Теорема Ферма для многочленов

12

Все вы, конечно, слышали о Великой теореме Ферма; она формулирована им для натуральных чисел. В этой статье доказывается теорема Ферма для многочленов. Эта статья трудная. Некоторые факты, используемые в ней, выходит за рамки школьной программы. Занитересовавшиеся читатели найдет все необходимое в книге P. Курата и Г. Роббинса «Что такое математика» или во втором томе «Энциклопедии элементарной математики».

Постановка задачи

Предположение, высказанное Ферма, заключается в том, что уравнение $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$ не имеет решения в натуральных числах. Доказательство этого предположения для общего случая не найдено и посядь.

Однако оказавется, что если заменить натуральные числа $x$, $y$ и $z$ многочленами от одной переменной $t$: $x(t), y(t), z(t)$ — и написать уравнение

$$[x(t)]^n + [y(t)]^n = [z(t)]^n,$$

(to аналогичную теорему уже удается доказать).

Уточним постановку задачи. Предже всего заметим, что многочлены $x(t), y(t)$ и $z(t)$ удовлетворяют уравнению (1) тогда и только тогда, когда ему удовлетворяют многочлены $p(t) \cdot x(t), p(t) \cdot y(t)$ и $p(t) \cdot z(t)$ (здесь $p(t)$ — произвольный многочлен, отличный от нуля). Поэтому достаточно доказать, что не существует тройки взаимно простых многочленов. Многочлены называются взаимно простыми, если они не имеют общего множителя, отличного от константы (константа — это многочлен нулевой степени). Кроме того, надо, конечно, исключать тривиальное решение: тройку многочленов нулевой степени, поскольку для любых $a$ и $b$ тройка

$$x(t) = a, y(t) = b, z(t) = \sqrt[n]{a^n + b^n},$$

очевидно, является решением уравнения Ферма.

Между прочитам, при $n = 1$ уравнение (1) имеет решение направления $x(t) = t, y(t) = t + 1, z(t) = 2t + 1$.

Имеет оно решение и при $n = 2$. Легко проверить, направления; что тройка

$$x(t) = t^2 - 1, y(t) = 2t, z(t) = t^2 + 1$$

является решением уравнения

$$[x(t)]^2 + [y(t)]^2 = [z(t)]^2.$$

Целью статьи является доказательство аналога Великой теоремы Ферма для многочленов:

При $n > 2$ не существует трех взаимно простых многочленов $x(t),$

14

Разобем наше доказательство на несколько этапов.

1. Из условия $1^\circ - 3^\circ$ следует, что каждые два из многочленов $x, y, z$ можно просыпать. В самом деле, если, скажем, $x$ и $y$ имеют общий делитель $d$, то $z^n$ делится на $d^n$, и тогда $z$ делится на $d$, то есть $d$ является общим многочленом многочленов $x, y$ и $z$. Это противоречит условию $1^\circ$.

2. Пусть $m$ — наиболее из степеней многочленов $x, y, z$ (по условию $3^m > 0$). Можно считать, что степень $m$ имеет многочлен $z$. Действительно, исходное уравнение можно при желании сделать симметричным относительно $x, y, z$: надо заменить $z$ на $\varepsilon z$, где $\varepsilon$ — комплексное число, $n$-я степень которого равна $-1: \varepsilon^n = -1$. Получим

$$x^n + y^n + z^n = 0.$$

3. Пусть $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$ — все различные корни $n$-й степени из числа $-1$. Мы получаем тем, что у всякого компликного числа, отличного от нуля, естьровно $n$ различных корней $n$-й степени (см. п. 1*). Тогда многочлен $x^n + y^n$ раскладывается на многочлены

$$x^n + y^n = (x - \varepsilon_1 y) (x - \varepsilon_2 y) \cdot \dots \cdot (x - \varepsilon_n y).$$

Для доказательства можно построить так: взять многочлен $u^n + 1$, корнями которого являются числа $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$, разложить его на многочлены: $u^n + 1 = (u - \varepsilon_1) \cdot (u - \varepsilon_2) \cdot \dots \cdot (u - \varepsilon_n)$ (п. 2*), а затем подставить вместе $u$ дробь $\frac{x}{y}$ и освободиться от знаменателя.

