[О паровой машине Сенерна и Ньюкомена]

Квант 1973, №12 с. 1, 3, 4, 5, 6, 7 Тег QH7I

«В начале XVIII столетия английане Северни и Ньюкомен постропли машину для выкачивания воды из каменочного льных копей. Она представлена на чертеже. В конце b образуется пар, который через трубку e переходит в цилиндр d и поднимает поршень; когда поршень доходит до верха, запирают кран e, открывают h и через трубку i вырызгают в цилиндр из резервуара n струю холодной воды, которая стушает пары; внутри цилиндра делается пустота — поршень опускается от давления атмосферы; вода, образующаяся от струиния пара и вырызгая из резервуара n, выpusается посредством трубки m. Таким образом, открывая и закрывая краны e, h, m, можно заставить поршень двигаться вверх и вниз. Поршень имеет стержень, который с помощью цепи соединин с коромыслом, имеющим точку опоры в средине. На другом конце коромысла тоже висит цепь, а к ней прикреплен стержень насоса, который выкачивает воду из каменочного льных копей.

Это описание одной из первых паровых машин приводилось в книге «Руководство физики», составленной А. Малинным и К. Буренным. Седьное издание этой книги для гипназий и реальных училищ вышло в свет в 1883 году.

О приципке действия тепловых машин рассказывается в этом номере нашего журнала в статье Ю. И. Соколовского (см. с. 12).

Главный редактор
академик И. К. Киоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллии.
главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий.
зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. И. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ

2 Л. А. Калужкин. К 100-летию теории множества
Георга Кантора
9 Д. Б. Фукс, М. Б. Фукс. Радиональные приближения и
трансцендентность
12 Ю. И. Соколовский. Тепловые машины
21 О. А. Жаутыков. О границах корней кубического уравнения
24 В. Н. Березин. Что видит внимание глаз

Математический кружок
26 Ю. П. Лысов. Каких чисел больше?

Задачник «Квант»
29 Задачи M236—M240; Ф248—Ф252
31 Решения задач M179, M196—M199; Ф208—Ф210

Практикум абитуриента
39 Я. И. Груденов. Поиск решения задачи
45 А. Н. Борзак, В. И. Давыдов, П. Т. Дыбов, И. И. Наслу-
зов. Телевидение готовит вуз

Информация
46 Л. Новикова, В. Стрельцов. Полигон логических структур
49 И. Г. Венецкий, Ю. И. Соркин. IV математическая олимпида МЭСИ
50 В. В. Алексадров. Преподавание математики на подготов-
тельных отделенияхузов
52 В. Н. Березин, М. Л. Смолянский. Наша почта

«Квант» для младших школьников
54 Задачи
55 В. М. Розентилер. Часы-календарь

Ответы, указания, решения
59 Напечатано в 1973 году
63 Анкета

Уголок коллекционера
(3-ая с. обложки)
В. А. Лешковцев. Первая пакета к Марсу

Смесь (с. 8, 20, 23, 28, 38)

К 100-летию теории множества Георга Кантора

Если вы захотите, чтобы дерево приносило больше плодов, чем обычно, вам нечего делать с его ветвями, а нужно взрыхлить землю и подложить новую почву под корни.

Френис Бэкон

В конце XIX века для математического анализа — центральной области чистой и прикладной математики — стало необходимым уточнить смысл таких основных понятий, как функия, неперьявность, схождение. Для этого нужно было строого определить, что такое действительное число и, более того, что такое натуральное число.

Этот комплект вопросов был успешно решен, в первую очередь, немецкими математиками К. Вейерштрассом (1815—1897), Г. Кантором (1845—1918) и Р. Дедекиндом (1831—1916). Их труды заполнили основы современного анализа.

Надо заметить, что общая обстановка, сложившаяся к тому времени, благоприятствовала развитию новых, плодовных идей в науке.

В конце XIX — начале XX столейный процессодит пересмогт старых представления буквально во всех областях знания. При этом внедrax старых ученийрождались новые представления.

Сейчас мы — свидетель научнотехнической революции — уже не порожаемся таким проявлением че

*) Г. Кантор родился в Санкт-Петербурге в 1845 г. В Германии — с одинаковыми лет. В 1867 г. окончил Берлинский университет. Основной вклад Г. Кантора в науку состоит в создании теории множества.

Умер в 1918 г.

