Пьер Ферма

Квант 1976, №8 с. 3, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Тег IGLV

DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX,
ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS
LIBER VNVS.

VM COMMENTARIIS C. G. BACHETI V. C.
Observationibus D. P. de FERMAT Senatoris Tolofani.

Accessit Doctrinæ Analyticae inuentum nouum, collectum ex varijs eiusdcm D. de FERMAT Epistolis.

TOLOSE,
Excudebat BERNARDVS BOSC, e Regione Collegij Societatis Iefu.

M DC LXX.

Титульный лист латинского издания Диофанта с коммента-
риями Баше де Мезирка и замечаниями Ферма. О Ферма
мы рассказываем в статье на с. 3

В этом номере мы отмеаем юбилей крупнейшего математика XVII века Пьера Ферма. Ферма внес вклад почти во все разделы математики XVII века. Его труды непредседатель предшествовали появлению исчисления бесконечного малых и теории вероятности. Ферма заслуженно может быть отнесен и к числу создателей анализческого геометрии. Но особенно важное значение имеет его работы в теории чисел.

Пьеру Ферма посвязываны три статьи этого номера. О жизни, научных интересах и открытия Ферма рассказано в статьи И. Башмаковой. В статьи Б. Мартынова формулируется и доказывает для многочленов анализогелей Ферма. Наконец, в статьи Л. Туриянского рассказывает о единственной работе Ферма, посвязываенной физической проблеме — закону преломления света. И к этой проблеме Ферма подошел с чисто математической точки зрения: в ней он применил свой метод решения экстремальных задач. По существу это было первым применением в физике той области математики, которая теперь называетсяварнационным исчислением.

В 1631 г. Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны — Лунзе де Лонг. У Пьера и Лунзы было пять детей, из которых старший — Самюэль — стал позтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранем сочинений Пьера Ферма, выSEDШим в 1679 г. Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Вот перечень тех сухих фактов, которые мы знаем жизни этого замечательного математика.

К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце. Правда, жизнь ученого, как правило, былает бедна внешними событиями. Основное ее содержание раскрывается только в творчестве, которое и составляет огромный духовный подвиг ученого.

Ни одна из работы Ферма не была опубликована при его жизни. Собранное сочинений, которое он неоднократно пытался подготовить, так и не было им написано. Однако несколько трактатом он приделил в полне законченный вид, и они стали известны в рукописи большиству современных ему ученых (это были трактаты по аналитической геометрии, о максимумах и минимумах и о квадратуре парабол и гипербол). Кроме этих трактатов осталась еще его общирная и чрезвычайно интересная переписка.

В XVII века, когда еще не было специальных научных журналов («Журнал Учены» был одним из первых, он начал выходить в 1665 году), переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались остые научные вопросы.

Корреспондентами Ферма были крупнейшие математики его времени: P. Декарт, Этбен и Блез Паскаль, B. Френикль де Бесси, X. Гюйгенс, Э. Торричелли, Дж. Валлис. Письма посылались либо непосредственно адресату, либо в Париж аббату Мерсенну, который размножал их и посылал математикам, занимающимся аналитическим вопросами. Но письма ведь почти никогда не было только коротками математических темарами. Общино в них просkalзывают живые чувства авторов, которые помогают воссоздать их образы.

Когда Ферма в 1636 году послал Мерсенну свой «Метод отыскания максимумов и минимумов», Декарт, не поняв метода Ферма, подверг его резкой критике. В июне 1638 года Ферма послал Мерсенну для пересылки Декарту новое, более подробное изложение своего метода. Письмо его содержанию, но не без внутренней ironии: «…Таким образом, обнаруживается, что либо я плюю объясился, либо г. Декарт плюю понял мое латинское сочинение… Я все же пошло ему то, что уже написал, и он несомненно найдет там вещи, которые помогут ему открыться от его мнения, будто я нашел этот метод случайно и его подлинные основания мне неизвестны…». Ферма ни разу не изменяет своего ему способной тону. Он чувствует свое глубокое как математика, поэтому не входит в мелочную полемнику, а терпельно старается растолковать свой метод, как это сделал бы учитель ученику.

