Задачи о пересечении тел

58

Задание
о пересечении тела
И. Ф. Шарыцин

В этой статье разработся решение нескольких довольного трудных и, на наш взгляд, полезных задач на вычисление объемов пересечений тела. Основная трудность подобных задач заключается в том, что при их решения требуется хорошо развищное воображение. В частности, при решения любой задачи о пересечении тела очень важно сделать хороший чертеж. Нередко именно от чертежа зависит в решении задачи. Прежде чем перейти к разбору задач, даим вам следующие условия: прочтя условия той или иной задачи, не смотрите сразу же ее решение, подумайте неокторое время, попытайте сделать чертеж и решить задачу самостоятельно. Тогда вы получите и удовлетворение, и возможность сравнить свое решение с предлагаемым в стате (вполне возможно, что вам удается придумать решение, отличное от приводимого в стате). Если вашлия не уведомляется спелом, то все равно время, потраченное на раздумы, поддет на ползу и облегчит чтение статьи.

Задание 1. В кубе с ребром а помещены три правильные четырехугольные прямоугольные прямоугольные ребер двух прямоугольных граней куба. Найти объем частки куба, принадлежащей всем этим грамм призам.

Поскольку довольно трудно представить себе, а тем более сразу изобрать искусное тело, поступим следующим образом. Поместим сначала в куб одну призму (рис. 1), затем посмотрим, что «отсечет» от нее вторая, и, наконец, что остanetся, когда мы добавим третью призму.

Пусть вершинами второй призмы являются середины ребер $AA_1, A_1D_1, D_1D, AD, BB_1, B_1C_1, C_1C$ и CB (основания этой призмы лежат в «передней» и «задней» гранах куба). Ребро второй призмы, соединящее середины ребер $DD_1$ и $CC_1$ куба, пересекает отрезок $NN_1$ в его середине. Значит, грань второй призмы, проходящая через точки $K_1M_1$ и середины ребер $DD_1$ и $CC_1$, пересекаются с граню $KK_1N_1N$ по прямой $K_1P$, а все эта грань второй призмы отсечет от первого призму $K_1M_1PN_1$.

Проведяя аналогичные рассуждения для остальных граней второй призмы, мы можем изобраться общую часть первых двух призм (рис. 2). Она представляет собой две четырехугольные парамиды: $KK_1M_1MP$ и $KK_1M_1MQ$ (P и Q — центры граней $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$), сумма объемов

59

которые равна $\frac{a^3}{3}$, так как $S_{KK_1M_1M} = a^2$ и $PQ = a$.

Тепер посмотрим, что «отрезет» от этого тела треться призма, основания которого лежат в гранах $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$. Боковые грани этой признамы «срежут» четыре вершины: $K_1$, $M_1$, $K$ и $M$. На рисунке 3 изображена парамида $KK_1M_1MP$ со «срезаными» третийей признакой углами. «Отрезанные» углы являются равными треугольными парамидами. (Одна из них — $RTSK_1$, где $R$, $T$ и $S$ — середины $KK_1$, $K_1M_1$ и $PK_1$). Объем каждой из них составляет 1/16 часть объема парамиды $KK_1M_1MP$ (это легко проверяется; например, объем парамиды $RTSK_1$ в восемь раз меньше парамиды $KM_1PK_1$, который вдвое меньше объема парамиды $PKK_1M_1M$; подробные вычисления и доказательства проведите самостояльно).

Таким образом, от парамид отсекается $4 \times 1/16 = 1/4$ часть. Объем общей части всех третий признам составляет 3/4 объема общей части первого и второй признам, равного $\frac{a^3}{3}$, то есть он равен $\frac{a^3}{4}$.

Рис. 2.

Рис. 3.

Задча 2. Данные две равные правильные треугольные парамиды объема $V$ какдая, расположенные симметрично относительно точки $O$. Найти объем общей части этих двух парамид, если точка $O$ лежит на высоте одной из них и делит эту высоту в относительной 2:1, считая от парамиды.

В этой задачерезвiallyно важно, хотя и достаточно трудно, сделать правильный, хороший, обоснованный чертеж. Пусть $SABC$ — первая парамида. Основание $A_1B_1C_1$ второй парамиды пересекает высоту $SH_1$ в точке $H$, деляшей ее в относительной 1:2 (считая от вершины $S$), а в пересечении с парамидой $SABC$ дает треугольник $MNP$, подобный треугольнику $ABC$, $MN = \frac{1}{3} AB$.