ловечского гения, как космонавтика, atomная энергетика или ЭВМ. Это качество нам обиденным. И очень немногие представляют себе, какой огромный вклад внесли ученыые прошло в сокровищницу мировой науки.

Чтобы проследить путь развития современной науки и техники и иметь возможность предвидеть их дальнейшее развитие, нужно вернуть к истокам.

Крупнейшиеfundamentальные достижения науки — такие, как открытие теории относительнойности или появление кибернетики, стали возможными не только благодаря увеличению объема научных знаний, но и в силу критического переосмысления самых основных и привлечных понятий.

В математическом анализе основные определения также подверглисьрезвчайномуобобщению,«… исследовались функции с самых необъективными свойствами и алгоритм… Это дело возможно только математиком о превращении или вырождении математического анализа в «клинику и патологический функций», либо правильное течение функции стало редчайшим исключением» (Н. Н. Лузин). Подгрозными ударами критики основ математического анализа началась перестройка всей математической науки.

В результате дальнейшего приведения в порядок основ анализа в конце XIX века возникла новая функция

mentальная область математики — теория множеств. Ее становление проходило в обстановке резкой критики, особенно со стороны Л. Кронека*). Критика была вызвана смелыми воззрениями Кантора, которые шли вразз с многоевковой традицией. Но это не могло помешать плодотворным применением новой теории к многочисленным разделам математики. С начала XX века теория множествства стала базой всех математических дисциплин, а теперь ее методы и понятия постепенно проникают и в школьную математку. Исходные положения этой науки не более трудны, чем положения арифметики или элементарной алгебры и геометрии. Если они тем не менее не так широко известны, то это связано с тем, что теория множествства возникла сравнительно недавно — всего это лет назад. Ее родоначальником был один из величайших математikов — Георг Кантор. Мы можем даже точно назвать «день рождения» этой науки — 7 декабря 1873 года. В этот день Кантору удалось доказать первое нетривиальное утверждение о бесконечных множествах — «меoremу о несетности множества действительных чисел». Тем самым был открыт путь к построению новой большой математической дисциплины — учения о бесконечных множествах. О том, как это произошло, мы знаем из переписки Кантора с Дедекиндом. Нам кажется, что расскад об этом с выдержками из письм Кантора представляется несомненный интерес для наших читателей.

В начале 70-х годов прошло столета молодой профессор. старинного немецкого университета в Галле Георг Кантор задумался о существии натуральных чисел, которые мы получаем для счета предметов в каком-тоибудь конечном множестве, и о том, нельзя ли и бесконечным множествам, например множеству всех точек плоскости или множеству всех целых чисел, приписьвать некоторые «числа» неизвестной пока природы. Интерес к подобным вопросам возникок у Кантора под влиянием его учитель, профессора Вейерштрасса. Мы уже говорили о том, что внимание крупнейших математikов было приковано к действительным числам. Это объясняется тем, что, в конечном смете, именно с недостаточно точным определением того, что такое действительное число, и были связаны трудности, возникшие в анализе. Постепенно математики этой эпохи переходили ко все более простым понятиям: от действительных чисел к рациональным, целым и, наконец, к натуральным.

Можно считать, что натуральные числа не следует сводить к более простым понятиям. Такого мнения придерживаются некоторые математики и сейчас. Но многое говорить о том, что понятие натурального числа не является простейшим: есть более простые, более наглядные понятия. Ребенок освивает это понятие не сразу, а обучается ему постепенно. Из анализа языка хорошо известно, что общие натуральные числа появились довольно поздно. Их «изобретение» сравнимо по своему значению только с изобретением письменности. В допустиме времени (анало-

гичные явления можно наблюдать у некоторых племен и сегодня) люди залили лишь числа «1», «2», иногда еще «3», а далее шло «много», «тЬма».
И все-tаки, не умяя считать, люди могли ответить на вопрос, в каком из двух множества большие элементов. Разумеется, в этом случае сравнимых множества конкретиных элементов: поголовье скота, размеры войск и другие. Сейчас этот метод сравнения множества называется установлением взаимно однозначного соответствия. Вот в чем он заключется.

Пусть мы имеем два конечных множества $M_1$ и $M_2$ . Элементы первого множества обозначим условно собачками, а второго — кошками. Для сравнения этих множества поступают так: извлекают по одному элементу из каждой множества и сопоставляют их друг с другом, образуя пары (см. рисунок).

