Quy tắc “cực đoan”

57

Nếu bạn muốn học cách giải toán bài toán, bạn nên cố gắng nắm vững ít nhiều các cách tiếp cận, kỹ thuật và phương pháp suy luận toán học tổng quát. Chúng ta hãy xem xét một cách tiếp cận chung về mùa xuân mà chúng ta gọi là quy tắc “cực đoan”.

Quy tắc “cực đoan” có thể được diễn đạt ngắn gọn bằng từ “Thư giãn cực độ!” Quy tắc này chỉ đơn giản là một khuyến nghị để xem xét một vật thể có một số tính chất “cực đoan”, hay như các nhà toán học nói, các tính chất cực trị. Nếu chúng ta đang nói về bài toán về một tập hợp các điểm trên một đường thẳng, thì quy tắc là “Hãy xem xét điểm cực trị!” khuyên chúng ta nên tập trung sự chú ý vào điểm xa nhất của tập hợp (ngoài cùng bên trái hoặc ngoài cùng bên phải). Nếu bài toán chứa một tập hợp số nhất định thì quy tắc “cực đoan” khuyên bạn nên xem xét nhiều nhất hoặc hầu hết các số này. Dưới đây là một số ví dụ.

Bài toán 1. Cho một tập hợp điểm M nhất định trên mặt phẳng sao cho mỗi điểm thuộc M là trung điểm của đoạn thẳng nối bất kỳ cặp điểm nào hoặc một tập hợp M. Chứng minh rằng tập hợp M chứa vô số tập hợp điểm.

Điều thường xảy ra là chìa khóa của lời giải bài toán được tìm thấy bằng cách giải bài toán tương tự đơn giản hơn bài toán. Do đó, trước khi giải bài toán này, chúng ta hãy thử giải bài toán tiếp theo.

Bài toán 2. Cho một tập hợp các điểm M trên một đường thẳng sao cho mỗi điểm từ M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm khác của M; điều này có nghĩa là nó không thuộc M. Điều mâu thuẫn thu được chứng tỏ tập M không thể hữu hạn.

Hãy đưa ra lời giải khác trong số bài toán này, sử dụng quy tắc “cực đoan”. Chúng ta hãy lại giả sử rằng tập M là hữu hạn và xét độ dài của các đoạn nối các điểm từ M. Tập số này là hữu hạn. Áp dụng

58

Quy tắc của chúng tôi đối với anh ấy là ở dạng: “Hãy cân nhắc nhiều nhất!” - Xét đoạn BC có độ dài dài nhất. Rõ ràng là không có điểm nào từ M nằm ngoài đoạn BC, nếu không sẽ có những đoạn có độ dài lớn. Như vậy, mọi điểm của tập M đều nằm trên đoạn BC nên cả B và C đều không thỏa mãn điều kiện, tức là chúng không thuộc tập M. A mâu thuẫn.

Bây giờ chúng ta quay lại bài toán 1. Giả sử rằng tập M là hữu hạn. Hãy áp dụng lại quy tắc “cực đoan”. Để làm điều này, chúng ta cố định vị trí của mặt phẳng và xem xét điểm thứ ley của tập M, và nếu có một số điểm “ngoài cùng bên trái” thì chúng ta lấy điểm thấp nhất trong số đó. Dễ dàng nhận thấy rằng điểm này, ta ký hiệu bằng A, không thể nằm trong đoạn nối hai điểm của tập M. Thật vậy, nếu một đoạn như vậy tồn tại thì một trong các đầu của nó sẽ là bên trái A hoặc cùng đường thẳng đứng với điểm A, nhưng ở dưới nó. Cả cái này lẫn cái kia đều không thể tồn tại do việc chọn điểm A.

Ở đây, như trong bài toán 2, cũng tồn tại lời giải, dựa trên việc xem xét khoảng cách theo cặp giữa các điểm của tập M. Nếu tập M là hữu hạn thì có một số hữu hạn khoảng cách theo cặp và trong số đó, được hướng dẫn bởi quy tắc “cực đoan”, người ta có thể tìm thấy nhiều nhất. Gọi đây là khoảng cách giữa các điểm A và B. Nhưng điểm B là điểm giữa của một đoạn CD nhất định, các đầu của đoạn đó, theo điều kiện, thuộc tập M (Hình 1). Khi đó dễ dàng chứng minh được rằng |AD| hoặc |AC| thêm |AB| (bạn tự làm việc này nhé, lợi dụng trung tuyến m vẽ của một cạnh của tam giác nhỏ hơn một nửa tổng của hai cạnh còn lại).

