Pierre Fermat

3

DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX,
ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS
LIBER VNVS.

VM COMMENTARIIS C. G. BACHETI V. C.
Observationibus D. P. de FERMAT Senatoris Tolofani.

Accessit Doctrinæ Analyticae inuentum nouum, collectum ex varijs eiusdcm D. de FERMAT Epistolis.

TOLOSE,
Excudebat BERNARDVS BOSC, e Regione Collegij Societatis Iefu.

M DC LXX.

Trang tiêu đề của ấn bản tiếng Latin của Diophantus với lời bình luận
Sự giận dữ của Bachet de Mezirc và nhận xét của Fermat. Giới thiệu về trang trại
Chúng ta nói về nó trong bài viết trên trang. 3

2

Trong số này, chúng ta kỷ niệm ngày kỷ niệm của nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 17, Pierre Fermat. Fermat có đóng góp cho hầu hết mọi ngành toán học trong thế kỷ 17. Các tác phẩm của ông có trước sự ra đời của phép tính vi phân và lý thuyết xác suất. Fermat xứng đáng được coi là một trong những người sáng tạo ra hình học giải tích. Nhưng công việc của ông về lý thuyết số đặc biệt quan trọng.

Pierre Fermat chịu trách nhiệm về ba bài viết trong số báo này. Cuộc đời, mối quan tâm khoa học và những khám phá của Fermat được mô tả trong bài viết của I. Bashmkova. Trong bài viết của B. Martynov, đa thức phân tích của Fermat được xây dựng và chứng minh. Cuối cùng, trong bài viết của L. Turiyansky ông nói về công trình duy nhất của Fermat liên quan đến một bài toán vật lý - định luật khúc xạ ánh sáng. Và Fermat đã tiếp cận vấn đề này từ quan điểm toán học thuần túy: trong đó ông đã áp dụng phương pháp lời giải cực trị bài toán của mình. Về bản chất, đây là ứng dụng đầu tiên trong vật lý của nhánh toán học mà ngày nay được gọi là phép tính biến phân.

4

Năm 1631, Fermat kết hôn với người họ hàng xa bên ngoại, Lunza de Long. Pierre và Lunza có năm người con, trong đó người con cả Samuel trở thành nhà thơ và nhà khoa học. Chúng ta nợ ông những tác phẩm sưu tầm đầu tiên của Pierre Fermat, xuất bản năm 1679. Pierre Fermat qua đời vào ngày 12 tháng 1 năm 1665 trong một chuyến công tác của ông.

Dưới đây là danh sách những sự thật khô khan mà chúng ta biết về cuộc đời của nhà toán học tuyệt vời này.

Thật không may, Samuel Fermat không để lại ký ức nào về cha mình. Đúng vậy, cuộc đời của một nhà khoa học, như một quy luật, rất nghèo nàn trước những biến cố bên ngoài. Nội dung chính của nó chỉ được bộc lộ ở sự sáng tạo, đó là một kỳ tích tinh thần to lớn của nhà khoa học.

Không có tác phẩm nào của Fermat được xuất bản trong suốt cuộc đời của ông. Những tác phẩm sưu tầm mà ông nhiều lần cố gắng chuẩn bị đều chưa bao giờ được ông viết ra. Tuy nhiên, ông đã đính kèm một số chuyên luận vào một dạng hoàn chỉnh, và chúng được hầu hết các nhà khoa học cùng thời biết đến dưới dạng bản thảo (đây là các chuyên luận về hình học giải tích, về cực đại và cực tiểu, cũng như về bình phương của parabol và hyperbol). Ngoài những chuyên luận này, vẫn còn những bức thư từ rộng rãi và cực kỳ thú vị của ông.

Vào thế kỷ 17, khi chưa có tạp chí khoa học đặc biệt (“Tạp chí các nhà khoa học” là một trong những tạp chí đầu tiên, bắt đầu xuất bản vào năm 1665), thư từ trao đổi giữa các nhà khoa học đóng một vai trò đặc biệt. Nó đặt bài toán, báo cáo về các phương pháp lời giải của họ và thảo luận về các vấn đề khoa học cấp bách.

