Bài toán về giao điểm của các vật thể

Kvant 1974, số 5 tr. 58-63 Thẻ OZOK

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bài tập
về việc vượt qua cơ thể
I. F. Sharytsin

Bài viết này phát triển lời giải một số khá khó khăn và, theo ý kiến của chúng tôi, hữu ích bài toán để tính thể tích các phần giao nhau của thân. Khó khăn chính của việc đó như bài toán đó là khi họ lời giải đòi hỏi trí tưởng tượng phát triển tốt. Đặc biệt, khi lời giải bất kì bài toán Về phần giao nhau của cơ thể, việc tạo ra một bức vẽ đẹp là rất quan trọng. Thường thì nó phụ thuộc vào bản vẽ lời giải bài toán. Trước khi chuyển sang phân tích bài toán, chúng tôi cung cấp cho bạn các điều kiện sau: sau khi đọc các điều kiện của cái này hay cái khác bài toán, đừng xem ngay lời giải, suy nghĩ một lúc, thử vẽ và quyết định bài toán của riêng mình. Khi đó bạn sẽ nhận được cả sự hài lòng và cơ hội để so sánh lời giải với những gì được đề xuất trong bài viết (rất có thể bạn có thể nghĩ ra lời giải, khác với nội dung được đưa ra trong bài viết). Nếu Vashlia không được thông báo bởi câu thần chú, thì thời gian dành cho việc suy nghĩ sẽ tăng lên và làm cho bài viết dễ đọc hơn.

Bài 1. Hình lập phương có cạnh a chứa ba cạnh hình chữ nhật đều là hình chữ nhật có hai mặt hình chữ nhật. Tìm thể tích của phần khối lập phương thuộc về tất cả các giải gram này.

Vì khá khó để tưởng tượng, chứ đừng nói đến việc chọn ngay một cơ thể lành nghề, chúng tôi sẽ tiến hành như sau. Trước tiên, hãy đặt một lăng kính vào hình lập phương (Hình 1), sau đó xem lăng kính thứ hai “cắt bỏ” cái gì khỏi nó, và cuối cùng, cái gì còn lại khi chúng ta thêm lăng kính thứ ba.

Gọi các đỉnh của lăng kính thứ hai là trung điểm của các cạnh $AA_1, A_1D_1, D_1D, AD, BB_1, B_1C_1, C_1C$ và CB (các đáy của lăng kính này nằm ở mặt “trước” và “mặt sau” của hình lập phương). Cạnh của lăng kính thứ hai, nối trung điểm của các cạnh $DD_1$ và $CC_1$ của hình lập phương, cắt đoạn $NN_1$ tại điểm giữa của nó. Điều này có nghĩa là mặt của lăng kính thứ hai đi qua các điểm $K_1M_1$ và trung điểm của các cạnh $DD_1$ và $CC_1$ , cắt mặt $KK_1N_1N$ dọc theo đường thẳng $K_1P$ , và toàn bộ mặt này của lăng kính thứ hai sẽ cắt lăng kính $K_1M_1PN_1$ khỏi lăng kính thứ nhất.

Thực hiện lập luận tương tự cho các mặt còn lại của lăng kính thứ hai, ta có thể chọn được phần chung của hai lăng kính thứ nhất (Hình 2). Nó đại diện cho hai paramit tứ giác: $KK_1M_1MP$ và $KK_1M_1MQ$ (P và Q là tâm của các mặt $DCC_1D_1$ và $ABB_1A_1$ ), tổng của các khối

bằng $\frac{a^3}{3}$ , vì $S_{KK_1M_1M} = a^2$ và $PQ = a$ .

Bây giờ chúng ta hãy xem lăng kính thứ ba, có đáy nằm ở các mặt $ABB_1A_1$ và $DCC_1D_1$ , sẽ “cắt đứt” khỏi vật thể này. Các mặt bên của đặc điểm này sẽ bị “cắt” bởi 4 đỉnh: $K_1$ , $M_1$ , $K$ và $M$ . Hình 3 hiển thị paramid $KK_1M_1MP$ với các góc bị “cắt” bởi tính năng thứ ba. Các góc “bị cắt” là các paramid hình tam giác bằng nhau. (Một trong số đó là $RTSK_1$ , trong đó $R$ , $T$ và $S$ là trung điểm của $KK_1$ , $K_1M_1$ và $PK_1$ ). Thể tích của mỗi trong số chúng bằng 1/16 thể tích của paramid $KK_1M_1MP$ (điều này rất dễ kiểm tra; ví dụ: thể tích của paramid $RTSK_1$ nhỏ hơn tám lần so với paramid $KM_1PK_1$ , tức là một nửa thể tích của paramid $PKK_1M_1M$ ; hãy tự mình thực hiện các tính toán chi tiết và chứng minh).