Широкой публике (далее дальней от математики) Ферма известен прежде всего благодаря Великой теореме, носящей его имя. Однако Ферма занимается не только наиболее любимой им теореей чисел, к которой относятся эта теорема, но и математических проблемами, стоящими в центре внимания ученых XVII века, а именно задачи определения максимумов и минимумов, находжения касательных, вычисления площадей и длин дуг кривых, короче — теми вопросами, которые мы сейчас относят к математическим анализу. И здесь Ферма принадлежат самые крупные результаты, предшествующие созданию исчисления Ньютоном и Лейбницем. Кроме того, Ферма первая в новое время пришел к

идее координат и создал аналитическое геометрию. Он занимался также задачами теории вероятности. Ферма не ограничивается одной только математикой: он занимается и физкой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в неоднородной среде *).

Аналитическая геометрия

Одним из первых математических произведений Ферма было восстановление двух утвернных книг Аполлония «О плоских местах». Методы, которые пользовался Аполлоний, мы бы сейчас отнесли к аналитической и проектной геометрии. Однако во время Аполлония не было еще буквенной символики, поэтому ему приходилось записьать алгебраические формулы и уравнения кривых геометрических. Например, наша формула $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ записьалась (и доказывалась!) древними с помощью чертежа (рис. 1).

Основное отличие современных методов решения геометрических задач от методов Аполлония — в применении буквенной алгебры. Первым, кто понял, как следует применить новую алгебру к задачам геометрии, был Ферма.

В 1636 г. появилось в рукописе его сочинение «Введение в изучение плоских и пространственных мест» **), в котором последовательно строится аналитическая геометрия на плоскости. Еще при восстановлении книг Аполлония Ферма оценил применущества метода координат и понял, что уравнение с одним неизвестным полне определяет некоторое число, уравнение с двумя неизвестными — множество точек на плоскости (кривую), уравнение с третья неизвестными —

*) «Квант», 1975, № 12, c. 30 и в этом номере — c. 17.
**) Под «плоскими местами» Ферма, следуя древним, понIAL прямы и окружности, под «пространственных местами» — кончечное сечение.

Рис. 1.

множество точек в пространстве (поверхность). Свое «Введение» Ферма начинает с выбора в качестве осей координат двух прямы, которые пересекают друг друга под некоторым определенным углом (не обязательно прямым).

По существу, он показывает, что любое уравнение первой степей между координатами. Представляет пряму линию, а уравнение второй степей — некоторое кончечное сечение, причем отмечает условие, при котором соответствующее геометрическое место будет окружность. Для приведения уравнения второй степей к одному из канонических видов, известных древним, Ферма применяет преобразование координат. Все изложение Ферма строго последовательно.

Годом позже вышло в свет сочинение P. Декарта «Рассужждение о методе», четвёртая часть которого «Геометрия» была также посвящена аналитической геометрии. Это произведение затмило «Введение» Ферма, хотя с чисто математической точки зрения оно было написано менее систематично. Дело в том, что Декарт создал новое, более удобное исчисление, который мы пользовемся с незначительным изменением и сейчас, тогда как Ферма применял быстрое уставшую символьку Виета. Кроме того, Декарт представил новую алгебру вместе с координатным методом как «универсально математику», общий метод

для решения всех задач. Такая «реклама» не в менышей мере, чем новая алгебра, способствовала популяриости его произведение.

Квадратуры парабол и гипербол. Вычисление длин кривых

Do Ferma systematicne методы квадратур, т. е. вычисления площадей, разрабатываются английский ученый Б. Кавальери (1598—1647). Он написал довольно только книгу «Геометрия недelmных» (1635), в котором вычислялась площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ , осью абсцисс и прямой $x = 1$ . В последствии (1647) он вычислил аналогичные площади для парабол $y = x^3, y = x^4, \dots, y = x^9$ .

No уже в 1642 г. Ferma открыл метод вычисления площадей фигур, ограниченных любыми «параболами» $y = ax^{p/q}$ ( $p/q > 0$ ) и любыми «гиперболами» $y = \frac{a}{x^{p/q}}$ . Изложение Ferma занимало всего 10 страниц. Для «гиперболы», у которой $\frac{p}{q} > 1$ , он впервые вычислил площадь неограниченной фигуры, расположенной между осью абсцисс, прямой $x = x_0$ и кривой (рис. 2). Таким образом, было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ferma, один из первых, занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычисленем длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению неокторных площадей. Так, он показал, что вычисление длины других параболы $y^2 = 2px$ от точки (0, 0) до неокторной точки $(x_1, y_1)$ (рис. 3) свидетелья о нахождения параболей $x^2 - y^2 = p^2$ , осью ordинат, осью абсцисс и прямой $y = y_1$ (рис. 4).

Ferma оставался только шаг, чтобы перейти от «площади» к абстрактному понятию «интерграла». Этот шаг сделан Ньюотоном и Лейбницем уже после его смерти.