Phóng viên của Fermat là những nhà toán học vĩ đại nhất trong thời đại của ông: P. Descartes, Etben và Blaise Pascal, B. Frenicle de Bessy, X. Huygens, E. Torricelli, J. Wallis. Những bức thư được gửi trực tiếp đến người nhận hoặc tới Trụ trì Mersenne ở Paris, người đã nhân chúng và gửi chúng cho các nhà toán học đang nghiên cứu các vấn đề phân tích. Nhưng những bức thư hầu như không bao giờ chỉ là những chủ đề toán học ngắn gọn. Tính cộng đồng trong đó bộc lộ những cảm xúc sống động của tác giả, góp phần tái hiện hình ảnh của họ.

Khi Fermat gửi cho Mersenne “Phương pháp tìm cực đại và cực tiểu” của ông vào năm 1636, Descartes, không hiểu phương pháp của Fermat, đã chỉ trích gay gắt nó. Vào tháng 6 năm 1638, Fermat gửi cho Mersenne một tuyên bố mới, chi tiết hơn về phương pháp của ông để chuyển cho Descartes. Một bức thư có nội dung, nhưng không phải không có sự mỉa mai nội tại: “… Vì vậy, hóa ra là tôi đã tự giải thích, hoặc ông Descartes hiểu tác phẩm tiếng Latinh của tôi… Tôi vẫn gửi cho anh ấy những gì tôi đã viết, và anh ấy chắc chắn sẽ tìm thấy ở đó những điều sẽ giúp anh ấy mở ra quan điểm của mình rằng tôi đã tình cờ tìm ra phương pháp này và tôi không biết nền tảng thực sự của nó…” Trang trại không bao giờ thay đổi giọng điệu có khả năng của mình. Anh ấy cảm nhận được chiều sâu của mình với tư cách là một nhà toán học, vì vậy anh ấy không tham gia vào các cuộc bút chiến vụn vặt mà kiên nhẫn cố gắng giải thích phương pháp của mình, như một giáo viên sẽ làm với một học sinh.

Fermat được công chúng biết đến (xa hơn toán học) chủ yếu nhờ Định lý lớn mang tên ông. Tuy nhiên, Fermat không chỉ giải quyết lý thuyết số được yêu thích nhất của ông, liên quan đến định lý này, mà còn giải quyết các vấn đề toán học thu hút sự chú ý của các nhà khoa học trong thế kỷ 17, cụ thể là bài toán xác định cực đại và cực tiểu, tìm tiếp tuyến, tính diện tích và độ dài của các cung đường cong, nói tóm lại - những câu hỏi mà ngày nay chúng ta liên quan đến phân tích toán học. Và ở đây Fermat sở hữu những kết quả quan trọng nhất trước khi Newton và Leibniz sáng tạo ra phép tính. Ngoài ra, Trang trại là nơi đầu tiên trong thời hiện đại đến với

5

ý tưởng về tọa độ và tạo ra hình học phân tích. Ông cũng nghiên cứu các vấn đề trong lý thuyết xác suất. Fermat không chỉ giới hạn ở toán học: ​​ông còn nghiên cứu vật lý, nơi ông phát hiện ra định luật truyền ánh sáng trong môi trường không đồng nhất *).

Hình học giải tích

Một trong những công trình toán học đầu tiên của Fermat là việc khôi phục hai cuốn sách “Trên những nơi bằng phẳng” đã được phê duyệt của Apollonius. Bây giờ chúng ta sẽ phân loại các phương pháp mà Apollonius đã sử dụng làm hình học phân tích và thiết kế. Tuy nhiên, vào thời Apollonius chưa có ký hiệu chữ cái nên ông phải viết ra các công thức đại số và phương trình đường cong hình học. Ví dụ: công thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ của chúng tôi đã được người xưa viết ra (và đã được chứng minh!) bằng cách sử dụng hình vẽ (Hình 1).

Sự khác biệt chính giữa các phương pháp hiện đại lời giải hình học bài toán và các phương pháp của Apollonius là việc sử dụng đại số chữ cái. Người đầu tiên hiểu được cách áp dụng đại số mới vào các bài toán hình học là Fermat.