Do đó, phần $4 \times 1/16 = 1/4$ bị cắt khỏi paramid. Âm lượng của phần chung của tất cả các nhận dạng thứ ba là 3/4 âm lượng của phần chung của nhận dạng thứ nhất và thứ hai, bằng $\frac{a^3}{3}$ , tức là bằng $\frac{a^3}{4}$ .

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Bài 2. Cho hai paramida tam giác đều có thể tích $V$ , nằm đối xứng với điểm $O$ . Tìm thể tích phần chung của hai paramida này nếu điểm $O$ nằm ở độ cao của một trong số chúng và chia chiều cao này theo tỷ lệ tương đối là 2:1, tính từ paramid.

Trong nhiệm vụ này, điều cực kỳ quan trọng, mặc dù khá khó khăn, là phải tạo ra một bản vẽ chính xác, đẹp và có cơ sở. Đặt $SABC$ là tham số đầu tiên. Cơ sở $A_1B_1C_1$ của paramid thứ hai cắt chiều cao $SH_1$ tại điểm $H$ , chia nó theo tỷ lệ tương đối 1:2 (tính từ đỉnh $S$ ) và tại giao điểm với paramid $SABC$ cho ra một hình tam giác $MNP$ , tương tự như tam giác $ABC$ , $MN = \frac{1}{3} AB$ .

Từ đây dễ dàng suy ra (kiểm tra!) rằng tam giác $MNP$ nằm hoàn toàn bên trong tam giác $A_1B_1C_1$ . Tương tự, bên trong đáy $ABC$ sẽ có một hình tam giác $M_1N_1P_1$ , là một phần của paramid thứ hai theo mặt phẳng của tam giác $ABC$ .

Bây giờ chúng ta có thể mô tả một vật thể là phần chung của hai paramidas đang được xem xét (Hình 4), và vị trí, chẳng hạn, của điểm $L$ như sau: chúng ta cần nối điểm $S$ với giữa cạnh $BC$ , giao điểm của đường này với đường thẳng $S_1A_1$ cho điểm $L$ (để chứng minh, hãy xem xét phần của paramids bằng máy bay $SA_1S_1$ ). Tương tự, chúng tôi tìm thấy

Các điểm còn lại được thể hiện trong Hình 4.
Để tính âm lượng ban đầu, chúng ta phải trừ âm lượng của tham số SMNP khỏi âm lượng của tham số SABC (âm lượng này là $\frac{1}{27}V$ ),
sau đó trừ thể tích của ba tham số giống hệt nhau, bằng KTRC và cộng thể tích của ba tham số “nhỏ”, bằng QM₁RL.

Hãy tìm khối lượng của paramid KTRC.
Vì mặt phẳng KRT song song với mặt phẳng SAB nên $V_{KTRC} = \left(\frac{TR}{AB}\right)^3 V$ .
Tương tự như vậy, $V_{QM_1RL} = \left(\frac{M_1R}{AB}\right)^3 V$ .
Tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm $\frac{TR}{AB}$ . Các tam giác ABC và M₁N₁P₁ đều đều, có các cạnh tương ứng song song, tâm trùng nhau và $M_1N_1 = \frac{AB}{3}$ .

Từ đây dễ dàng tìm được $\frac{TR}{AB} = \frac{5}{9}$ , $\frac{M_1R}{AB} = \frac{1}{9}$ (kiểm tra!). Thể tích yêu cầu là $V - \frac{1}{27}V - 3 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^3 V + 3 \left(\frac{1}{9}\right)^3 V = \frac{110}{243} V$ .

Bài toán 3. Cho hình lập phương có cạnh α. Khối thứ hai thu được từ khối này bằng cách lặp lại xung quanh góc chéo α ( $\alpha \leq 60^\circ$ ) của nó. Tìm thể tích vật thể của các khối này.

Trong bài toán này, thật khó để tưởng tượng và khắc họa sự giao nhau của toàn bộ cơ thể; sẽ dễ hiểu hơn về cách các phần tử riêng lẻ của một cơ thể giao nhau với các phần tử của cơ thể khác.