Отсюда легко вывести (проверьте!), что треугольник $MNP$ целиком находится внутри треугольника $A_1B_1C_1$. Аналогично внутри основания $ABC$ будет находиться треугольник $M_1N_1P_1$, являющийся сечением второй парамиды плоскостью треугольника $ABC$.

Тепер можно изобразить тело, являющееся общей частью рассматриемых двух парамид (рис. 4), причем положение, например, точки $L$ находится так: надо соединить точку $S$ с серединой ребра $BC$, пересечение этой прямой с прямой $S_1A_1$ дает точку $L$ (для доказательства рассмотрите сечение парамид плоскостью $SA_1S_1$). Аналогично нахо-

60

Дятся остальные точки на рисунке 4.
Для вычисления исходного объема мы должны от объема парамиды SABC отнять объем парамиды SMNP (этот объем составляет $\frac{1}{27}V$),
затем отнять объемы трех одинаковых парамид, равных KTRC, и прибавить объемы трех «маленьких» парамид, равных QM₁RL.

Найдем объем парамиды KTRC.
Так как плоскость KRT параллельна плоскости SAB, то $V_{KTRC} = \left(\frac{TR}{AB}\right)^3 V$.
Аналогично, $V_{QM_1RL} = \left(\frac{M_1R}{AB}\right)^3 V$.
Нам осталось найти $\frac{TR}{AB}$. Треугольники ABC и M₁N₁P₁ правильные, имеют соответствие параллельные стороны, их центры совпадают, и $M_1N_1 = \frac{AB}{3}$.

Отсюда легко найти, что $\frac{TR}{AB} = \frac{5}{9}$, $\frac{M_1R}{AB} = \frac{1}{9}$ (проверьте!). Искомый объем равен $V - \frac{1}{27}V - 3 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^3 V + 3 \left(\frac{1}{9}\right)^3 V = \frac{110}{243} V$.

Задча 3. Дан куб с ребром α. Второй куб получается из данного повтором вокруг его диагона на угол α ($\alpha \leq 60^\circ$). Найти объем объекта этих кубов.

В этой задаче представить себе и изображить пересечение тела в целом трудно, легче понять, как пересекаются отдельные элементы одного тела с элементами другого тела.

Обозначим вершины данного куба буквами A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ (см. рис. 5), и пустыку поворачивается вокруг диагона B₁D против хода часовой стрелки. Посмотрим, какие куски исходного куба могут средаться при его повороте. Вершины куба расположены дальше всего от центра куба O — середины диагона B₁D, которая остается на месте. Поэтому уйти при повороте внутри куба вершины не могут, наоборот они оказываются вне куба и средаться будут куски куба около вершин. Далее, средать куски куба могут только грани. Поэтому достаточно найти, какой кусок куба средает каждой грань.

Найдем, что средет грань DCC₁D₁. Подсказем сразу ответ: средается парамида D₁LPD (см. рис. 5), где D₁L = D₁K = C₁P, причем основания перпендикуров, опущенных из точек L и K на B₁D,

Рис. 4.
Рис. 5.

61

совпадают (доказите!) в точке, которая на рисунке 5 обозначена буквой $M$, и $\angle LMK = \alpha$. Таким образом, при повороте куба точка $K$ переходит в точку $L$. Обозначим $LD_1$ через $x$ (его мы найдем позднее). Пусть $Q$—точка на ребре $CC_1$, $C_1Q = C_1P = x$. Тогда при повороте куба точка $Q$ переходит в точку $P$ (доказите!). Итак, грань $DCC_1D_1$ пересекает куб по треугольнику $LPD$ и отсекает пирамиду $D_1LPD$ объема $\frac{1}{6}ax(a-x)$ (доказите!). Аналогично рассматривают остальные грани — они отсекают такие же пирамиды. Поэтому объем объей части кубов будет $a^3 - ax(a-x)$. Осталось найти $x$.