Năm 1636, bài tiểu luận “Giới thiệu về nghiên cứu mặt phẳng và vị trí không gian” **) của ông xuất hiện dưới dạng bản thảo, trong đó hình học giải tích trên mặt phẳng được xây dựng một cách nhất quán. Ngay cả khi khôi phục các cuốn sách của Apollonius, Fermat đã đánh giá cao việc áp dụng phương pháp tọa độ và nhận ra rằng một phương trình có một ẩn số xác định hoàn toàn một số nhất định, một phương trình có hai ẩn số - một tập hợp các điểm trên mặt phẳng (đường cong), một phương trình có ẩn số thứ ba -

*) «Kvant», 1975, số 12, tr. 30 và trong số này - c. 17.
**) Dưới “những nơi bằng phẳng” Fermat, theo người xưa, hiểu đường thẳng và đường tròn, dưới “những nơi không gian” - một phần hữu hạn.

Hình 1.

một tập hợp các điểm trong không gian (bề mặt). Fermat bắt đầu phần “Giới thiệu” của mình bằng cách chọn hai đường thẳng làm trục tọa độ, chúng cắt nhau ở một góc cụ thể nào đó (không nhất thiết phải là góc vuông).

Về cơ bản, nó cho thấy bất kỳ phương trình bậc một nào giữa các tọa độ. Biểu thị một đường thẳng và phương trình của bước thứ hai biểu thị một phần hữu hạn nhất định và đánh dấu điều kiện mà quỹ tích tương ứng sẽ là một đường tròn. Để rút gọn phương trình của thảo nguyên thứ hai thành một trong những dạng chính tắc mà người xưa đã biết, Fermat áp dụng một phép biến đổi tọa độ. Toàn bộ phần trình bày của Fermat hoàn toàn nhất quán.

Một năm sau, tác phẩm “Diễn ngôn về phương pháp” của P. Descartes được xuất bản, phần thứ tư trong số đó, “Hình học”, cũng được dành cho hình học giải tích. Tác phẩm này đã làm lu mờ phần Giới thiệu của Fermat, mặc dù từ quan điểm toán học thuần túy, nó được viết ít hệ thống hơn. Thực tế là Descartes đã tạo ra một phép tính mới, tiện lợi hơn mà chúng ta vẫn sử dụng với những thay đổi nhỏ cho đến tận bây giờ, trong khi Fermat lại sử dụng phép tính ký hiệu nhanh chóng và mệt mỏi của Vieta. Ngoài ra, Descartes còn giới thiệu đại số mới cùng với phương pháp tọa độ là “toán học phổ quát”, một phương pháp tổng quát

6

cho lời giải tất cả bài toán. Những “quảng cáo” như vậy đã góp phần không kém gì đại số mới vào sự phổ biến của tác phẩm của ông.

Phương trình của parabol và hyperbol. Tính độ dài đường cong

Phương pháp hệ thống của Do Ferma về cầu phương, tức là tính diện tích, được phát triển bởi nhà khoa học người Anh B. Cavalieri (1598-1647). Ông chỉ viết cuốn sách “Hình học của các tuần” (1635), trong đó ông tính diện tích của một hình được giới hạn bởi parabol $y = x^2$, trục abscissa và đường thẳng $x = 1$. Sau đó (1647) ông đã tính diện tích tương tự cho các parabol $y = x^3, y = x^4, \dots, y = x^9$.

Chưa có vào năm 1642, Ferma đã phát hiện ra một phương pháp tính diện tích của các hình được giới hạn bởi bất kỳ “parabol” $y = ax^{p/q}$ ($p/q > 0$) và bất kỳ “hyperbol” $y = \frac{a}{x^{p/q}}$ nào. Bài thuyết trình của Ferma chỉ dài 10 trang. Đối với “hyperbola”, có $\frac{p}{q} > 1$, trước tiên anh ấy tính diện tích của một hình không giới hạn nằm giữa trục x, đường thẳng $x = x_0$ và đường cong (Hình 2). Do đó, người ta đã chứng minh rằng diện tích của một hình không giới hạn có thể là hữu hạn.

Ferma, một trong những người đầu tiên, đã giải quyết vấn đề làm thẳng các đường cong, tức là tính độ dài các cung của chúng. Anh ấy đã cố gắng giảm bài toán này để tính toán các khu vực không phải là ctor. Do đó, ông đã chỉ ra rằng phép tính độ dài của các parabol khác $y^2 = 2px$ từ điểm (0, 0) đến điểm neoctoral $(x_1, y_1)$ (Hình 3) cho biết vị trí của các parabol $x^2 - y^2 = p^2$, trục tọa độ, trục hoành độ và đường thẳng $y = y_1$ (Hình 4).

