Коза на привязи

74

КОЗА
НА
ПРИВЯЗИ
В.Н.Крупский, А.И.Орлов

После окончания занятия в вечерней математической школе, когда последние школьники уже ушли домой, мы увидели забутую кем-то тетрадь. Это был дневник без имен автора. Записи показались нам интересными, и мы решили напечать выдержку из дневника.

«… Козы прохорливы и съедают все, до чего могут дотянуть. Мой приятель ловко использал это обстоятельство. Он жил в деревне и хорошо знал грибные места. Но когда приходили друзья и спрашивали, куда пойти завтра за грибами, он ответал: «Коза покажет». В самом деле, к вечеру его коза съедала траву на участке в форме стрелки, направленной к самому грибному месту (рис. 1). Мне стало интересно, как это у него получается. Вчера я расссказал об умной козе моему соседу-mатематику, и вот что он мне ответил.

Математик. — Это совсем не так сложно, как ты думешь. Давай разбираться с самого начала. Если в поле привязать к колышку десятimetровой веревкой, то она съет траву, конечно, в круге радиуса 10 метров. Попробуем привязать ее по-другому. В точках А и В выбем колышки, между ними натянем веревку. У второй веревки один конец закрепим на «ошейнке» козы, а на другом конце сделаем petлю, которая будет скольить по первой веревке. Теперь коза сможет съедать траву на участке, состоящем из прямогольника и двух полукругов с центрами в точках А и В (рис. 2). Расстояние от точки границы «выеденного» участка до первой веревки всегда длина второй веревки.

Я. — А что такое «расстояние от точки до веревки»? Ведь можно изменять расстояние от точки М до точки А, или до точки В, или до какой-нибудь внутренней точки С отрезка AB (рис. 3). Все время мы будем поЛучать разные результаты.

Математик. — Расстоянием от точки М до отрезка называется

Рис. 1.
Рис. 2.

76

Рис. 5.

Я. — Решив эти задачи, я смогу заставить коэффициент «съестъ» и сектор.

Математик. — Конечно, ведь сектор — это пересечение треугольника с кругом, а обе эти фигуры ты сможешь получить. Кстати, вот тебе еще задача.

Задча 3. Как заставить коэффициент полукруг?

Я. — Я подумаю над твоими задачими. Интересно, ты сам полностью придумал «Теорию голодной козы» или воспользовался какими-нибудь математическими понятями?

Математик. — Я уже говорил о таких вещих, как расстояние от точки до отрезка, пересечение фигур. Но, по-моему, самое нужное математическое понятие, которое использось — это понятие «окрестности фигуры радиуса R».

Определение. Okрестность радиуса R фигуры Ф называется многоестрою всех тех точек, расстояние от компонных точек Ф не преобразуется R (эдесь R — неотрицательное число).

Я. — А что такое «расстояние от точки до фигуры»?

Математик. — Это естественное обобщение понятия «расстояние от точки до отрезка».

Определение. Расстояние от точки до отрезка, пересечение фигур. Но, по-моему, самое нужное математическое понятие, которое использось — это понятие «окрестности фигуры радиуса R».

Определение. Okрестность радиуса R фигуры Ф называется многоестрою всех тех точек, расстояние от компонных точек Ф не преобразуется R (эдесь R — неотрицательное число).

Рис. 6.

77

Задание 5. Какова площадь окрестности радиуса $R$ выпуклого многоугольника с перimetром $P$ и площадью $S$?

Я. — Мы забили про коэду.

Математик. — Нет, почему же? Если у нас есть проволока, можно петлю вервки длины $R$ надевать на нее. Тогда коэда съет окрестность радиуса $R$ проволочного контура. Мы считаем, конечно, что контур приварен к единственному колышку, так что он неподвижен, и петля свободно скольzt по нему.

Я. — Значит, с помощью проволоки можно заставить коэду съет окрестности радиуса $R$ окружности и границы прямогоугольника?

Математик. — Да. Вот с окрестностью креста дело обстоятель сложнее.

Задание 6. Подумай, какой нужен проволочный контур, чтобы получить окрестность креста.

Я. — Действительно, сам крест в качестве контура не подойдёт — ведь через точку $O$ (рис. 6, а) петля не пройдёт. Надо подумать… Интересно, можно ли в «Teория головной козы» использовать окрестность самого прямогоугольника, а не его границы?

Математик. — Построим низкую загородку по границе прямогоугольника так, что коэда легко перерывается через нее. Один конец вервки длины $R$ привяжем к осейнику, а другой — к рогульке — «якою», который может двигаться только внутри прямогоугольника. Перетащить его через загородку коэда не может. Тогда коэда будет питаться в окрестности радиуса $R$ прямогоугольника.

Ты, может быть, знаешь, что разность $\Phi_1/\Phi_2$ двух фигур $\Phi_1$ и $\Phi_2$ называют фигуру, состоящую из всех тех точек $\Phi_1$, которые не лежат в $\Phi_2$. Например, разность прямогоугольника со стороны 30 м и 40 м и окрестностью его границы радиуса 5 м будет прямогоугольник со стороны 20 м и 30 м (рис. 7).

Рис. 7.

Я. — В «Teория головной козы» это можно использовать так. К прямогоугольному проволочному контуру $30\text{м} \times 40\text{м}$ пятиметровой цепью прияжем собаку. Она будет бегать по окрестности радиуса 5 м границы этого прямогоугольника и не пускать коэду за пределы прямогоугольника $20\text{м} \times 30\text{м}$.

Математик. — Вот пожожая задача.

Задание 7. Как одной собакой удержать непривязанную коэду в полукруге?

«Teория головной козы» можно развивать в разных направлениях. Например, можно пользоваться только колышками и вервками и требовать, чтобы все вервки были постоянно натянуты. Тогда заставить коэду ограничиться прямогоугольником $ABCD$ можно так: вбить колышки в вершинах прямогоугольника, натянуть вервки между $A$ и $B$ и между $C$ и $D$, набросить вервочное колюцо на вервки $AB$ и $CD$, натянуть его до отказа и привязать коэду к колюцу. Ведь для точек прямогоугольника сумма расстояния до двух противоположных сторон постоянна. Теперь ты сможешь заставить коэду «съестЬ» треугольник и при новых ограничениях…».

Следующий лист был відран, и мы не узнали о дальнейшем развитии «Teория головной козы». Можно быть, читатели «Квана» помогут нам и предложат свои варианты теории?