О границах корней кубического уравнения

21

О границах корней кубического уравнения

Как известно, формулы, позволяющие точно выразить корни кубического уравнения через его коэффициенты, веса громодики. Поэтому часто выдается важно приближение оценить корни кубического уравнения.

В этой статье оценывают границы, в которых могут лежать действительные корни кубического уравнения.*)

Рассмотрим кубическое уравнение
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,$$
(1)
козффициенты $a, b, c, d$ — действительные числа, $a \neq 0$. Первое слагаемое $ax^3$ в левой части уравнения (1) называется его стариим членом, последнее слагаемое $d$ — свободным членом.

Как известно**), уравнение (1) имеет три корня, один из которых — действительный, а два других — либо действительный, либо комплексно-сопряженные. Нас будут интересовать только действительные корни уравнения (1). Наша цель такова: не вычисляя самих корней, получим некоморные границы (оценки) для них, то есть указыва на действительной оси интегралы, в которых лежат эти корни.

Для этого вместе с уравнением (1) рассмотрим многочлен третий степени
$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$$

Что можно сказать о поведении этой функции при больших по абсолотной величины значениях $x$? Если аргумент $x$ принимает возрастание по абсолотной величины значения, то абсо-

*) Эта статья—продолжение цикла материалов, посвященных кубическим уравнением (см. «Квант», 1971, №11, 1972, №6).
**) См. «Квант», 1971, №11, c. 20—21.

лотная величина каждого члена правой части уравнения (2) будет возрастать, причем тем быстрее, чем выше степень этого члена.

Ясно, что быстрее всего будет возрастать абсолотная величина старшего члена $ax^3$. Поэтому можно ожидать, что если выбрать значение $|x|$ достаточно большим, то абсолотная величина старшего члена $ax^3$ будет больше абсолотной величины суммы всех остальных членов, то есть
$$|ax^3| > |bx^2 + cx + d|.$$

Докажем, что это неравенство справедливо для всех $x$, достаточно больших по абсолотной величины.

Поскольку абсолотная величина суммы не превышает суммы абсолотных величины слгаемых, то
$$|bx^2 + cx + d| \leq |b| \cdot x^2 + |c| \cdot |x| + |d|.$$

Положив, $|x| = v$, перепишем это неравенство:
$$|bx^2 + cx + d| \leq |b| \cdot v^2 + |c| \cdot v + |d|.$$

Козффициенты $|b|, |c|$ и $|d|$, стоящие в правой части неравенства (4),—неотрицательные действительные числа; обозначим наибольшее из них через $M$:
$$M = \max(|b|, |c|, |d|).$$

Если в правой части неравенства (4) вместо каждой из коэффициентов $|b|, |c|, |d|$ подставить число $M$,

22

то неравенство (4) от этого только успешся. Следовательно, справедливо неравенство
$$|bx^2 + cx + d| \leq M(v^2 + v + 1),$$
которое, если воспользоваться известным тождеством,
$$v^2 + v + 1 = \frac{v^3 - 1}{v - 1}, \quad v \neq 1,$$
можно записать в виде
$$|bx^2 + cx + d| \leq M \frac{v^3 - 1}{v - 1}.$$
Так как нас интересют большие значения $|x| = v$, то будем считать, что $v > 1$. Но тогда
$$\frac{M(v^3 - 1)}{v - 1} < \frac{Mv^3}{v - 1},$$
и потому неравенство (6) примет вид
$$|bx^2 + cx + d| < \frac{Mv^3}{v - 1}, \quad |x| = v > 1.$$
(7)

Если нам удостся показать, что абсолотная величины старшего члена $ax^3$ для всех достаточно больших по абсолотной величины значений $x$ (таких, что выполнен и условие $v > 1$) большие выражения $\frac{Mv^3}{v - 1}$, стоящого в правой части неравенства (7), то неравенство (3) будет доказано. Посмотрим, как надо выбрать $|x| = v$, чтобы выполнялось неравенство $|ax^3| > \frac{Mv^3}{v - 1}$, то есть
$$|a|v^3 > \frac{Mv^3}{v - 1}.$$
Решая полученное неравенство относительно $v$, находим, что оно заведomo выполнен для всех
$$v > \frac{M+|a|}{|a|}.$$
Так как $\frac{M+|a|}{|a|} \geq 1$ (ибо $M \geq 0$), то при условии (8) всегда выполнен и неравенство $v > 1$. Тем самым установлено, что неравенство (3) справедливо для
$$|x| \geq \frac{M+|a|}{|a|}.$$
Отсюда следует, что для значений $x$, удовлетворяющих условия (9), функция (2) не может обратиться в нуль. Другими словами, все действительные корни уравнения (1) удовлетворяют неравенству
$$|x| \leq \frac{M+|a|}{|a|}.$$
Положительное число $A = \frac{M+|a|}{|a|}$ называется верхней границей действительных корней кубического уравнения (1).
Okазывается, что можно найти и нижнюю границу действительных корней кубического уравнения (1), то есть такое неотрицательное число $B$, что все действительные корни уравнения (1) удовлетворяют неравенству $|x| \geq B$.
Для этого следует в уравнения (1) замену
$$x = \frac{1}{z}.$$
(11)