Bài 3. Các số tự nhiên được viết trên lề bàn cờ vô hạn sao cho mỗi số bằng số đối số trung bình

Quy tắc “cực đoan” ở dạng “Cân nhắc nhiều nhất!” sẽ giúp chúng tôi giải quyết điều này bài toán. Trong số các số tự nhiên viết trên ô bàn cờ, chắc chắn tồn tại những số nhỏ nhất. Điều này không khó để xác minh. Gọi k là một trong các số đã cho. Nếu trong số các số viết trên bảng có một số thì đó là số nhỏ nhất (không có số nào nhỏ nhất, nhỏ hơn một). Nếu không có ai trên bảng, hãy xem liệu có hai người ở đó không. Nếu có thì đó là số nhỏ nhất, còn nếu không thì số dưới cùng trên bảng là ba, v.v. Trong không quá k bước, chúng ta sẽ trả lời số nhỏ nhất m theo cách này. Hãy xem xét trường P mà nó được viết trên đó. Chúng ta hãy biểu thị các số được viết trong các trường liền kề bằng các chữ cái a, b, c và d. Theo điều kiện m=(a+b+c+d)/4. Do đó a+b+c+d=4 m. Do chọn số m nên ta có a ≥ m, b ≥ m, c ≥ m, d ≥ m. Nếu ít nhất một trong các bất đẳng thức này là nghiêm ngặt thì chúng ta có a+b+c+d>4 m, mâu thuẫn với các điều kiện. Vậy a=b=c=d=m.

Do đó, nếu số m được viết trên một trường nhất định thì số m được viết trên các trường lân cận. Theo đó, theo chiều ngang,

59

chứa trường $P$ thì chỉ ghi các số $m$. Nhưng bất kỳ chiều dọc nào cũng cắt chiều ngang này, nghĩa là nó chứa số $m$, và do đó, tất cả các số trên các chiều dọc đều bằng $m$. Điều này có nghĩa là nhìn chung tất cả các số trên bảng đều bằng $m$.

Bài toán 4. Trên bàn cờ vuông có kích thước $n \times n$ khoảng cách giữa quân xe tuân theo điều kiện sau: nếu có một số ô trống thì tổng số quân đứng trên cùng một đường ngang với ô này và trên cùng một hàng dọc với nó không nhỏ hơn $n$. Chứng minh rằng có ít nhất $n^2/2$ quân xe trên bàn cờ.

bài toán này thật khó khăn. Tuy nhiên, việc áp dụng khéo léo quy tắc “cực đoan” có thể tạo điều kiện thuận lợi hơn rất nhiều cho việc tìm kiếm lời giải. Cụ thể, quy tắc “cực đoan” gợi ý ý tưởng về khoảng cách của các đường $2n$ - dọc và ngang - trên đó có ít quân xe nhất. Có thể nói có vài dòng như vậy, “tải ngang nhau” với quân xe. Sau đó chọn bất kỳ trong số họ. Đặt đường thẳng này là một đường ngang (nếu không, hãy đặt nó lên trên bảng ở $90^\circ$ - các đường thẳng đứng sẽ trở thành nằm ngang). Số lượng xe ở hạng này được ký hiệu là $k$. Nếu $k \geq \frac{n}{2}$, thì trên mỗi hàng trong số $n$ có ít nhất $\frac{n}{2}$ quân và tổng cộng có ít nhất $\frac{n^2}{2}$ quân trên bàn cờ.

Hãy để bây giờ $k < \frac{n}{2}$. Ở khoảng cách theo chiều ngang, có $n-k$ ô vuông tự do và mỗi chiều dọc cũng đi qua một ô vuông tự do chứa, như có thể thấy từ điều kiện, ít nhất $n-k$ quân xe và tất cả các ngành dọc như vậy chứa ít nhất $(n-k)^2$ quân xe. Các tệp $k$ còn lại chứa ít nhất $k$ mỗi tệp (do lựa chọn số $k$). Có ít nhất $(n-k)^2+k^2$ quân xe trên bàn cờ. Phần còn lại dùng để chứng minh rằng $(n-k)^2+k^2 \geq \frac{n^2}{2}$. Điều này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau, đây là một trong số đó:

$$[(n-k)^2+k^2] - \frac{n^2}{2} = \frac{n^2}{2} - 2nk + 2k^2 = 2\left(\frac{n^2}{4} - nk + k^2\right) = 2\left(\frac{n}{2} - k\right)^2 \geq 0.$$