Если собачки и кошки кончаются одновременно, то говорят, что между множествами $M_1$ и $M_2$ установлено взаимно однозначное соответствие и что эти множества содержат одинаковое число элементов (что они равны численными или эквивалентны). Легко представить себе другую ситуацию: некоторые элементы множества $M_1$ остались без направника. Тогда следует считать, что множество $M_1$ содержит большие элементов, чем множество $M_2$ . Очевидно, что описанная процедура сравнения конечных множества не нуждается в понятии «натуральное число». Наоборот, понятие взаимно однозначного соответствия, по-видимому, является более простым, и можно определить понятие «натуральное число» исходя из него.

Matematики и логики прошло столетия (Г. Фрег, Б. Рассел и другие) предлагали делать это на основе, примерно, следующих рассуждений.

Разобъем все конечные множества на классы таким образом, что в каждой классе входят те и только те множества, которые эквивалентны между собой, вне зависимости от природы элементов образующих данное множество. Тогда то общее свойство, которое характеризует все конечные множества из какого-либо класса, и определяется как число элементов в множествах этого класса. Так, например, 5 — это то общее свойство, который обладает все конечные множества, эквивалентные множеству пальцев моей правой руки. Из вышеизложенного ясно, как сравнить определенные таким образом числа «по величины». Пусть $m_1$ и $m_2$ — два натуральных числа, а $M_1$ и $M_2$ — два множества, характеризующих которых является эти числа. Если $M_1$ и $M_2$ неэквивалентны и имеет взаимно однозначное соответствие между $M_1$ и некоторой частью множества $M_2$ , то $m_1 < m_2$ . Таким образом мы определили понятие «натуральное число» и свойства этих чисел ( $n_1 = n_2; n_1 < n_2; n_1 > n_2$ ).

Но ведь при таком способе сравнения совсем не обязательно предполагать, что множества $M_1$ и $M_2$ конечные. Поэтому у Кантора возникла

мысль, что таким же образом можно разбит на классы и все бесконечные множества.

Все множества, входящие в один класс, то есть имеющие одну и ту же мощность, называются равно мощью.

Тогда всем множества, входящим в один класс, соответствует определенное число, которое называется крдинальным числом или мощностью.

Отсюда ясно, что мощность — это обобщение понятия натурального числа.

Простейшим примером бесконечного множества является множество $N$ всех натуральных чисел. Позному Кантор стал сравнивать различные бесконечные множества с множестром $N$ . Очень скоро выяснилось, что для многих бесконечных множества довольно просто устанавливается взаимно однозначное соответствие с этим множеством. Расмотрим, например, $N_2$ — множество всех положительных четных чисел. Несмотря на то, что $N_2$ является частью $N$ , между $N_2$ и $N$ можно установить взаимно однозначное соответствие: числу $2n$ , входящему в множество $N_2$ , сопоставим число $n$ , входящем в множество $N_1$ . Ясно, что такое соответствие будет взаимно однозначным. На первых порах казалось парадоксальной возможность установить взаимно однозначное соответствие между множестром и его частью: ведь для конечных множества такая ситuation невозможна. Но споры по этому поводу представили довольно скоро — было установлен, что для бесконечного множества $A$ всегда можно указать такое его подмножество $B$ , что между $A$ и $B$ можно установить взаимно однозначное соответствие. Дедекинд даже предложил считать это определением бесконечного множества.

Еще больше удивление вызывало то, что существует взаимно однозначное соответствие между множестром всех положительных разциональных чисел и множестром $N$ . Тем не менее указать такое соответствие не так уж трудно. Постраайтесь сделать это самостояльно *).

Естественно возникнет вопрос: существует ли бесконечные множества, для которых взаимно однозначное соответствие с $N$ невозможно?

Если бы таких множества не оказалось, то тем самым все бесконечные множества были ли бы равномощными, и понятие кардиального числа (для бесконечных множества) потеряло бы всякий смысл—он было бы одним и тем же для всех бесконечных множества.