Ferma chỉ còn một bước nữa là chuyển từ “diện tích” sang khái niệm trừu tượng “intergral”. Bước này được Newton và Leibniz thực hiện sau khi ông qua đời.

Tìm cực đoan. Xác định tiếp tuyến

Ông thừa nhận rằng năm 1629 Ferma đã khám phá ra các phương pháp tìm cực trị và tiếp tuyến, mà theo quan điểm hiện đại là tìm ra một phương pháp tùy ý. Vào cuối năm 1636, bản trình bày hoàn chỉnh về phương pháp này đã được chuyển giao cho Mersenne và họ có thể học hỏi từ ông.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

7

Mọi người đều được chào đón tham gia. Ông cũng báo cáo phương pháp của mình trong một bức thư gửi Descartes (1638). Để tìm cực trị của đa thức $F(x)$, Fermat đề xuất các quy tắc sau: 1) thay thế $F(x)$ thay vì $x$ biểu thức $x + h$; 2) bằng $F(x)$ và $F(x + h)$: $F(x) = F(x + h)$; 3) sau khi đưa ra các điều khoản tương tự, chúng tôi giảm $h$; 4) chúng tôi giả sử $h = 0$. Kết quả là chúng ta thu được đẳng thức $A(x) = 0$. Fermat phát biểu rằng tất cả các giá trị của $x$ mà đa thức $F(x)$ có cực trị nhất thiết phải là nghiệm của phương trình $A(x) = 0$. Bản thân hàm $A(x)$, theo quy tắc Fermat, hóa ra là đại số thuần túy (nghĩa là không vượt qua giới hạn), hiện được gọi là tùy ý từ $F(x)$.

Fermat biện minh cho sự cai trị của mình như thế nào? Ông đưa ra nhiều lý do khác nhau. Hãy để chúng tôi trình bày một trong số chúng ở dạng hiện đại hóa một chút. Để đa thức $F(x)$ đạt cực đại tại điểm $x_0$. Điều này có nghĩa là đối với $h > 0$ nhỏ, chúng ta có $F(x_0 + h) < F(x_0)$ và $F(x_0 - h) < F(x_0)$. Sắp xếp các số hạng của đa thức $F(x_0 \pm h)$ theo bậc $h$, ta thu được hệ:

$$\begin{cases} F(x_0) + h \cdot A(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0. \end{cases}$$

Ở đâu

$$A(x_0) + h \cdot B(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0.$$

Nhưng đối với $h$ nhỏ, dấu của tổng sẽ chỉ phụ thuộc vào $A(x_0)$. Sau đó, từ bất đẳng thức đầu tiên, nó dẫn đến $A(x_0) \leq 0$, và từ bất đẳng thức thứ hai: $A(x_0) \geq 0$. Vì vậy, điều cần thiết là $A(x_0) = 0$.

Fermat cũng đưa ra một phương pháp chung để xác định xem điểm $x_0$ mà tại đó $A(x) = 0$ sẽ là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm chuyển tiếp

chức năng uốn cong $y = F(x)$. Theo quan điểm hiện đại, phương pháp này dựa trên việc xem xét tùy ý thứ hai.

Lưu ý rằng tất cả các phương pháp của Fermat đều khá nghiêm ngặt. Sau ông, các nhà toán học đã từ bỏ yêu cầu về tính chính xác và chuyển sang các phép toán không phê phán với các đại lượng vô cùng nhỏ mà họ không biết cách xác định. Các phương pháp chặt chẽ trong phân tích toán học chỉ mới xuất hiện vào đầu thế kỷ trước trong các tác phẩm của Gauss và Cauchy.

Fermat là người đầu tiên nhận ra sự khác biệt giữa bài toán tìm cực trị và bài toán xác định tiếp tuyến. Ông đã đưa ra một phương pháp để tìm cái sau, dựa trên nguyên tắc tương tự như phương pháp cực trị của ông. Bây giờ cả hai phương pháp đều dựa trên việc tìm một phương pháp tùy ý.