Находение экстремумов. Определение касательных

He posited 1629 г. Ferma открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые с современной точки зрения сводятся к отысканию произвольной. В конце 1636 г. законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли позна-

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

компЬся все желающие. Он сообщил о своем методе и в письме к Декарту (1638 г.). Для нахождения экстремума многочлена $F(x)$ Ферма предлагает следующие правила: 1) подставляем в $F(x)$ вместо $x$ выражение $x + h$ ; 2) приравниваем $F(x)$ и $F(x + h)$ : $F(x) = F(x + h)$ ; 3) после приведения подобных членов сокращаем на $h$ ; 4) полагаем $h = 0$ . В результате получаем равенство $A(x) = 0$ . Ферма утверждает, что все значения $x$ , при которых многочлен $F(x)$ имеет экстремум, необходимо является корнями уравнения $A(x) = 0$ . Сама функция $A(x)$ , которая по правилау Ферма получается чисто алгебраической (т. е. без предельного перехода), теперь называется произвольной от $F(x)$ .

Как Ферма обосновывает свое правило? Он предложил несколько различных обоснований. Приведем одно из них в несколько модернизированном виде. Пусть многочлен $F(x)$ достигает максимума в точке $x_0$ . Это значит, что при небольших $h > 0$ имеем $F(x_0 + h) < F(x_0)$ и $F(x_0 - h) < F(x_0)$ . Располагая члены многочленов $F(x_0 \pm h)$ , по степени $h$ , получим систему:

$\begin{cases} F(x_0) + h \cdot A(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0. \end{cases}$

откуда

$A(x_0) + h \cdot B(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0.$

Но при малых $h$ знак суммы будет зависеть только от $A(x_0)$ . Тогда из первого неравенства следует, что $A(x_0) \leq 0$ , а из второго: $A(x_0) \geq 0$ . Итак, необходимо, чтобы $A(x_0) = 0$ .

Ферма дал также общий метод для определения того, будет ли точка $x_0$ , в котором $A(x) = 0$ , точкой максимума, минимума или точкой перее

гиба функции $y = F(x)$ . С современной точки зрения метод был основан на рассмотрении второй произвольной.

Заметим, что все методы Ферма были вполне строгими. После него математики отбросили требование строости и перешли к некритическому операрованию с бесконечно малыми величиными, определять которые они не умели. Строгие методы в математическом анализе появились новые только в начале прошло века в работах Гаусса и Коши.

Ферма первым увидел своей между задачими на отискание экстреммов и задачими на определение касательных. Он дал метод нахождения последних, основанный на том же принципе, что и его метод экстреммов. Теперь в основе обихх методов лежит нахождение произвольной.

Дальнейшие успехи методов определения «площадей», с одной стороны, и «касательных и экстремумов», с другой, состояли в установлении их взаимной связи. Есть указания на то, что Ферма уже знал, что «задачи на площади» и «задачи на касательные» являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие подробно. Поэтому часть его по правилами принадлежит И. Барроу, И. Ньюотону и Г. В. Лейбниццу, которые это открытие и позволяет создать дифференциальное и интегральное исчисление.

Teория чисел

Если в описанных нами работах Ферма исследовал вопросы, которые были в центре внимания и других математиков его времени (Кеплера, Кавальери, Торричели, Блеза Паскала, Валлиса), то в теории чисел он был первооткрытелем. Никто из его современников и никто из математиков, живших после него вплоть до Эйлера, не понял ни значения подятых им пробел, ни внутренней их связи.

От античности остались две большие работы, посвященные вопросам теории чисел: «Начала» Евклида

(III в. до н. э.) и «Арифметика» Диофанта (по-видимому, середина III в. н. э.). В первой из них были изложены элементы арифметики целых чисел, доказаны однозначность разложения на простые множители и бесконечность множества простых чисел.

«Арифметика» Дисфанта до сих пор представляется одним из загадочнойших явлений в истории науки. По своему стилю она резко отличается от классических произведений Евклида, Архимеда и Аполлоня. В ней вводились обозначения для неизвестного и первых его шести положительных и отрицательных степеней; кроме того, там были введены отрицательные числа и отрицательный знак для них, соответствующий нашему минусу. При решении задач под «числом» понималось не натуральное число, как это было до него, а любое рациональное. Из 13 книг, составляющих «Арифметику», до нас дошло 6 *). Все они посвязываны решения неопределенных уравнений в положительных рациональных числах. В этих книгах нет теореми чисел в собственном смысле слова, однако при решении задач иногда накладывались ограничения на те или иные целые числа, входящие в условие задачи. По существу, каждое такое «огранчение» представлено теорему теории чисел.

