Л. Гутенмахер

M199. a) Докажите, что сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 \frac{1}{4} + C_{n-2}^2 \frac{1}{4^2} - \dots +$$
$$+ (-1)^i C_{n-i}^1 \frac{1}{4^i} + \dots,$$
(sумма берется по всем целем i, 0 ≤ i ≤ $\frac{n}{2}$) равна $\frac{n+1}{2^n}$.

б)* Докажите, что если p и q — различные числа u p + q = 1, то сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 pq + C_{n-2}^2 p^2 q^2 - \dots +$$
$$+ (-1)^i C_{n-i}^1 p^i q^i + \dots,$$

рис. 9

35

$$\frac{p^{k+1}(1-q) - q^{k+1}(1-p)}{p-q} = \frac{p^{k+2} - q^{k+2}}{p-q}$$

(напомним, что $p+q=1$).

Остается проверить базу индукции. При $n=0$ $S_n=1$ и $\frac{p-q}{p-q}=1$ – формула верна.

При $n=1$ $S_n=1$, а $\frac{p^2-q^2}{p-q}=p+q=1$ – формула снова верна.

Таким образом, и индукционный шаг и база индукции проверены. Следовательно, формула справедлива при всех $n$.

Замечание. В нашем решении мы пользовались тем, что $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^k$ Выведите это соответствие самостояльно из формулы для $C_n^k$, приведенной в условии задачи.

Л. Г. Лиманов

Почти все читатели, приславшие решения задач M190—M199, успешно справились с задачими M191, M198. Мы получили более 150 правильных решений задачи M196. Правильные решения остальных задач пришли (жирная цифра после фамилии — последняя цифра номера решенной задачи): С. Абрамов (Москва) 7; С. Адеев (Воронеж) 2; Д. Азов (Челябинск) 2; Ю. Акумин (Москва) 5; П. Баньковский (Уральск) 7; А. Бараов (Старый Урух КБАССР) 7; Е. Башкиров (Минск) 2, 7; А. Берлин (Бобрый) 2, 7; А. Блох (Харьков) 2, 4, 7, 9; А. Бузанов (Днепропетровск) 2; А. Вайновский (Баку) 2; А. Вальков (Ташкент) 2, 7, 9; А. Васицеев (Ставрополь) 7; Р. Вассерман (Одеска) 9; С. Вилкомир (Москва) 2; А. Волков (Челябинск) 3; В. Гавриин (Ковылин Морд. АССР) 2, 7; А. Гончаров (Никопол) 2; А. Грицорян (Баку) 0, 2, 4, 7, 9; С. Гриценко (ст. Ленинградская Краснодарского края) 7; С. Гродский (Корсунь—Шевченковский) 7; Е. Гусев (Павлоград) 2, 7, 9; Г. Гутин (Клинцы Брянской области) 2, 4, 7, 9; А. Дадомов (Ленинград) 2, 4; К. Данильченко (Волгоград) 2, 9; П. Дедик (Москва) 7; В. Дупцов (Душанбе) 7; А. Ермененко (Харьков) 2, 9; К. Ермененко (Челябинск) 2; А. Жданов (Славянск—на—Кубани) 2; А. Журавлев (Москва) 2, 7; М. Закс (Пермь) 2; А. Заславский (Калинин) 7, 9; В. Карапетян (Севан) 2, 9; Д. Карпов (Павлоград) 7, 9; М. Кац (Кишинев) 7; И. Кирова (Болгария) 2; Л. Клименок (Москва) 7; Ю. Князикин (Таллин) 7; М. Кобозев (Киев) 9; К. Козел (Польша) 0; С. Коняesen (Саратов) 0; В. Кошарный (Волоногорск Днепропетровской области) 4, 7; А. Кукуш (Киев) 4; Р. Купец (Польша) 0; А. Курляндик (Ленинград) 2, 4; Г. Левант (Фрунзе) 2; Д. Лифшиц (Кутанси) 7; М. Любиц (Харьков) 0, 7; А. Макарцев (Львов) 2—4, 7, 9; Г. Малашонок (Львов) 2, 7; Д. Мамедов (Дивич Азерб. СССР) 9; С. Мельник (Харьков) 2; Д. Мостовой (Грозный) 3; Г. Мустафаев (Сназаны) 9; В. Нападов (Харьков) 2, 4; А. Николаев (Москва) 0; С. Нужный (Куйбышев) 2, 4; М. Осипов (Москва) 7; И. Панин (Апатиты) 2; В. Паньков (Минск) 0, 3, 5, 7; П. Парамонов (Москва) 5, 7; Е. Парилис (Ташкент) 7, 9; Е. Пасик (Харьков) 2, 3, 4, 7, 9; В. Перевалов (Комсомольск—на—Амуре) 2; В. Прунс (Москва) 2; А. Разуляев (Клин) 7; А. Райин (Москва) 0; А. Резников (Киев) 2, 4; С. Родонов (Саратов) 9; Р. Рожков (Рязан) 2, 7; Ф. Рожков (Рязан) 2, 7; В. Розенштейн (Каменец—Подольский) 7; А. Рязанов (Н. Кузнецк Кемеровской области) 7; Г. Самородницкий (Нежин) 2; В. Сац (Киев) 2; А. Сахаров (Ярославль) 7; Г. Скляр (Харьков) 7, 9; В. Слепой (Фрунзе) 3; В. Слепенко (Челябинск) 7; А. Слесаренко (Рубцовск Алтайского края) 2, 4; А. Сликин (Москва) 0, 2, 4, 7, 9; И. Слуцкий (Минск) 2; Я. Сойбельман (Киев) 2; К. Стемиак (Польша) 2, 3; С. Табачников (Москва) 0, 2—5, 7, 9; В. Ткаченко (Киев) 7; Э. Туркевич (Черновцы) 0, 2—4, 7, 9; С. Фомин (Ленинград); 2, 3; С. Церковный (Ленинград) 7; Н. Чекрыков (Набережные Челны) 3; А. Черебамов (Омск) 2, 3, 7; Н. Чернов (Кривой Рог) 2, 3, 7, 9; А. Шерстюк (Николаев) 0, 7, 9; В. Шляков (Харьков) 2, 3, 4, 7; И. Шербина (Днепропетровск) 0,2—4, 7, 9; А. Шехорский (с. Старики Житомирской области) 9; Р. Юлухаметов (д. Иткулово Башк. АССР) 7; И. Юнус (Харьков) 2, 7, 9.