Những tiến bộ hơn nữa trong các phương pháp xác định “diện tích”, mặt khác, “tiếp tuyến và cực trị”, bao gồm việc thiết lập mối liên hệ lẫn nhau của chúng. Có gợi ý trên thực tế là Fermat đã biết rằng “bài toán trên diện tích” và “bài toán trên các tiếp tuyến” nghịch đảo lẫn nhau. Nhưng ông chưa bao giờ phát triển khám phá của mình một cách chi tiết. Do đó, một phần của nó, theo quy luật, thuộc về I. Barrow, I. Newton và G. W. Leibnitz, những người đã biến khám phá này thành hiện thực để tạo ra phép tính vi phân và tích phân.

Lý thuyết số

Nếu trong các tác phẩm chúng tôi mô tả Fermat đã khám phá những câu hỏi vốn là tâm điểm chú ý của các nhà toán học khác cùng thời với ông (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Blaise Pascal, Wallis), thì trong lý thuyết số, ông là người tiên phong. Không ai trong số những người cùng thời với ông và không ai trong số các nhà toán học sống sau ông cho đến tận Euler hiểu được ý nghĩa của những khoảng trống mà ông nêu ra hoặc mối liên hệ nội tại của chúng.

Hai tác phẩm lớn dành cho các câu hỏi về lý thuyết số vẫn còn từ thời cổ đại: “Nguyên lý” của Euclid

8

(thế kỷ III trước Công nguyên) và “Số học” của Diophantus (có vẻ như là vào giữa thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên). Phần đầu tiên trình bày các phần tử số học của số nguyên, chứng minh tính duy nhất của việc phân tích thành thừa số nguyên tố và tính vô hạn của tập hợp số nguyên tố.

“Số học” của Disfant dường như vẫn là một trong những hiện tượng bí ẩn nhất trong lịch sử khoa học. Về phong cách, nó khác hẳn với các tác phẩm cổ điển của Euclid, Archimedes và Apollo. Nó đưa ra các ký hiệu cho ẩn số và sáu lũy thừa dương và âm đầu tiên của nó; Ngoài ra, các số âm và dấu âm cho chúng, tương ứng với dấu trừ của chúng tôi, đã được giới thiệu ở đó. Với lời giải bài toán “số” được hiểu không phải là số tự nhiên như trước đây mà là bất kỳ số hữu tỉ nào. Trong số 13 cuốn sách tạo nên Số học, có 6 cuốn đã đến tay chúng tôi *). Tất cả chúng đều được kết nối bởi lời giải phương trình vô định với số hữu tỉ dương. Những cuốn sách này không chứa các định lý số theo đúng nghĩa của từ này, nhưng đối với các hạn chế lời giải bài toán đôi khi được áp dụng đối với một số số nguyên nhất định có trong điều kiện bài toán. Về cơ bản, mỗi “ràng buộc” như vậy được biểu diễn bằng một định lý của lý thuyết số.

Trong một thời gian dài, cuốn sách thay thế của Diophantus không được biết đến ở châu Âu. Nhưng vào thế kỷ 16. bản thảo của nó được tìm thấy trong thư viện Batikana và vào cuối thế kỷ đó, bản dịch tiếng Latinh của nó đã được xuất bản (có nhiều “chỗ tối”, vì người dịch không rành về toán học). Năm 1621, một bản dịch mới của Basshe de Meziric được xuất bản, song song với văn bản tiếng Hy Lạp và những bình luận của Basshe. Cuốn sách này đã trở thành hiện thực đối với Fermat. Anh ấy đã đọc nhiều định lý của mình từ đó, những định lý khác được gợi ý cho anh ấy bằng những suy nghĩ về một số bài toán, và anh ấy đã viết ra những suy nghĩ và khám phá của mình bên lề cuốn sách này. Kết quả là tất cả những bình luận này đã được xuất bản *). Chúng tạo thành một phần quan trọng trong di sản của ông về lý thuyết số. Các kết quả khác của ông trong lĩnh vực này đều được viết bằng chữ cái. Nói chung, ông đặt chúng như những vấn đề đối với các nhà toán học khác.

Chính Fermat đã viết: “Số học có lĩnh vực riêng của nó, lý thuyết về số nguyên, lý thuyết này chỉ được Euclid đề cập đến một chút và chưa được những người kế nhiệm ông phát triển đầy đủ (trừ khi nó được chứa đựng trong những cuốn sách của Diophantus mà sự tàn phá của thời gian đã để lại); do đó, các nhà số học phải phát triển hoặc đổi mới nó”.