Долго время замещательная книга Диофанта не была известна в Европе. Но в XVI в. рукопись ее нашли в библиотеке Batikana и в конце того же века был издан ее латинский перевод (со множеством «темных мест», так как переводчик не был знаком с математкой). В 1621 году вышел новый перевод Башше де Мезирика, в котором приводился параллель греческий текст и комментарии Башше. Эта книга и сделалась настоящей для Ферма. Многие свои теоремы он вычитывал из нее, на другие его наводили размышления по поводу некоторых задач, и он записвал свои мысли и открытия на полях этой книги. Воспследствие все эти замечания были изданы *). Они составляют значительное часть его наследия по теории чисел. Другие его результаты в этой области сформированы в письмах. Общно он ставил их в виде проблем перед другими математиками.

Сам Ферма писал: «Арифметика имеет свою собственную область, теория целых чисел, эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последовательными (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которые наслило разрушительное действие времени); арифметики, следовательно, должны ее развить или возобновить».

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Ферма для теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возниккающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, те проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений — так называемого метода неопределенного, или бесконечного, спуска (см. ниже). Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

Представление чисел квадратных формуми

Ферма поставил вопрос об определении вида целых чисел, которые представляют в виде суммы двух

*) Недавно были найдены еще 4 книги на арабском языке, которые приписываются Диофанту.

К этому вопросу его привела одна из задач Диофанта. В ней были сформированы условия, которые должны удовлетворять число $a$ , чтобы оно представлялось формулой (1), однокоперписчики, не понимая смысля этих условий, неправильно их воспроизведили. Ko времени Ферма текст был безнадежно испорчен, и, чтобы его восстановить, ему пришлось решать задачу заповью.

Читатель легко докажет, что числа вида $4n + 3$ не представимы формулой (1). С другой стороны, числа вида $4n + 1$ могут быть как представимыми (например, $5 = 1^2 + 2^2$ ), так и не представимыми (например, 21). Ферма договорая, что сначала надо исследовать, какие простые числа представляются формулой (1). Он обнаружил, что все простые числа вида $4n + 1$ представляются формулой (1), и притом единственным образом. (Это утверждение впоследствии было назван первым дополением к закону взаимности.) Доказательство самого Ферма до нас не дошло. Никто из его современников также не сумел его проверить. Первое доказательство было дано только Леонардом Эйлером.

Установив закон представимости простых чисел, Ферма уже легко доказал, что число $a$ тогда и только тогда представимо формулой (1), когда в его разложение на простые множители никакое простое число вида $4n + 3$ не входит в нечетной степени. Путеводной нитью для него последнюю Диофанта о том, что произведение двух чисел, представимых формулой (1), также представимо, и притом двумя различными способами, формулой (1):

$\begin{align*} (x^2 + y^2)(u^2 + v^2) &= (xu + yv)^2 + (xv - yu)^2 \\ &= (xu - yv)^2 + (xv + yu)^2. \end{align*}$

От формулы (1) Ферма перешел к рассмотрению форму $x^2 + 2y^2$ , $x^2 - 2y^2$ , $x^2 + 3y^2$ . Он нашел вид простых чисел, представимых каждой из этих формул. Для формулы $x^2 + 2y^2$ это будет простые числа вида $8n + 1$ и $8n + 3$ . Простые числа вида $8n + 5$ и $8n + 7$ такой формул не представляются. Это предложение получило название «много дополнительная к закону взаимности». Оно было доказано Ж. Л. Лагранжем (1736—1813).

Эти работы Ферма положили наcology плодотворным исследованием Эйлера, Лагранжа и Лежандра. Итог всему предшествующему развитию этого вопроса подвеел Гаусс, который в начале прошло века создал стройную теорию квадратных формум, т. е. форму вида $ax^2 + 2bxy + cy^2$ , где $a, b, c$ — целые. Оказаюсь, что вопрос о том, какие простые числа представимы квадратными формуми с одним и тем же дискрипантом $D = ac - b^2$ , полностью решается с помощью квадратного закона взаимности. Закон взаимности был открыт Эйлером, а затем вновь открыт и доказан Гауссом *).

Уравнение Пелля $x^2 - Ay^2 = 1$
Это уравнение (где $A$ — натуральное число, не являющееся точным квадратом) решили в целых числах еще в древности. В новое время им запрещалось Ферма **).