Тогда после очередных преобразований получим уравнение
$$dz^3 + cz^2 + bz + a = 0.$$
(Bудем считать, что в уравнения (1) свободный член $d \neq 0$, либо случай $d = 0$ интереса не представляется (уравнение (1) в этом случае имеет корень $x = 0$, а остальные его корни определяются из квадратного уравнения).
Так как $|x| = \frac{1}{|z|}$ (см. (11)), то ясно, что из неравенства $|z| < K$, где $K > 0$, следует неравенство $|x| > \frac{1}{K}$.
Позному если в качестве $K$ взять верхнюю границу действительных корней уравнения (12), то число $\frac{1}{K}$ будет ижней границей действительных корней уравнения (1). Но верхнюю границу $K$ действительных корней уравнения (12) находится мы уже умеем (см. (5), (10)):
$$K = \frac{N+|d|}{|d|},$$
где
$$N = \max(|c|, |b|, |a|).$$
(13)

23

Позному нижняя граница действительных корней кубического уравнения (1) такое:

$$B = \frac{|d|}{N + |d|}.$$

Остается заметить, что эта формула годится и в случае $d = 0$, тогда нижняя граница, очевидно, равна нулю (ибо имеет нулевой корень), и именно этот же результат получается по формуле (14) (при этом, конечно, $N \neq 0$, либо в уравнения (1) по предположению $a \neq 0$).

Подведем итог: все действительные корни кубического уравнения (1) удовлетворяют неравенству

$$B \leq |x| \leq A,$$

еде числа $A$ и $B$ определяются через коэффициенты уравнения по формулам (10), (5) и (14), (13). Другими словами, действительные корни кубического уравнения (1) могут лежать только на отрезках $[-A, -B]$ и $[B, A]$ действительной оси; вне этих отрезков действительных корней уравнения (1) заведено не имеет.

При мер. Рассмотрим уравнение

$$2x^3 + 5x^2 - 4x - 3 = 0.$$

Здесь $M = 5$, $|a| = 2$, а потом $A = \frac{7}{2}$. Таким образом, верхняя граница действительных корней рассматривается равна $\frac{7}{2}$. Далее, $N = 5$, $|d| = 3$, а потом $B = \frac{3}{8}$. Следовательно, нижняя граница действительных корней рассматривается равна $\frac{3}{8}$. Другими словами, вещественные корни рассматривается лежать на отрезках $(-7/2, -3/8)$ и $(3/8, 7/2)$.

Из старого словаря

(Продолжение Начало см. c. 20)

Посмотрим на словоэлектрическо. Читаем: «… Вещесво, тончайшее из всех известных жидких тел, сообщающее почти со всеми телами, в большей или меньшей мере, и движущееся с необыкновенной скоростью».

К этому описанию можно добавить, что в начале XIX века считалось, что существуют две электрические жидкости, отвечающие двум зарядам — положительнымному и отрицательному. К этим жидкостям добавились еще две магнитные (северный и южный магнитизм), жидкость, связанная с силой тяжестеги, и теплород.

Интересно, что в Словаре различаются «тяжестеги сила, побуждающая всяя всяя телятемь к низу или к центру Земли», и «всеобщее тяготение — взамное привлечение всех небесных тел».

Можно понять, почему с теплотой и электрическом связывании существование специфических жидкости. Физики заметили, что в природае нечто, что сохраняет. Простейшим и самым понятным законом был закон сохранения вещества — в частиности, жидкости. Этим законом широко пользовались в гидродинамике. Поэтому и с другими сохраненными долгов питания долговпись связываться специфические жидкости. То, что эти жидкости должны быть необычайно легко проникать во все тела, на первых порах малого смуса: тела представлялись простыми, а жидкости «тонкими».

(Окончание см. c. 28)