Mặc dù thiếu bằng chứng (trong đó chỉ có một bằng chứng còn tồn tại), thật khó để đánh giá quá cao tầm quan trọng của công trình của Fermat đối với lý thuyết số. Một mình ông đã tìm cách tách biệt khỏi sự hỗn loạn của bài toán và những câu hỏi cụ thể ngay lập tức nảy sinh trước mắt nhà nghiên cứu khi nghiên cứu các tính chất của số nguyên, những vấn đề đã trở thành trọng tâm của toàn bộ lý thuyết số cổ điển. Ông cũng chịu trách nhiệm khám phá ra một phương pháp tổng quát hiệu quả để chứng minh các mệnh đề lý thuyết số - cái gọi là phương pháp giảm dần không xác định hoặc vô hạn (xem bên dưới). Vì vậy, Fermat có thể được coi là người sáng lập lý thuyết số một cách chính đáng.

Biểu diễn số dưới dạng hình vuông

Fermat đặt ra câu hỏi xác định loại số nguyên được biểu diễn dưới dạng tổng của hai

*) Gần đây, người ta tìm thấy thêm 4 cuốn sách bằng tiếng Ả Rập được cho là của Diophantus.

9

Một trong những bài toán của Diophantus đã dẫn ông tới câu hỏi này. Trong đó đặt ra điều kiện là số $a$ phải thỏa mãn thì mới được biểu diễn bằng công thức (1); những người đồng tác giả, không hiểu ý nghĩa của những điều kiện này, đã sao chép chúng một cách không chính xác. Đến thời Fermat, văn bản đã bị hư hỏng một cách vô vọng và để khôi phục lại nó, ông phải giải quyết bài toán điều răn.

Người đọc có thể dễ dàng chứng minh rằng các số có dạng $4n + 3$ không thể biểu diễn bằng công thức (1). Mặt khác, các số có dạng $4n + 1$ có thể được biểu thị (ví dụ: $5 = 1^2 + 2^2$) hoặc không thể biểu thị (ví dụ: 21). Fermat đồng ý rằng trước tiên chúng ta cần điều tra xem số nguyên tố nào được biểu thị bằng công thức (1). Ông phát hiện ra rằng tất cả các số nguyên tố có dạng $4n + 1$ đều được biểu diễn bằng công thức (1), và hơn nữa, theo một cách duy nhất. (Tuyên bố này sau này được gọi là phần bổ sung đầu tiên cho định luật tương hỗ.) Chứng minh của chính Fermat vẫn chưa đến được với chúng ta. Không ai trong số những người cùng thời với ông có thể xác minh điều đó. Chứng minh đầu tiên chỉ được đưa ra bởi Leonhard Euler.

Sau khi thiết lập định luật biểu diễn các số nguyên tố, Fermat dễ dàng chứng minh rằng số $a$ có thể biểu diễn được bằng công thức (1) khi và chỉ nếu việc phân tích nó thành thừa số nguyên tố không bao gồm bất kỳ số nguyên tố nào có dạng $4n + 3$ ở mức độ lẻ. Chủ đề hướng dẫn cho anh ta là phát biểu cuối cùng của Diophantus rằng tích của hai số được biểu diễn bằng công thức (1) cũng có thể được biểu diễn theo hai cách khác nhau, theo công thức (1):

$$\begin{align*} (x^2 + y^2)(u^2 + v^2) &= (xu + yv)^2 + (xv - yu)^2 \\ &= (xu - yv)^2 + (xv + yu)^2. \end{align*}$$

Từ công thức (1), Fermat chuyển sang xét dạng $x^2 + 2y^2$, $x^2 - 2y^2$, $x^2 + 3y^2$. Ông đã tìm ra loại số nguyên tố có thể được biểu diễn bằng mỗi công thức này. Đối với công thức $x^2 + 2y^2$, đây sẽ là các số nguyên tố có dạng $8n + 1$ và $8n + 3$. Các số nguyên tố có dạng $8n + 5$ và $8n + 7$ không thể được biểu diễn bằng các công thức như vậy. Đề xuất này được gọi là “bổ sung nhiều cho luật có đi có lại.” Nó đã được chứng minh bởi J. L. Lagrange (1736-1813).

