Правдоподобные рассуждения и математика

43

Праводоподобные рассуждения и математика

Д. С. Людмилов, С. Д. Людмилова

«Написав, что нечто оченьindo, вы, наверное, mak и думали. Но когда, спустя месяц, или два, или шесть, вы внутри рукопись и перечитали ее заново, вы по-прежнему продолжаете mak считать? …
Когда вы обязаны это другу или на семинаре, было ли это место воспринято как оченьindo? Или кто-нибудь задавал вопросы и усказвался, вопрос, после ваших уведомов? Вы его убедили или запутали? Ответы на эти риторищеские вопросы ограничиваются использованием слова «очевидно». Если еще и другое правило, главное, его знаем какдый; нарушение этого правила — самый частный источник математических ошибок: удостовериться в том, что «очевидное» — верно.»
П. Р. Халмош. Как писать математические тексты.

Праводоподобные рассуждения, подсказываемые интуицией, играют значительное роль в математических исследованиях, в поиске решения задачи. Математку было бы труднее находить решение новых математических проблем, если бы он не получал «подсказок» от своей математической интуициии.

To же самое можно сказать об ученике, который имеет способ решения задачи. Поиск решения — это формулировка различных гипотез и последовательная их математическая проверка.

No… будьте осторожны! Нельзя недооценивать математическую строость и переоценивать интуицию. То, что интуитивно оченьindo, не всегда соответствует действительности.

Переправа

Рассмотрим один почительный пример, который обязывает, почему математики стремятся строго доказывать «очевидное».

В книге П. Ю. Германовича «Сборник задачи по математике на сообщательность» (М., Учпедгиз, 1960) есть такая задача.

Канал шириной 3,5 м имеет повором (рис. 1). Как организовать переправу через него, если имеются две

Рис. 1.
Рис. 2.

44

доски, но длина каждой из досок только 3 м?

Авторское решение задачи показано на рисунке 2. Судя по этому рисунку, автор предполагает, что

(1) края A и B первой доски должны упраться в края рва (мы считаем, что доски не изгибаются);
(2) первая доска AB должна образовать с краями рва улы 45°;
(3) вторая доска CD должна быть перепendlukулярной AB (точка C — вершина противоположного угла рва).
(4) макое расположение досок указанных размеров возможно (и, следовательно, обеспечивает переправу).

Все эти гипотезы интуитивно праводопобны, не так ли? Но… давайте займемся проверкой.

Первый сорприз

Начнем с гипотезы 4. Веряятоно, очень легко поверить в ее справедливость: неужели за счет лишних 2,5 м (6 м — 3,5 м) доски нельзя указанным на рисунке 2 способом получить недостаточное 0,5 м (3,5 м — 3 м)?

Однако проведем расчеты. Из рисунка 2 имеем:

$$OC = 3,5\sqrt{2} \text{ m}, \quad OD = \frac{1}{2}AB = 1,5 \text{ m},$$

$$CD = OC - OD = (3,5\sqrt{2} - 1,5) \text{ m}.$$

Переправа возможно, если выполняется неравенство

$$3,5\sqrt{2} - 1,5 \leq 3$$

Рис. 3.

Рис. 4.

или 3,5\sqrt{2} \leq 4,5, откуда 7\sqrt{2} \leq 9, а это неверно. Поэтому в действительности CD > 3 м!

Следует ли отсюда, что переправиться невозможно? Пока что нет, ведь этот выбор получен из предположения, что первый три гипотезы выполняются. Быть может, существует другое расположение досок, обеспечивающее переправу?

Второй сорприз

Из рисунка 3 видно, что гипотеза 1 верна: действительно, если один из концов A первой доски (или оба ее конца) не лежит на самом краю рва, то эту доску удается перевинуть в более высокое положение.

Нетрудно подтвердить и гипотезу 3: если вторая доска CD не будет перепendlukулярна AB (см. рис. 4), то она должна будет иметь большую длину.

Рис. 5.

45

Рис. 6.

Остается проверить гипотезу 2.
На первый взгляд каждец, что и эта гипотеза подтверждается. Действительно, рассмотрим два положения первой доски (рис. 5): $MN$ ($\Rightarrow MNO = 45^\circ$) и $AB$ ($\Rightarrow ABO \neq 45^\circ$). Пусть $CD \perp MN$, $CP \perp AB$, $K$ — точка пересечения $CP$ и $MN$. Ясно, что $CP > CD$, так как $CP > CK$ и $CK > CD$ (гипотенуза больше катета).

Однако отрезки $MN$ и $CP$ могут и не пересекаться, соответствующей расположение доски указано на рисунке 6. Обратите внимание, что на этом рисунке $CD \geq CP$. Предыдущей рассуждении не проходит. По-видимому, непредседательно геометрической проверить гипотезу 2 нелегко.