Он уже четко разливал два вопросы, связанные с ним: найти наименьшее решение $(x_0, y_0)$ , т. е. решение с наименьшим $x_0 > 0$ , и найти все решения, исходя из наименьшего.

В февраль 1657 г. в письме к английским математикам, которое получило название «второго вызова» («первая вызов») был отправлен в Англюю

*) «Квант», 1973, № 1 и 1974, № 5, с. 30.
**) Извание «уравнение Пелля» принадлежит Эйлеру. Исторические было бы справедливое название уравнения Ферма.

в явbare того же года), Ферма предложил доказать, что уравнение Пелля имеет бесконечно много решений. Он предложил также решить его при $A$ , равном 109, 149 и 433. Наименьшее решение уравнения Пелля при таких значениях $A$ стоял величко, что его нельзя найти подбором.

Matematические вызывы в то время игralли немало значения для поддержания части наци. Так, в конце «первого вызова» Ферма писал:

«Я жду решения этих вопросов; если оно не будет дано ни Англей, ни Бельгийской или Кельтской Галлей, то это будет сделано Нарбонской Галлей…».

Англійский математик лорд Броункер первым приSEL к мысли, что для нахождения наименьшего решения уравнения Пелля надо разложить $\sqrt{A}$ в непрерывную дроби к ней *). В последствии этим уравнением заняла Л. Эйлер, который понил, что решение Броункера основано на периодичности непрерывной дроби для $\sqrt{A}$ . Полное доказательство этого факта и окончательный анализ уравнения Пелля принадлежат Ж. Л. Лагранжу.

Малая теорема Ферма

В письме к Френиклю де Бесси от 18 октября 1640 г. Ферма высказал следующие утверждения: если число $a$ не делится на простое число $p$ , то существует такой показатель $\lambda$ , что $a^{\lambda} - 1$ делится на $p$ , причем $\lambda$ является делителем числа $p - 1$ . В частности, $a^{p-1} - 1$ всегда делится на $p$ . Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Она является основным во всей элементарной теории чисел.

Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств. Кроме того, Эйлер обобщил малую теорему на случай, когда число $p$ является

*) «Квант», 1970, № 1 и № 8.

*) «Квант», 1972, № 10.

бре. С той только разницей, что эта последняя проблема уже решена Э. Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к новым исследованием.

С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди нематематиков и к образованнию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Г. Дэвенпорта, «смешость значительно превосходит их математические способности». Позному Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четырех степеней.

В своем доказательстве Ферма применил «метод неопределенного или бесконечного спуска». Этот метод он описал в письме к Каркави (август 1659 г.) следующим образом:

«Если бы существовал неокоторый прямогольный треугольник в целях числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы теми же свойствами. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного расужения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но, если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые *) числа). Откуда следует, что не существует никакого прямогольного треугольника с квадратной площадью».

Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел.

В частности, с его помощью Леонард Эйлер дал новое доказательство

*) Говоря «целые», Ферма имел в виду «целые положительные» числа.

Великой теоремы для $n=4$ , а спуста 20 лет и для $n=3$ . Дело в том, что последнее доказательство он смотрови только с помощью совершенного новых идей, а именно, обобщения понятия целого числа. Мы привыкли связывать это понятие только с натуральными числами, однako оказалось, что есть и другие математические объективы, которые ведут себя как целые числа. Среди этих объектов можно выделить «простые числа» и развить аргументы, аналогичную обычной. Такие числа называются теперь «целыми алгебраическими». В прошлом веке Э. Куммер, занимаясь Великой теоремой, построил аргументы для целых алгебраических чисел определяного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для неокоторого класса простых показателей $n$ . В настоящее время справедливо Великой теоремы проверена для всех показателей $n \leq 5500$ .

Отметим также, что Великая теорема своего связывана не только с алгебраической теорейчелем, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интегрировна развивается *).

Вышедутом письме к Каркави, который после смерти Мерсенна занял его место в крупже паряжских математиков, Ферма писал:

«Быть может, потомство будет признанное мне за то, что я показал ему, что Древние не все знали, и это может произнуть в сознание тех, которые придут после меня для traditio lampadis ad filios**), как говорит Великий канцлер Англии ***), следуя чувством и девизу которого я добавлю: Multi pertransibunt et augebitur scientia ****».

Это письмо получило название «Завещание Ферма».

*) «Квант», 1972, № 8.
**) Передачи факела сыновям.
***) Т. е. Френсис Бэкон.
****) Многие будут приходить и уходить, а наука обогащаться.