Những công trình này của Fermat đã đặt nền móng cho những nghiên cứu thành công của Euler, Lagrange và Legendre. Toàn bộ quá trình phát triển trước đó của vấn đề này đã được tóm tắt bởi Gauss, người vào đầu thế kỷ trước đã tạo ra một lý thuyết hài hòa về dạng bậc hai, tức là dạng có dạng $ax^2 + 2bxy + cy^2$, trong đó $a, b, c$ là số nguyên. Hóa ra câu hỏi về số nguyên tố nào có thể biểu diễn bằng dạng bậc hai có cùng phân biệt $D = ac - b^2$ được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng luật tương hỗ bậc hai. Định luật tương hỗ được Euler phát hiện ra, sau đó được Gauss khám phá lại và chứng minh *).

Phương trình Pell $x^2 - Ay^2 = 1$
Phương trình này (trong đó $A$ là số tự nhiên không phải là số chính phương) đã được giải bằng số nguyên vào thời cổ đại. Trong thời hiện đại, chúng bị cấm vào Trang trại **).

Anh ấy đã giải quyết rõ ràng hai câu hỏi liên quan đến nó: tìm lời giải $(x_0, y_0)$ nhỏ nhất, tức là lời giải với $x_0 > 0$ nhỏ nhất và tìm tất cả lời giải bắt đầu từ nhỏ nhất.

Vào tháng 2 năm 1657, trong một bức thư gửi các nhà toán học người Anh, được gọi là “thử thách thứ hai” (“thử thách đầu tiên”), ông được cử sang Anh

*) «Kvant», 1973, số 1 và 1974, số 5, tr. 30.
**) Cái tên “Phương trình Pell” thuộc về Euler. Lịch sử sẽ là một cái tên hợp lý cho phương trình Fermat.

10

vào tháng 1 cùng năm), Fermat đề xuất chứng minh rằng phương trình Pell có vô số lời giải. Ông cũng đề xuất giải nó cho $A$ bằng 109, 149 và 433. lời giải nhỏ nhất của phương trình Pell cho các giá trị $A$ như vậy là quá lớn để có thể tìm thấy bằng cách chọn lọc.

Những thách thức toán học vào thời điểm đó đóng vai trò rất quan trọng trong việc duy trì một phần của Đức Quốc xã. Vì vậy, ở cuối “thử thách đầu tiên” Fermat đã viết:

“Tôi đang chờ lời giải những câu hỏi này; nếu nó không được đưa ra bởi Anglia, Bỉ hoặc Celtic Galley, thì nó sẽ được thực hiện bởi Narbonentic Galley…”

Nhà toán học người Anh Lord Brounker là người đầu tiên đưa ra ý tưởng rằng để tìm lời giải nhỏ nhất của phương trình Pell, cần phải khai triển $\sqrt{A}$ thành một phân số liên tục của nó *). Phương trình này sau đó được sử dụng bởi L. Euler, người nhận ra rằng lời giải của Broncker dựa trên tính tuần hoàn của phân số liên tục đối với $\sqrt{A}$. Bằng chứng đầy đủ về thực tế này và phân tích cuối cùng về phương trình Pell thuộc về J. L. Lagrange.

Định lý nhỏ Fermat

Trong một lá thư gửi Frenicle de Bessy ngày 18 tháng 10 năm 1640, Fermat đã phát biểu như sau: nếu số $a$ không chia hết cho số nguyên tố $p$ thì tồn tại số mũ $\lambda$ sao cho $a^{\lambda} - 1$ chia hết cho $p$, với $\lambda$ là ước số của số đó $p - 1$. Đặc biệt, $a^{p-1} - 1$ luôn chia hết cho $p$. Tuyên bố này được gọi là định lý nhỏ của Fermat. Nó là nền tảng trong mọi lý thuyết số cơ bản.

Euler đã đưa ra định lý này bằng nhiều cách chứng minh khác nhau. Hơn nữa, Euler đã khái quát hóa định lý nhỏ cho trường hợp số $p$ là

*) «Kvant», 1970, số 1 và số 8.

*) «Kvant», 1972, № 10.