Chúng ta hãy biểu thị các đỉnh của khối lập phương này bằng các chữ cái A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ (xem Hình 5) và khoảng trống được quay quanh đường chéo B₁D ngược chiều kim đồng hồ. Hãy xem những mảnh nào của khối lập phương ban đầu có thể bị tách ra khi nó được xoay. Các đỉnh của hình lập phương nằm xa tâm của hình lập phương O nhất - chính giữa đường chéo B₁D, vẫn giữ nguyên vị trí. Vì vậy, khi quay vào bên trong khối lập phương, các đỉnh không thể rời nhau; ngược lại, chúng sẽ ở bên ngoài khối lập phương và các mảnh của khối lập phương sẽ được bao quanh gần các đỉnh. Hơn nữa, chỉ có khuôn mặt mới có thể ghép các mảnh hình khối lại với nhau. Vì vậy, chỉ cần tìm ra phần nào của khối lập phương bao quanh mỗi mặt là đủ.

Hãy cùng tìm xem cạnh DCC₁D₁ chứa những gì. Hãy đề xuất ngay đáp số: môi trường là D₁LPD paramid (xem Hình 5), trong đó D₁L = D₁K = C₁P và đáy của các đường vuông góc giảm từ điểm L và K xuống B₁D,

Cơm. 4.
Cơm. 5.

trùng khớp (chứng minh điều đó!) tại điểm trong Hình 5 được ký hiệu bằng chữ cái $M$ và $\angle LMK = \alpha$ . Do đó, khi xoay khối lập phương, điểm $K$ sẽ chuyển thành điểm $L$ . Hãy biểu thị $LD_1$ bằng $x$ (chúng ta sẽ tìm thấy nó sau). Đặt $Q$ là một điểm trên cạnh $CC_1$ , $C_1Q = C_1P = x$ . Sau đó, khi xoay khối lập phương, điểm $Q$ sẽ tiến tới điểm $P$ (chứng minh điều đó!). Vì vậy, mặt $DCC_1D_1$ cắt hình lập phương dọc theo tam giác $LPD$ và cắt hình chóp $D_1LPD$ thể tích $\frac{1}{6}ax(a-x)$ (chứng minh đi!). Các mặt còn lại được xem xét theo cách tương tự - chúng cắt bỏ các kim tự tháp giống nhau. Do đó, thể tích của một số hình lập phương sẽ là $a^3 - ax(a-x)$ . Tất cả những gì còn lại là tìm $x$ .

Đặt $N$ là giao điểm của $B_1D_1$ và $LK$ . Chúng ta hãy vẽ một hình chữ nhật $BDD_1B_1$ trong một bản vẽ riêng (Hình 6). Gọi $T$ là đáy của đường vuông góc giảm từ $D_1$ xuống $B_1D$ . Chúng ta có: $LN = ND_1 = \frac{LK}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$ (xem Hình 5). Từ $\triangle LMK$ ta có:

$MN = LN \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2},$

$B_1N = B_1D_1 - ND_1 = a\sqrt{2} - \frac{x\sqrt{2}}{2}.$

Cơm. 6.

Rất dễ dàng tìm thấy $D_1T$ từ $\triangle B_1D_1D$ : $D_1T = a\sqrt{\frac{2}{3}}$ . Từ sự giống nhau của các tam giác $B_1NM$ và $B_1D_1T$ ta thu được:

$\frac{B_1N}{B_1D_1} = \frac{NM}{D_1T},$

$\frac{a\sqrt{2} - x\frac{\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{x\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}}{a\sqrt{2}}$ ,

từ đó $x = \frac{2a}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}}$ , âm lượng cần thiết bằng

$V = a^3 - \frac{2a^2}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} \times$

$\times \left( a - \frac{2a}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} \right) =$

$= \frac{3a^3}{2[1 + \cos(\alpha - 60^\circ)]}.$

Bài 4. Cho hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh $a$ . Trung điểm của hai cạnh đối diện $AB$ và $C_1D_1$ đóng vai trò là trung điểm của hai cạnh cắt nhau của một khối đa diện đều và trên một trong các cạnh này là cạnh tương ứng của hình lập phương. Tìm thể tích của khối lập phương và khối đa diện.

Đặt điểm $K$ —trung điểm $AB$ —là trung điểm của cạnh $PQ$ của me tuyền đều và $M$ —trung điểm của $D_1C_1$ , đồng thời là trung điểm của cạnh $RS$ của me tuyền đều ( $D_1C_1$ nằm trên $RS$ (Hình 2). 7)).