Пусть $N$—точка пересечения $B_1D_1$ и $LK$. Изображим на отдельном чертеже (рис. 6) прямоугольник $BDD_1B_1$. Пусть $T$—основание перпендикула, опущенного из $D_1$ на $B_1D$. Имеем: $LN = ND_1 = \frac{LK}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$ (см. рис. 5). Из $\triangle LMK$ получим:

$$MN = LN \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2},$$

$$B_1N = B_1D_1 - ND_1 = a\sqrt{2} - \frac{x\sqrt{2}}{2}.$$

Рис. 6.

Легко из $\triangle B_1D_1D$ найти $D_1T$: $D_1T = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Из подобия треугольников $B_1NM$ и $B_1D_1T$ получим:

$$\frac{B_1N}{B_1D_1} = \frac{NM}{D_1T},$$

$$\frac{a\sqrt{2} - x\frac{\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{x\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}}{a\sqrt{2}}$$,

откуда $x = \frac{2a}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}}$, искому объем равен

$$V = a^3 - \frac{2a^2}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} \times$$

$$\times \left( a - \frac{2a}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} \right) =$$

$$= \frac{3a^3}{2[1 + \cos(\alpha - 60^\circ)]}.$$

Задча 4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Середины двух его промивоположных ребер $AB$ и $C_1D_1$ служат середина двух скрещивающих ребер правильного метраэдра, причем на одном из этих ребер лежит соответствующей ребро куба. Найти объем объей куба и метраэдра.

Пусть точка $K$—середина $AB$—является серединой ребра $PQ$ правильного метраэдра, а $M$—середина $D_1C_1$ и одновременно середина ребра $RS$ метраэдра ($D_1C_1$ лежит на $RS$ (рис. 7)).

Если ребро метраэдра равно $b$, то расстояние между серединами его скрещивающих ребер легко исчисляется, оно равно $b\frac{\sqrt{2}}{2}$ (проверьте!). С другой стороны, $MK = a\sqrt{2}$. Значит, $b = 2a$.

Мы знаем длину ребра метраэдра, однако не так просто изобразить пересечение данных тел—неясно, будут ли ребра метраэдра пересекать куб. Чтобы ответить на этот вопрос,

62

спроектируем данные тела на плоскость ABCD (рис. 8). Поскольку PQ составляет с этой плоскостью угол 45° (доказайте!), то длина проекции PQ на эту плоскость будет $b \frac{\sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}$.

Пусть $L$ — точка пересечения проекций прямых AB и PR. Из подобия треугольников PLK и PMR легко найдем:

$$LK = \frac{RM \cdot PK}{PM} = a \frac{1}{1 + \sqrt{2}} < \frac{a}{2}.$$

Значит, ребро PR tetraэдра (а следовательно, и другие ребра: PS, QR и QS) пересекает куб.

Для вычисления объема удобно изобразить заданное тело как tetraэдр со среданным углам. Чтобы определить, какую часть объема tetraэдра составляет каждый из среданных пирамид, удобно воспользоваться следующим утверждением (доказите его самостояльно), которое оказывается полезным довольно часто.

Даны две пирамиды SABC и SA$_1$B$_1$C$_1$, причем A$_1$ лежит на SA; B$_1$ на SB; C$_1$ на SC. Тогда отношение объемов этих пирамид равно отношению произведений длины ребер, выходящих из вершины S, а именно

$$\frac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \frac{SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1}{SA \cdot SB \cdot SC}.$$

Тепер легко найти объемы пирамид, «отрезанных» от вершин P и Q. Каждый из них составляет $\frac{PK}{PQ} \cdot \frac{PL}{PR} \cdot \frac{PN}{PS} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2(3 + 2\sqrt{2})}$

часть объема tetraэдра, а объемы пирамид, «отрезанных» от вершин R и S, составляют $1/16$ объема tetraэдра (проверьте!). Объем tetraэдра равен $\frac{b^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{2a^3 \sqrt{2}}{3}$. Значит, объем объей части куба и tetraэдра будет равен $\frac{2a^3 \sqrt{2}}{3} \left( 1 - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{8} \right) = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} (16\sqrt{2} - 17)$.

Уражнения

1. Данные две равные правильные треугольные пирамиды, симметричные относительно точки O, расположенной на высоте одной из этих пирамид. Найти объем объей части двух пирамид, если точка O делит эту высоту, считая от вершины пирамиды, в относении: a) 3:1; b) 1:1; b) 4:1.