В начале 70-х годов прошло века Кантор заподозрил, что бесконечным множестром, не равномощным множеству $N$ натуральных чисел, является множество $R$ всех действительных чисел (или даже множество всех действительных чисел какого-либо отрезка — скажем, множество всех чисел отрезка [0, 1]). Но как это можно доказать? Ведь во всех рассмотренных выше случаях доказательство состояния в нахождения некоторых операторов вполне определенного взаимно однозначного отображения. В данном же случае требуется установить, что построение подобного отображения невозможно. Утверждение такого рода называется «теоремии невозможности», и их доказательство обычно требует совершения квадратуры круг и трисекции угла, или доказательство невозможности решения алгебраических уравнений степени большие чем четыре с помощью операций сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения корней различных степеней). О работе Кантора над доказательством неравномощности множества действительных чисел и множества $N$ натуральных чисел довольно подробно извлечено из его переписки с Дедекиндом. Вот некоторые выдержки из этой переписки:

*) Если вам это не удалось, прочитите статью «Каких чисел больше?» (с. 26). Приведенные в ней указания помогут вам справиться с этой задачей.

«Галле, 29 ноября 1873 г.
… Разрешите обратиться к Вам с вопросом, представляющим для меня некоторые теоретический интерес, но на который я не могу найти ответа. Может быть, Вы это можете и будете так любезы мне об этом написать. Речь идет о следующем.

Рассмотрим совокупность всех положительных целочисленных объектов и обозначим ее через $(n)$ . Кроме того, рассмотрим, скажем, совокупность всех положительных действительных числовых величины и обозначим ее через $(x)$ . Вопрос состоит просто в том, возможно ли так поставить в соответствии $(n)$ и $(x)$ , что каждому индивдудуу одной совокупности будет ответать один и только один индивдудум другой.

С первого взгляда кажется, что нет — это невозможно, так как $(n)$ состоит из дискретных частей, а $(x)$ образует континуум. Но таким аргументом ничего не выигрывается, и как бы я ни склонялся к мнению, что $(n)$ и $(x)$ не допускают однозначного соответствия, причину этого я найти не могу, а именно это мне и нужно. Возможно, что причина совсем простая.

Разве на первый взгляд не склоняешь к мнению, что $(n)$ не допускает однозначного соответствия с совокупностью $(p/q)$ всех положительных рациональных чисел и тем не менее совсем не трудно показать…》(что это так. — Л. К.).

29 ноября 1873 г. в дневнике Дедекинда, где он отмечал содержание полученных им письм на научные темы и свои мысли по их поводу, появляется следующая запись: «… Я ему незамеглительно ответил, что я не могу решить его первый вопрос, но одновременно высказал и полностью доказал теорему, что даже совокупность всех алгебраических чисел может быть указанным образом сопоставлена совокупности $(n)$ натуральных чисел…».

А вот письмо от 2 декабря.

«… Я был очень рад получить сегодня Ваш ответ на мое последнее послание. Мой вопрос я Вам поставил по той причине, что уже года, как я в сомнении, являлся ли возникшие передо мной трудности трудностями чисто субъективного характера или же они связаны с существом дела. Так как Вы мне пишете, что и Вы не в состоянии на него ответить, то я могу считать, что верно последнее…».

И, наконец, письмо от 7 декабря 1873 г.

«… В последние дни у меня было время более интенсивно продумать высказанную много гипотезу; только сегодня, как мне кажется, я смог довести дело до конца. Если я ошибаюсь, то, несомненно, я не встречу более снисходительного критика, чем Вы. Я осмеливаюсь предложить Вашему приговору то, что я успел записать на бумаге со всеми несовершенствами первой мысли…».

Затем следует доказательство нечетности множества действительных чисел из интервала [0, 1]. Оно длино и сложно — редко самые первых доказательства какого-либо утверждения оказываются самыми простыми. Мы не будем его здесь приводить. Уже 9 декабря Кантор предложет более простое доказательство, а Дедекинд в свою очередь находится дальнейшие упрощения.

Вскоре возникло доказательство, известное как «диагональный метод Кантора», который пользовался в настоящее время. Приведем это доказательство.

Затем, что каждое действительное число $\rho$ , $0 \leqslant \rho \leqslant 1$ , можно записать как бесконечную десятичную дробь вида $0, a_1, a_2, \dots$ , где $a_i, i = 1, 2, \dots$ , — какие-либо цифры — знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Представление всех чисел в подобном виде однозначно, исключающее здесь представлен лишь тот случай, когда в записи числа, начина с некоторого $k$ , все $a_i$ равны 0. Такие числа могут быть записаны так же и по-другому: нужно заменить все $a_i$ , начина с того же разряда $k$ , цифрами 9 и уменьшить предшествующую им цифру на 1 — так, например, число 0,3500… можно