11

bre. Điểm khác biệt duy nhất là vấn đề cuối cùng này đã được E. Galois giải quyết và Định lý lớn vẫn thúc đẩy các nhà toán học nghiên cứu mới.

Mặt khác, sự đơn giản trong cách phát biểu của định lý này và những từ ngữ bí ẩn về “bằng chứng kỳ diệu” của nó đã dẫn đến sự phổ biến rộng rãi của định lý này đối với những người không phải là nhà toán học và dẫn đến sự hình thành toàn bộ một tập đoàn “Fermatist”, mà theo G. Davenport, “sự lố bịch của họ vượt xa đáng kể khả năng toán học của họ”. Định lý lớn của Pozny đứng đầu về số lượng chứng minh sai được đưa ra.

Chính Fermat đã để lại một chứng minh Định lý cuối cùng cho bốn lũy thừa.

Trong chứng minh của mình, Fermat đã sử dụng “phương pháp giảm vô hạn hoặc vô hạn”. Ông mô tả phương pháp này trong một bức thư gửi Karkavi (tháng 8 năm 1659) như sau:

“Nếu có một tam giác vuông nào đó vì mục đích số học, có diện tích bằng hình vuông, thì sẽ có một tam giác khác, nhỏ hơn tam giác này, có cùng tính chất. Nếu có tam giác thứ hai, nhỏ hơn tam giác thứ nhất, có cùng tính chất, thì, nhờ lý luận tương tự, sẽ tồn tại tam giác thứ ba, nhỏ hơn tam giác thứ hai, có cùng tính chất, và cuối cùng, thứ tư, thứ năm, giảm dần đến vô cùng. Nhưng, nếu một số được cho trước, thì không có vô hạn trong sự giảm dần của các số nhỏ hơn (tôi luôn muốn nói đến các số nguyên *). Do đó, không có tam giác vuông nào có diện tích hình vuông.”

Chính bằng phương pháp này mà nhiều mệnh đề của lý thuyết số đã được chứng minh.

Đặc biệt, với sự giúp đỡ của nó, Leonard Euler đã đưa ra một chứng minh mới

*) Khi nói “số nguyên”, Fermat muốn nói đến “số nguyên dương”.

Định lý vĩ đại cho $n=4$ và 20 năm sau cho $n=3$. Thực tế là ông chỉ xem xét bằng chứng cuối cùng với sự trợ giúp của những ý tưởng hoàn toàn mới, cụ thể là khái quát hóa khái niệm số nguyên. Chúng ta đã quen với việc chỉ liên kết khái niệm này với các số tự nhiên, nhưng hóa ra có những thấu kính toán học khác hoạt động giống như số nguyên. Trong số những đối tượng này, người ta có thể phân biệt “số nguyên tố” và phát triển các đối số tương tự như đối số thông thường. Những con số như vậy ngày nay được gọi là “số nguyên đại số”. Vào thế kỷ trước, E. Kummer, khi nghiên cứu Định lý lớn, đã xây dựng các lập luận cho các số nguyên đại số thuộc một loại nhất định. Điều này cho phép ông chứng minh Định lý lớn cho một lớp số mũ nguyên tố nhất định $n$. Hiện tại, tính hợp lệ của Định lý lớn đã được xác minh cho tất cả các số mũ $n \leq 5500$.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng Định lý lớn không chỉ được kết nối với lý thuyết đại số mà còn với hình học đại số, hiện đang được phát triển theo cách tích hợp *).

Trong bức thư gửi Carcavi, người sau cái chết của Mersenne đã thay thế ông trong nhóm các nhà toán học Paryazh, Fermat viết:

“Có lẽ hậu thế sẽ công nhận tôi vì đã cho ông ấy thấy rằng Người xưa không biết tất cả mọi thứ, và điều này có thể khiến những người theo sau tôi nhận thức được truyền thống lampadis ad filios**), như Thủ tướng vĩ đại của nước Anh *** đã nói), theo cảm nhận và phương châm mà tôi sẽ thêm vào: Multi pertransibunt et augebitur scientia ****.”

Bức thư này được gọi là “Di chúc của Fermat”.

*) «Kvant», 1972, № 8.
**) Truyền đuốc cho con cháu.
***) Đó là Francis Bacon.
****) Nhiều người sẽ đến và đi, nhưng khoa học sẽ ngày càng phong phú hơn.