Попытаемся сделать это алгебраически. Обозначим ширину канала через $a$, длину каждой доски — через $l$ ($a > l$), $\Rightarrow ABO$ через $\alpha$ (рис. 7) и будем считать величины $a$ и $l$ постоянными, а величины $\alpha$ переменной. Гипотеза 2 утверждает, что минимум длины отрезка $CP$ ($CP \perp AB$) достигается при $\alpha = 45^\circ$. Поэтому надо выразить $y = CP$ как функцию от $\alpha$.

Проведем $ECF \parallel AB$ и $OLK \perp AB$ (рис. 7). Тогда

$$EF = EC + CF = \frac{a}{\cos \alpha} + \frac{a}{\sin \alpha}; \quad OF = EF \cos \alpha = a + \frac{a \cos \alpha}{\sin \alpha}; \quad OK = OF \sin \alpha = a \sin \alpha + a \cos \alpha; \quad OB = AB \cos \alpha = l \cos \alpha; \quad OL = OB \sin \alpha = l \cos \alpha \sin \alpha; \quad y = LK = CP = OK$$

$-OL = a \sin \alpha + a \cos \alpha - l \sin \alpha \cos \alpha$.

Исследуем функцию $y(\alpha)$ на максимум и минимум. Пусть

$$x = \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin (45^\circ + \alpha).$$

Тогда $x^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$,

$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{x^2 - 1}{2},$$

$$y(x) = ax - \frac{l(x^2 - 1)}{2} = \frac{-lx^2}{2} + ax + \frac{l}{2}.$$

Если бы область определения функции $y(x)$ не была ограничена, то она не имела бы минимума, а имела бы максимум при $x = \frac{a}{l}$ (рис. 8).

Этот максимум равен

$$\frac{1}{2} \left( -l \frac{a^2}{l^2} + 2a \frac{a}{l} + l \right) = \frac{a^2 + l^2}{2l}.$$

Однако области определения функции $y(x)$ ограничена, так как $x = \sqrt{2} \sin (\alpha + 45^\circ)$ и $0 \leq \alpha \leq 90^\circ$.

Функция $x(\alpha)$ имеет минимум $x = 1$ при $\alpha = 0^\circ$ (этот минимум достигается, когда $\alpha = 0^\circ$ — доска $AB$ всегда на одном береру) и максимум $x = \sqrt{2}$ при $\alpha = 45^\circ$. Отсюда находится определение функции $y = f(x)$: $1 \leq x \leq \sqrt{2}^*$.

*) На самом деле, при $\alpha$, близком к $0^\circ$ ($90^\circ$) и $AB$, меньше $\alpha$, точка $P$ на рисунке 7 оказется на продолжении $AB$, то есть на береру и потребуется доска длины, меньше чем $CP$, но если конец $P$ доски $CP$ лежит на береру, то $CP$ — наименьшее при $\alpha = 0^\circ$ и совпадает с $y(x)$ при $x = 1$.

46

Точка $x = 1$ на оси абсцисс расположена всегда между точками $x = 0$ и $x = \frac{a}{l}$ ($a > l$). Точка же $x = \sqrt{2}$ может занимать два положения: слева от точки $x = \frac{a}{l}$ (рис. 9) или справа от этой точки (рис. 10).

В том и в другом случае графиком функции $f(x)$ является дуг $AB$ парабольный между точками $x = 1$ и $x = \sqrt{2}$.

В первом случае $\left(\frac{a}{l} \geq \sqrt{2}\right)$ функция $y(x)$ при $x = \sqrt{2}$ ($\alpha = 45^\circ$) достигает максимума (!), равного $a\sqrt{2} - \frac{l}{2}$, а при $x = 1$ – минимума, равного $a$ (рис. 9; переправа в этом случае невозможна, так как при любом $1 < x \leq \sqrt{2}$ будет $y > a$).

Мы получили результат, прямо противоположный интуитивно предполагаемому! Рисунок 6 не направно на источников насас. Если $\frac{a}{l} \geq \sqrt{2}$, то при $\alpha = 45^\circ$ расстояние $CP$ от точки $C$ до первого доступа не наименьшим, а наибольшим! Согласно себе, что интуция, подсказавшая гипотезу 2, очень даже красиво обманула нас. Кроме того, невозможность переправы при $l \leq \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (например, при $a = 3,5$ м, $l \approx 2,4$ м) трудно предсказать интуитивно, хотя ясно, что какое-то ограничение на $l$ должно быть, при очень малом $l$ переправа невозможна.