2. Дан правильный tetraэдр объема V. Второй tetraэдр получается из данного поверхности его на угол α вокруг прямой, соединяющей скрещивающихся ребер tetraэдра. Найти объем объей части двух tetraэдров.

3. Треугольная пирамида PQMN и куб ABCD$_{1}$B$_1$C$_1$D$_1$ расположенным следующим

63

образом: середина ребар $PQ$, совпадает с серединой ребра $AB$ и $PQ = 2AB$, ребро $D_1C_1$ лежит на ребре $MN$, их середины совпадают, $MN = 3D_1C_1$. Какая часть объема параметры расположена внутри куба, если известно, что $PQ$ перpendикулярно плоскости $ABD_1C_1$?

4. Ребро одного правильного терраэра служит апфемой другого терраэра. Апфема противоположной данному ребру грани первого терраэра лежит на ребре второго. Какая часть объема первого терраэра расположена внутри второго?

5. Центры куба и правильного терраэра совпадают, два ребра терраэра параллельны диагоналям одной из граней куба. Найти объем части терраэра, находящейся внутри куба, если ребро куба равно $a$, ребро терраэра равно $\frac{3a}{2}\sqrt{2}$.

6. Внутри правильной треугольной парамиды находится вершина треугольного угла, все плоские углы которого прямые, а биссектрисы плоских углов проходит через вершины основания параметры. В каком стношении поверхности треугольного угла делит объем параметры, если известно, что боковая поверхность параметры разделена на две равные по площади части?

7. Диагональ единчного куба лежит на ребре двугранного угла в $60^\circ$. Доказать, что объем части куба, находящейся внутри двугранного угла, имеет постоянную величины, и найти этот объем.

8 (МГУ, физик, 1963). Ребро куба равно $a$. Сфера с центром $O$ пересекает три ребра, сходящая в вершине $A$, в их серединах. Из точки $B$ пересечения сферы с одним из ребер куба опущен перpendикуляр на диагональ куба, проходящую через вершину $A$, причем угол между этим перpendикуляром и радиусом $OB$ делится ребром куба пополам. Найти радиус сферы.

9 (МГУ, физик, 1968). В правильной треугольной парамиде высота равна $h$, сторона основания равна $a$. Однако из вершины основания является центром сферы, касающейся противоположной грани параметры. Найти площадь тех частей боковых грани параметры, которые расположены внутри сферы.

10 (МФТИ, 1968). В терраэре $ABCD$ ребра $AB$ и $CD$ взаимно перpendикулярны и равны $a$ и $b$ соответственно. Общий перpendикуляр к этим ребрам пересекает ребро $AB$ в точке $M$ и ребро $CD$ в точке $N; MN = c$. В терраэр вписан куб так, что четыре ребра куба параллельны $MN$ и на каждой грани терраэра лежат в точности две вершины куба. Найти ребро куба.

Биосфера и ЭМП
(Окончание. Начало см. с. 42)

то есть в несколько тысяч раз, изменяет детельность критического анализатора у человека, вызывает нарушенияповедения и деятельности внутрипренних органов у мышей, затормживает рост растений и угнетает размножение бактерии. Эти немногочисленные еще исследования приводят к выводу, что электронагнитное поле является существенным factorом, определяющим жизнь биосферы, нарушуя с температурой, давлением atmosферы, составом воздуха и т.п.

Электромагнитный фон Земли зависит от солнечной активности. При анализе и выяснения тех физических факторов, которые связаны с количеством солнечной активности, могут повлиять на биологические процессы, астронымы и астрофизики называют в первую очередь электронагнитное поле. В экспериментах на животных биологически подвергеджадот эти гипотезы.

Таким образом, можно говорить о существовании свободного электронагнитного «моря», которое пятой естественные и искусственные источники, земные и космические. Человечество, живущему в этом море, необходимо знать его теории, мели и острова, чтобы управлять интенсивностью биологических процессов, охранять больших от пагубных для них магнитных бурь, излучивать неокоторая забоЛевания. Без правил плавать в этом море становится все опаснее.

(Из статьи Ю. А. Холодова «Электромагнитные поля — новые разгражители», помещенной в международном экспедиции «Будуце науки» за 1971 год.)