Nếu cạnh của một khối đa diện bằng $b$ thì khoảng cách giữa các điểm giữa của các cạnh cắt nhau của nó có thể dễ dàng tính toán, nó bằng $b\frac{\sqrt{2}}{2}$ (kiểm tra xem!). Mặt khác, $MK = a\sqrt{2}$ . Vì vậy, $b = 2a$ .

Chúng ta biết chiều dài cạnh của khối trung diện, nhưng không dễ để mô tả giao điểm của các vật thể này - không rõ liệu các cạnh của khối trung diện có giao nhau với khối lập phương hay không. Để trả lời câu hỏi này,

Hãy chiếu những vật thể này lên mặt phẳng ABCD (Hình 8). Vì PQ tạo một góc 45° với mặt phẳng này (hãy chứng minh điều đó!), nên độ dài hình chiếu của PQ lên mặt phẳng này sẽ là $b \frac{\sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}$ .

Gọi $L$ là giao điểm của các hình chiếu của đường thẳng AB và PR. Từ sự đồng dạng của các tam giác PLK và PMR ta dễ dàng tìm được:

$LK = \frac{RM \cdot PK}{PM} = a \frac{1}{1 + \sqrt{2}} < \frac{a}{2}.$

Điều này có nghĩa là cạnh PR của tứ diện (và do đó các cạnh khác: PS, QR và QS) cắt khối lập phương.

Để tính thể tích, thuận tiện là mô tả một vật thể nhất định dưới dạng tứ diện có các góc ở giữa. Để xác định phần nào của thể tích của tứ diện là của mỗi hình chóp ở giữa, thật thuận tiện khi sử dụng câu lệnh sau (hãy tự chứng minh), điều này hóa ra khá hữu ích.

Cho hai hình chóp SABC và SA $_1$ B $_1$ C $_1$ và A $_1$ nằm trên SA; B $_1$ trên SB; C $_1$ tới SC. Khi đó tỷ số thể tích của các hình chóp này bằng tỷ số chiều dài của các cạnh nổi lên từ đỉnh S, cụ thể là

$\frac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \frac{SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1}{SA \cdot SB \cdot SC}.$

Bây giờ thật dễ dàng tìm được thể tích của các hình chóp “bị cắt” khỏi các đỉnh P và Q. Mỗi đỉnh là $\frac{PK}{PQ} \cdot \frac{PL}{PR} \cdot \frac{PN}{PS} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2(3 + 2\sqrt{2})}$

một phần thể tích của khối tứ diện và thể tích của các hình chóp “bị cắt” khỏi các đỉnh R và S là $1/16$ thể tích của khối tứ diện (hãy kiểm tra nhé!). Thể tích của một tứ diện là $\frac{b^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{2a^3 \sqrt{2}}{3}$ . Điều này có nghĩa là thể tích của khối lập phương và khối tứ diện sẽ bằng $\frac{2a^3 \sqrt{2}}{3} \left( 1 - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{8} \right) = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} (16\sqrt{2} - 17)$ .

Bài tập

Cho hai hình chóp tam giác đều, đối xứng qua điểm O, nằm ở độ cao của một trong hai hình chóp này. Tìm thể tích một phần của hai hình chóp nếu điểm O chia chiều cao này tính từ đỉnh hình chóp theo tỷ lệ: a) 3:1; b) 1:1; b) 4:1.
Cho một tứ diện đều có thể tích V. Tứ diện thứ hai thu được từ bề mặt đã cho của nó với một góc α xung quanh đường thẳng nối các cạnh giao nhau của tứ diện. Tìm thể tích một phần của hai tứ diện.
Hình chóp tam giác PQMN và khối lập phương ABCD $_{1}$ B $_1$ C $_1$ D $_1$ nằm bên cạnh

cách: trung điểm của cạnh $PQ$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$ và $PQ = 2AB$ , cạnh $D_1C_1$ nằm trên cạnh $MN$ , trung điểm của chúng trùng nhau, $MN = 3D_1C_1$ . Phần nào của tham số âm lượng nằm bên trong khối lập phương, nếu biết $PQ$ vuông góc với mặt phẳng $ABD_1C_1$ ?