Продолжим исследование

Постотрим, всегда ли возможность переправа, если $1 < \frac{a}{l} < \sqrt{2}$. В этом случае функции $y(x)$ имеет максимум, равный $\frac{a^2 + l^2}{2l}$ (рис. 10). На интересует минимум этой функции. Функция достигает минимума при $x = 1$ или при $x = \sqrt{2}$. Пусть $y(1) \leq y(\sqrt{2})$ (рис. 10). Поскольку $y(1) = a$, $y(\sqrt{2}) = a\sqrt{2} - \frac{l}{2}$, то $a\sqrt{2} - \frac{l}{2} \geq a$, откуда $\frac{a}{l} \geq \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$. Итак, при $\frac{\sqrt{2} + 1}{2} \leq \frac{a}{l} < \sqrt{2}$ переправа неосуществима, так как при $1 < x \leq \sqrt{2}$ будет $y(x) > a$ (рис. 9). Остается рассмотреть случае $1 < \frac{a}{l} < \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$.

В этом случае $y(\sqrt{2}) = a\sqrt{2} - \frac{l}{2} - \frac{l}{2} < a = y(1)$, минимум функции $y(x)$ равен $a\sqrt{2} - \frac{l}{2}$ (рис. 11) и достигается при $x = \sqrt{2}$, $\alpha = 45^\circ$. Переправа возникла, если этот минимум не превыходит длины $l$ второй точки, то есть при $a\sqrt{2} - \frac{l}{2} \leq l$, или $\frac{a}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4} (< \frac{\sqrt{2} + 1}{2})$.

Подготовивая, получаем, что переправа невозможна при $\frac{a}{l} > \frac{3\sqrt{2}}{4}$

47

и возможна при

$$\frac{a}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4}.$$ (*)

Отношение $\frac{a}{l} = \frac{3,5}{3}$ условию (*) не удовлетворяет, так как $\frac{3,5}{3} > \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Из неравенства $\frac{3,5}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4}$ находим, что переправа возможна, если $l \geq \frac{7\sqrt{2}}{3} \approx 3,3$ м.

Невозможность переправы геометрической ознакомеет, что множество точек, «заметаемые» первой и второй dockой, не пересекаются (рис. 12).

Если $\frac{a}{l} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$, то эти множество имеют лишь одну общую точку.

Если $\frac{a}{l} < \frac{3\sqrt{2}}{4}$, то область пересечения указанных множеств содержит бесписсленное множество точек.

Если $\frac{a}{l}$ близке к 1, чем к $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ (области пересечения множеств достаточно велика), первой dockу можно располагаать и не под углом $45^\circ$ к берегам, а вторую dockу — не перепендикулярно к первой, можно даже отодвинуть ее конец от вершины угла (точки $C$).

Итоги

Какой же вывод можно сделать из всего сказанного? Подтверждают ли все наши рассуждения тот факт, что интуитивное предсказание гипотезы 2 является верным?

Мы видели, что гипотеза 2 в формулировке

a) первая доска оказывается на нашемшем расстоянии от $C$, если $\alpha = 45^\circ$,
не соответствует действительности. В формулировке же

b) если переправа возможна ($\frac{a}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4}$), то первая доска оказывается на нашемшем расстоянии от $C$, если $\alpha = 45^\circ$,

гипотеза 2 соответствует действительности. Однако предсказать этот результат интуитивно трудно.

В связи с рассмотренной задачей возникают новые интересные задачи. Вот некоторые из них.

Упражнения

1. При какой минимальной длине двух одинаковых досок (ширина канала равна 3,5 м) переправа возможна, если запас покрытия для каждой dockи должен составлять 20 см (по 10 см для каждой конца)?

2. Вывести условие возможности переправы через канал ширины $a$ с помощью двух досок различной длины: $m$ и $n$ ($m < a$, $n < a$). В частности, выяснить, возможна ли переправа, если $a = 3,5$ м и $m + n = 6$ м.

3*. Через канал питания переправится с помощью трех досок. При каких длинах $a$, $b$, $c$ досок это возможно? Хватит ли трех досок по 3 м каждая?*)

4*. Две ветви канала имеют различную ширину: $a$ ($m$) и $b$ ($m$) ($a > b$), причем имеются две dockи одинаковой или различной длины: $m$ и $n$, — какая из которых меньше $b$. Вывести необходимое и достаточно условие возможности переправы.

5*. Ветви канала образуют произвольный (а не прямой) угол $\varphi$, их ширина равна $a$ и $b$, dockи — различной длины ($m$ и $n$). При каком условиях возможна переправа?

Литература

1. Д. Пойа, Математика и праводопобные рассуждения, ИЛ, 1957.

2. Д. Пойа, Математическое открытие, М., «Наука», 1970.

3. Д. Пойа, Как решать задачу, М., Учредгиз, 1957.

4. Г. Д. Балк, М. Б. Балк, Испытания на праводопобие. «Квант», 1972, № 1.

*) Задание 3—5 решать не обязательно, их решения очень трудные, громоздкие, требуют знания, выходящих за пределы школьной программы.