Ю. П. Лысов

Ф208. У автоматизация, участвуцоцезо в конце, лопаемся шина. Оценить, с какой скорость должен examб автоматизив, чтобы шина не сминалась.

Будем считать, что автоматизив движется равномерно и без просkalзывания, и рассмотрим, какие силы действуют на участок шины одного колеса, который сорпкасается с дорогой: В инерциальной системе координат, связанной с центром колеса, этот участок шины движется по окружности радиуса $R$ (радус колеса) с линейной скоростью, равной по величине скорости автоматизив v. Центростремильное ускорение этого участка равно $a_u = \frac{v^2}{R}$.

Какие силы действуют на такой участок шины (назовем его «ведущим»)? Если пребегчь деформацией шины и связанным с ней силами, то на ведущий участок действия только одна сила — сила реакции дороги $N$.

(Сила также mg, действующая на этот участок, много меньше $N$, и его можно пребегчь).

Так как у обычных автоматизив 4 колеса,

36

то эта сила (в среднем) равна $N = \frac{1}{4} Mg$,

где $M$ — масса автоматическая. Ускорение, сообщаемое ведущему учаску шины массы $m$ силой $N$, и есть центристриментальное ускорение, то есть

$$\frac{1}{4} Mg = m \frac{v^2}{R}.$$

(1)

Так как левая часть равенства (1) построена (для данного автоматчика), то условия $R =$ const (условие несминаемости шины) и, как следствие, $m =$ const однозначно определяют необходимую скорость:

$$v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M}{m} g R}.$$

(2)

Для получения количественной оценки подставим в эту формулу следующие значения: $g = 10 \, m/c^2$, $R = 0,5 \, m$, $M = 2 \cdot 10^3 \, \text{кг}$. Величину $m$ нужно оценить. Масса шины порядка 30 кг, а с дорогой соррикается ее небольшой участок. Будем считать, что его длина $l = 10 \, \text{см}$. Тогда

$$m = m_{\text{ш}} \cdot \frac{l}{2\pi R} \approx 30 \cdot \frac{10}{2 \cdot 3,14 \cdot 0,5} \approx 1 \ (\text{кг})$$

(мы считаем, что радиусечение шины мал по сравнению с радиусом колеса).

Подставив теперь все эти величины в формулу (2), получим

$$v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2000}{1} \cdot 10 \cdot 0,5} = 50 \, m/c = 180 \, \text{км/ч}.$$

Для геоного автоматия эта скорость совсем невелика.