Các cạnh của một terraer thông thường đóng vai trò là đỉnh của một terraer khác. Đỉnh của mặt của khối thứ nhất đối diện với một cạnh cho trước nằm trên cạnh của khối thứ hai. Phần thể tích nào của khối thứ nhất nằm bên trong khối thứ hai?
Tâm của khối lập phương và khối lập phương thông thường trùng nhau; hai cạnh của khối lập phương song song với các đường chéo của một trong các mặt của khối lập phương. Tìm thể tích phần của khối lập phương nằm bên trong khối lập phương, nếu cạnh của khối lập phương bằng $a$ thì cạnh của khối lập phương bằng $\frac{3a}{2}\sqrt{2}$ .
Bên trong một paramit tam giác đều có một đỉnh của một góc tam giác, tất cả các góc phẳng của nó đều là góc vuông và các đường phân giác của các góc phẳng đi qua các đỉnh của tham số cơ sở. Bề mặt của một góc tam giác chia thể tích của các tham số theo tỷ lệ nào, nếu biết bề mặt bên của các tham số được chia thành hai phần có diện tích bằng nhau?
Đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm trên cạnh của góc nhị diện tại $60^\circ$ . Chứng minh rằng thể tích của phần hình lập phương nằm bên trong góc nhị diện có giá trị không đổi và tìm thể tích này.

8 (MSU, nhà vật lý, 1963). Cạnh của hình lập phương là $a$ . Một hình cầu có tâm $O$ cắt ba cạnh, hội tụ tại đỉnh $A$ , tại trung điểm của chúng. Từ điểm $B$ giao điểm của hình cầu với một trong các cạnh của hình lập phương, một đường vuông góc được thả xuống đường chéo của hình lập phương đi qua đỉnh $A$ , và góc giữa đường vuông góc này và bán kính $OB$ được chia đôi bởi cạnh của hình lập phương. Tìm bán kính của hình cầu.

9 (MSU, nhà vật lý, 1968). Trong một paramid hình tam giác đều, chiều cao là $h$ , cạnh đáy là $a$ . Tuy nhiên, đỉnh của đáy là tâm của hình cầu tiếp xúc với mặt đối diện của tham số. Tìm diện tích của các phần của các mặt bên nằm bên trong hình cầu.

10 (MIPT, 1968). Trong terraer $ABCD$ các cạnh $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau và lần lượt bằng $a$ và $b$ . Đường vuông góc chung của các cạnh này cắt cạnh $AB$ tại điểm $M$ và cạnh $CD$ tại điểm $N; MN = c$ . Một khối lập phương được nội tiếp trong một khối lập phương sao cho bốn cạnh của khối lập phương song song với $MN$ và trên mỗi mặt của khối lập phương có chính xác hai đỉnh của khối lập phương. Tìm cạnh của hình lập phương.

Sinh quyển và EMF
(Kết thúc. Xem phần đầu ở trang 42)

tức là hàng nghìn lần, làm thay đổi hoạt động của máy phân tích quan trọng ở người, gây rối loạn hành vi và hoạt động của các cơ quan nội tạng ở chuột, ức chế sự phát triển của thực vật và ức chế sự phát triển của vi khuẩn. Một số nghiên cứu ít ỏi này vẫn đưa đến kết luận rằng trường điện từ là yếu tố quan trọng quyết định sự sống của sinh quyển, ảnh hưởng đến nhiệt độ, áp suất khí quyển, thành phần không khí, v.v..

Nền điện từ của Trái đất phụ thuộc vào hoạt động của Mặt trời. Khi phân tích và làm rõ những yếu tố vật lý có liên quan đến lượng hoạt động của mặt trời và có thể ảnh hưởng đến các quá trình sinh học, các nhà thiên văn học và vật lý thiên văn chủ yếu gọi trường điện từ là trường điện từ. Các thí nghiệm trên động vật đã kiểm tra sinh học những giả thuyết này.

Vì vậy, chúng ta có thể nói về sự tồn tại của một “biển” điện từ tự do, là nguồn tự nhiên và nhân tạo thứ năm, trên mặt đất và vũ trụ. Nhân loại sống ở vùng biển này cần biết lý thuyết, bãi cạn và đảo của nó để kiểm soát cường độ của các quá trình sinh học, bảo vệ chúng khỏi những cơn bão từ có hại cho chúng và phát ra một số bệnh tật. Không có quy định, việc bơi lội ở vùng biển này ngày càng trở nên nguy hiểm hơn.

(Từ bài báo của Yu. A. Kholodov “Trường điện từ là tác nhân gây rối loạn mới”, được xuất bản trong cuộc thám hiểm quốc tế “Tương lai của khoa học” năm 1971.)