Nếu $n$ là một số chẵn thì chúng ta có thể tìm thấy một phân bố thỏa mãn điều kiện và chứa chính xác $\frac{n^2}{2}$ quân xe - chỉ cần đặt các quân xe trên tất cả các ô vuông màu đen (hoặc trên tất cả các ô vuông màu trắng là đủ). Nếu số $n$ là số lẻ thì không thể đặt $\frac{n^2}{2}$ quân xe, tuân theo các điều kiện bài toán, vì số $\frac{n^2}{2}$ không phải là số nguyên, nhưng có thể đặt $\frac{n^2+1}{2}$ quân xe: chúng ta đặt một quân xe trên một trong các ô vuông ở góc và phần còn lại trên các ô vuông cùng màu.

bài toán tiếp theo được giải tương tự.

Bài toán 5. Cho $n^2$ các số không âm được sắp xếp trong một bảng chứa $n$ hàng và $n$ cột. Trong trường hợp này, các điều kiện sau được đáp ứng: nếu số 0 được viết ở một vị trí nào đó trong bảng thì tổng các số trong cột và hàng chứa số 0 này không nhỏ hơn $n$. Chứng minh rằng tổng của tất cả các số $n^2$ ít nhất là $n^2/2$.

Bài toán 6. $n$ điểm được cho trên máy bay. Không ai trong số họ nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua các điểm đã cho mà không chứa trường nội hoặc điểm quả dưa.

Hãy vẽ một đường tròn đi qua ba điểm. Chúng ta có một vòng tròn không âm (những vòng tròn không âm có thể hợp nhất thành một). Ít nhất phải chứng minh được điều đó

60

một trong những vòng tròn này không chứa bất kỳ điểm nào bên trong nó. Quy tắc “cực đoan” có thể gợi ý xem xét hình tròn lớn nhất (hình tròn có bán kính lớn nhất), nhưng trong trường hợp này, điều này không mang lại kết quả gì (chỉ cần xét cấu hình của các điểm sau: 4 đỉnh của hình vuông và tâm của nó; hình tròn nhỏ nhất sẽ là hình tròn được mô tả xung quanh hình vuông, nhưng nó không thỏa mãn các điều kiện). Hãy làm điều đó khác đi. Hãy thử giải bài toán bài toán đơn giản hơn, cụ thể là chúng ta sẽ tìm một đường tròn đi qua hai trong số các điểm đã cho và không chứa điểm đó bên trong chính nó. Hãy đo khoảng cách giữa hai điểm cho trước và sử dụng quy tắc “cực đoan” ở dạng “Xem xét điểm cao nhất!”, Lấy một cặp điểm $A$ và $B$, nằm ở khoảng cách xa nhất với nhau. Dễ dàng xác minh rằng một đường tròn dựng trên đoạn $AB$ là đường kính thỏa mãn điều kiện: các điểm $(n-2)$ còn lại cách cả $A$ và $B$ không nhỏ hơn $|AB|$, và do đó nằm bên ngoài đường tròn này. Bây giờ, hãy vẽ các vòng tròn qua các điểm $A$ và $B$ và qua từng điểm $(n-2)$ còn lại. Trong số các vòng tròn này, hãy chọn vòng tròn cao nhất! Đây là điều mà quy tắc nói với chúng ta: “Hãy xem xét mức cao nhất!” Giả sử nó là một đường tròn đi qua các điểm $A$ và $B$ và một điểm ngắn $C'$ của “liềm” (Hình 2), nhỏ hơn đường tròn đi qua các điểm $A$, $B$, $C$ (hãy tự chứng minh điều này).

Bài toán 7. Trên mặt phẳng có $n$ đường thẳng $(n \ge 3)$. Không có hai đường nào song song và không có hai đường nào cắt nhau tại một điểm. Những đường này cắt mặt phẳng thành nhiều phần. Chứng minh rằng bất kể chúng ta chọn đường thẳng $n$ nào thì ít nhất một trong các phần của mặt phẳng hướng tới nó là phần vượt quá.

Đặt $l_1$ là một trong những dòng đã cho. Được hướng dẫn theo quy tắc “cực đoan”, từ giao điểm của các đường còn lại, chúng ta chọn điểm cách đường $l_1$ lớn nhất. Giả sử tại thời điểm này, biểu thị nó bằng chữ cái $P$, các dòng $l_2$ và $l_3$ giao nhau. Không khó để chứng minh (bạn tự làm) rằng tam giác tạo bởi các đường thẳng $l_1$, $l_2$ và $l_3$ là một phần của mặt phẳng và do đó thỏa mãn điều kiện.