Ф209. Смоделировать траекторию заряженной частицы в магнитном поле можно, помещив в однородное магнитное поле закрепленный на концах циклипровник, по которым пропускается ток. Каким будет намяшение макое провода при може 1 а, если он имитирует траекторию движения протона с энергейой 1 Мэв, вламацезо в магнитное поле перpendикулярно магнитным силовым линям?

$$F = IB\Delta l,$$

перpendикулярная элементу $\Delta l$ (рис. 11). Со стороны приложающих участков действуют силы $T_1$ и $T_2$ натяжения проводок ($|T_1| = |T_2| = T$). Так как рассматриваемый элемент проводки находится в равновесии, то равновесийшая сила $T_1$ и $T_2$ должны быть по абсолотной величины равна силе $F$, то есть

$$2T \sin \frac{\alpha}{2} = IB\Delta l;$$

отсюда

$$T = \frac{1}{2} \frac{IB\Delta l}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$

Но $\Delta l = \alpha R$, где $R$ — радиус окружности, которое представляет проводок. Кроме того, так как элемент проводки мы взяли малим (по сравнению с $R$), то угол $\alpha$ мал и

$$\sin \frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}.$$

Позуму

$$T = \frac{1}{2} \frac{IBR\alpha}{\alpha/2} = IBR.$$

Итак, для того чтобы найти $T$, нужно определить $R$.

Протон в магнитном поле движется по окружности под действием силы Лоренца

$$F = evB$$

(v — скорость протона, e — его заряд). Эта сила сообщает протону центристриментное

37

Ф210. Два одинаковых открытых соединины двумя одинаковыми прубками и доверху заполнены водой. Трубки закрыты кранами $K_1$ и $K_2$ (рис. 12). Температура воды в сосудах поддерживается постояной, причем $t_1^\circ > t_2^\circ > 4^\circ$ С. Что будет проискодить с водой в сосудах, если сначала открытый кран $K_2$, а затем (при открытом кране $K_2$) открытый кран $K_1$?

После открывания крана $K_2$ сосуды станут сообщающимся. Поэтому в них установятся такие уровни воды, при которых давления в нижних точках сосудов будут одинаковыми (инначечность перетекала бы из одного сосуда в другой):

$$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$$

($\rho_1, \rho_2$ — плотности воды в сосудах с температурами соответствующего $t_1^\circ$ и $t_2^\circ$, $h_1$ и $h_2$ — соответствующее уровни воды).

Так как $t_1^\circ > t_2^\circ > 4^\circ$ С, то $\rho_1 < \rho_2$. Это означает, что $h_1 > h_2$, то есть вода перетечет из правого сосуда в левый и часть ее выпLETся.

Что будет проискодить с водой при открывании крана $K_1$, зависит от соответствия между давлениями воды в сосудах на уровне трубки. А так как давление линейно связано с высотой уровня и $h_1 > h_2$, то на любом уровне $0 < h < h_1$ давление в левом сосуде больше, чем в правом (рис. 13). Следовательно, $p_1(h_0) > p_2(h_0)$. Поэтому, когда мы открыем кран $K_1$, вода начинает перетекать по верхней трубке из левого сосуда в правый. При этом давление в правом сосуде будет увеличивать, а в левом — уменьшаться. Благодаря этому в нижней трубке появится поток воды из правого сосуда в левый.

Эта задача имеет прямое отношение к техническе. Батареи водяного отопления подсоединяют к одной трубке, и тем не менее вода циркулирует по такой батарее, а не просто теет по труббе, не захода в батарею.

И. Ш. Слободецкий

Рис. 12.

ускорение

$$a = \frac{v^2}{R},$$

то есть

$$evB = m \frac{v^2}{R},$$

или

$$BR = \frac{mv}{e} = \frac{1}{e} \sqrt{2 \frac{m^2 v^2}{2}} = \frac{1}{e} \sqrt{2 m \frac{mv^2}{2}}.$$

Так как $\frac{mv^2}{2} = W$ — кинетическая энергия протона, то $BR = \frac{1}{e} \sqrt{2 m W}$.

Таким образом, $T = \frac{1}{e} \sqrt{2 m W}$.

Подставляя в эту формулу $I = 1a$, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \kappa$, $m = 1,67 \cdot 10^{-27} \kappa$, $W = 1 Mэв = 1,6 \cdot 10^{-13} \partial x$, найдем

$$T = \frac{1}{1,6 \cdot 10^{-19}} \sqrt{2 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 1,6 \cdot 10^{-18}} \approx 14 (\text{н}).$$