Bài toán M261—M265; F273—F277

48

Bài toán

M261—M265; F273—F277

M261. Một vòng có bán kính $R$, đặt trên một đường tròn đứng yên có bán kính $r < R$, bắt đầu lăn dọc theo đường tròn này. Chứng minh rằng điểm của vòng mô tả cùng một quỹ đạo mà nó mô tả từ bên ngoài dọc theo cùng một đường tròn bán kính $r$ (Hình 1, a, b). (Lăn xảy ra không trượt - sao cho chiều dài của các cung lăn lên nhau bằng nhau.)
S. G. Gindikin

M262. Số nhiều nhất là bao nhiêu:
a) xe,
b) nữ hoàng
Liệu $8 \times 8$ có thể được đặt trên bàn cờ sao cho mỗi quân cờ này bị tấn công bởi không quá một quân cờ khác không?

B. và L. Rabinovich

M263. Cho hai số $p$ và $q$, lớn hơn 1. Trên các cạnh $BC$ và $DC$ của cột hình chữ nhật $ABCD$ các điểm $P$ và $Q$ được lấy sao cho $|BC| = p \cdot |BP|$ và $|DC| = q \cdot |DQ|$. Với tỷ lệ nào giữa độ dài các cạnh $AB$ và $AD$ thì góc $PAQ$ có độ lớn lớn nhất? Giá trị tối đa này trong trường hợp đặc biệt $p = 2$, $q = \frac{3}{2}$ (Hình 2) là bao nhiêu?

E. G. Gotman

M264. Trong thành phố có một hình vuông màu xanh lam và $n$ hình vuông màu xanh lá cây, và mỗi hình vuông màu xanh lá cây được nối với nhau bằng các đường có một hình vuông màu xanh lam và hai hình vuông màu xanh lá cây (Hình 3). Trên mỗi đường $2n$, giao thông một chiều đã được đưa vào để trên mỗi đường

49

Cơm. 2.

Bạn có thể đến từng khu vực và rời đi với từng khu vực. Chứng minh rằng từ bất kỳ quảng trường nào của thành phố này, bạn có thể đến bất kỳ quảng trường nào khác mà không vi phạm các quy tắc có hại.

(Đối với thành phố có quy hoạch được mô tả trong Hình 4, nhận định tương tự sẽ không chính xác.)
B. Rosenitein, học sinh lớp 9

Cơm. 3.

Cơm. 4.

M265. Đường chéo $d$ của hình song song hình chữ nhật tạo thành các góc $\alpha, \beta$ và $\gamma$ với các cạnh $a, b$ và $c$. Chứng minh rằng $\alpha + \beta + \gamma$ nhỏ hơn $π$.
M. L. Gerver

F273. Để tạo ra khí ở nhiệt độ và áp suất cực cao, đôi khi người ta sử dụng một hệ thống lắp đặt, bao gồm một thùng xi lanh đóng ở một đầu và một bể piston bay vào xi lanh từ phía mở. Với việc xử lý tốt nòng và đạn, có thể đạt được một lượng khí rò rỉ nhỏ qua khe hở. Do nhiệt độ rất cao, các khí cuộn mạnh vẫn có thể được coi là lý tưởng trong những điều kiện này. Ước tính giới hạn trên của nhiệt độ của argon chịu lăn trong hệ thống lắp đặt như vậy, nếu một viên đạn có khối lượng $m = 100$ e bay vào nòng có thể tích $V_0 = 200\text{ cm}^3$,

với tốc độ ban đầu $v = 250\text{ m/c}$. Nhiệt độ và áp suất ban đầu của khí tương ứng với $T_0 = 300^\circ\text{K}$ và $p_0 = 1\text{ atm}$.

F274. Giải bài toán F232 hoặc đọc nó lời giải trong số tạp chí này. Lượng nhiệt sẽ toả ra ở điện trở $R$ sau khi đóng công tắc $K$ nếu đặc tính dòng điện-điện áp của diode như hình 5?

Cơm. 5.

F275. Hơn nữa, một trọng lượng bổ sung có kích thước và khối lượng nhỏ $m$, hơn nữa, $M : m = 15$, được đặt trên vành của một bánh xe khổng lồ có khối lượng $M$. Bánh xe phải lăn với tốc độ bao nhiêu để nảy lên?

F276. Những loại nào nên được kê đơn cho một người nếu anh ta nhìn thấy bình thường trong nước?

Cơm. 6.

F277. Xác định chu kỳ dao động của vật nặng $C$, được gắn bản lề bởi hai thanh rất nhẹ có chiều dài $l$ vào thanh $AB$, cố định một góc $\alpha$ so với đường chân trời (Hình 6). $\rightarrow BAC = \rightarrow ABC = \beta$. Điều thứ ba là phải được xúc động.