Bài toán 8. Chứng minh không có 4 số tự nhiên $x, y, z, u$ thỏa mãn phương trình $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2)$.

Chúng ta hãy giả sử rằng bốn cái đó tồn tại. Hãy xem xét giá trị có giá trị $x^2 + y^2$ là tối thiểu (nếu có một vài bốn giá trị mà giá trị này bằng nhau và tối thiểu thì một trong số chúng ở khoảng cách bất kỳ). Đặt nó là bốn $a, b, c, d$. Từ phương trình $a^2 + b^2 = 3(c^2 + d^2)$ ta thấy $a^2 + b^2$ là bội số của trem. Nhưng thật dễ dàng để chứng minh rằng $a^2 + b^2$ chia hết cho ba khi và chỉ khi $a$ và $b$ chia hết cho ba, vì bình phương của một số không chia hết cho ba sẽ dư một khi chia cho ba.

61

Do đó, $a=3m, b=3n$, từ đâu
$$a^2+b^2=9m^2+9n^2=3(c^2+d^2).$$
Giảm đẳng thức cuối cùng đi 3, chúng ta nhận được:
$$c^2+d^2=3(m^2+n^2).$$
Chúng tôi đã tìm thấy bốn số $c, d, m, n$ thỏa mãn phương trình này và đối với bốn số này
$$c^2+d^2<a^2+b^2,$$
và điều này là không thể do sự lựa chọn của bộ tứ $a, b, c, d$.

Bài 9. Trên mặt phẳng có $n$ đường thẳng ($n \ge 3$). Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau và qua giao điểm nào có ít nhất ba đường thẳng đó đi qua. Chứng minh rằng mọi đường thẳng cắt nhau tại một điểm.

Đặt $M$ là một trong những giao điểm của các đường thẳng. Hãy nói rằng cô ấy không phải là người duy nhất. Khi đó có một đường thẳng $l$ của hệ đã cho không đi qua $M$. Tập hợp các điểm giao nhau của các đường không nằm trên $l$ không trống - ví dụ: nó chứa điểm $M$. Giải nén điểm của bộ này gần với $l$ (và nếu có một số điểm nằm ở khoảng cách tối thiểu với $l$, thì hãy chọn một trong số chúng, bất kỳ điểm nào) và nhận được mâu thuẫn.

Đây là một cái tương tự khác bài toán.

Bài 10. $n$ điểm ($n \ge 3$) được cho trên mặt phẳng. Biết rằng trên mỗi đường thẳng đi qua 2 điểm đã cho đều có ít nhất một điểm đã cho nữa. Chứng minh rằng tất cả $n$ điểm của mô hình đều nằm trên cùng một đường thẳng.

Sự phát triển của các quy tắc “cực đoan” là “quy tắc sắp xếp”, nghe như thế này: “Sắp xếp các phần tử của tập hợp đang nghiên cứu theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần (hoặc cách nào khác)!”

Bài 11. Bảy người hái nấm cùng nhau hái được 100 cây nấm, hai người dưới đây không hái được số nấm bằng nhau. Chứng minh rằng có 3 người hái nấm cùng nhau hái được ít nhất 50 cây nấm.

Hãy tạo một “bảng lãnh đạo”, đặt những người hái nấm vào đó theo thứ tự giảm dần về số lượng nấm thu được. Rõ ràng cần phải xem xét những người hái nấm chiếm 3 vị trí đầu tiên - họ đã thu thập được nhiều nấm hơn bất kỳ 3 vị trí nào còn lại. Hãy thử chứng minh rằng họ đã thu thập được ít nhất 50 cây nấm. Nếu người hái nấm đứng thứ 3 thu thập được 16 cây nấm trở lên thì người đứng thứ 2 thu thập được ít nhất 17 cây nấm, người đứng thứ nhất thu được ít nhất 18 cây nấm. Họ cùng nhau thu thập được ít nhất 16+17+18=51 cây nấm. Nếu người hái nấm đứng thứ 3 thu thập không quá 15 cây nấm thì người hái nấm đứng thứ 4 đến thứ 7 thu thập được không quá 14+13+12+11=50 nấm. Trong trường hợp này, ít nhất 50 cây nấm vẫn còn lại cho ba cây đứng đầu.