4. Многочлены $x - \varepsilon_i y$ попарно взаимно просыпать. Действительно, если бы отличный от константы многочлен $d$ был бы общим делителем многочленов $x - \varepsilon_i y$ и $x - \varepsilon_j y$ ($i \neq k$), то разность этих многочленов, равная $(\varepsilon_h - \varepsilon_i) y$, тоже делилась бы на $d$, а значит, и многочлен $y$ делился бы на $d$ (введ $\varepsilon_h - \varepsilon_i$ — константа, отличная от нуля). Тогда и многочлен $x = (x - \varepsilon_i y) + \varepsilon_j y$ делился бы на многочлен $d$, что противоречит взаимному простоте $x$ и $y$ (п. 1).

5. Если произведение попарно взаимно просыпать, то каждые два из многочленов есть общим делитель $d$, то $z^n$ делится на $d^n$, и тогда $z$ делится на $d$, то есть $d$ является общим многочленом многочленов $x, y$ и $z$. Это противоречит условию $1^\circ$.

Доказательство п. 5 мы приводим в дополнения к статубе.

6. Так как $x^n + y^n = (x - \varepsilon_i y) \times (x - \varepsilon_2 y) \dots (x - \varepsilon_n y) = z^n$, и многочлены $x - \varepsilon_i y$ попарно взаимно просыпать, каждый многочлен $x - \varepsilon_i y$ есть $n$-я степень многочлена. Пусть $x - \varepsilon_i y = u_i^n$, где $u_i$ — многочлен. Обозначим степень многочлена $u_i$ через $m_i$.

Выберем среди многочленов $u_i$ тот, который имеет наиболее многочлен $u_1$. Будем считать, что наиболее многочлен имеет многочлен $u_1$.

7. $m_1 < m$.

Действительно, очевидно, что $m_1 \leq m$ (напомним, что $m$ — степень $z$). Если бы выполнялось равенство $m_1 = m$, то все остальные многочлены $x - \varepsilon_i y$ при $i > 1$ были константими. Возьмем $x - \varepsilon_2 y$ и $x - \varepsilon_3 y$ (это можно — ведь $n \geq 3$). Если $x - \varepsilon_2 y = A$, $x - \varepsilon_3 y = B$, то

$$(B - A) x - (B \varepsilon_2 - A \varepsilon_3) y = 0,$$

т. е. $x = Cy$ (введ $A \neq B$ — доказательство), а это противоречит взаимному простоте $x$ и $y$.

Заметим также, что $m_1 > 0$, т. е. $u_1$ — не константа.

Мы хотим от многочленов $x, y, z$ перейти к темного многочленам без общего многочлена, удовлетворяющим Ферма и имеющим максимальную степень, меньшую чем $m$. Покажем, что в качестве таких многочленов могут быть взяты многочлены $u_1, u_2$ и $u_3$ (см. п. 6), умноженные на некоторые константы.

15

8. Имеем:

$$\begin{cases} x - \varepsilon_1 y = u_1^n, \\ x - \varepsilon_2 y = u_2^n, \\ x - \varepsilon_3 y = u_3^n. \end{cases}$$

Подберем три числа $c_1, c_2, c_3$ (не все равные нулю) так, чтобы при сложении этих равенств с коэффициентами $c_1, c_2, c_3$ лежая часть обратилась в нуль. Ясно, что для этого надо, чтобы выполнялась система

$$\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 0, \\ c_1 \varepsilon_1 + c_2 \varepsilon_2 + c_3 \varepsilon_3 = 0. \end{cases}$$

Найти хотя бы одно ненулевое ее решение легко — например, положить $c_3 = 1$ и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными. Проделяйте это вычисление сами.

Найдя $c_1, c_2$ и $c_3$ получим

$$c_1 u_1^n + c_2 u_2^n + c_3 u_3^n = 0.$$

《Загоняя》 коэффициенты под $n$-е степени, получим:

$$\left[ \sqrt[n]{c_1} u_1 \right]^n + \left[ \sqrt[n]{c_2} u_2 \right]^n = \left[ \sqrt[n]{c_3} u_3 \right]^n.$$

Легко проверяется, что новые три многочлена удовлетворяют тем же условиям, что и $x, y, z$. При этом наиболее степень их уменьшилась (оставаясь положительными числом).

Наш метод доказательства, придуманный еще Ферма, носит название метода «бесконечного спуска». К сожалению, этот метод не проходит для доказательства неразрешимости уравнения Ферма в натуральных числах, поскольку на числа вида $x - \varepsilon_i y$, где $x$ и $y$ — целые числа, не переносится теорема об однозначности разложения на простые многочлены (см. п. 3*, с. 13). Исследованием этого интересного вопроса занимается «высшая арифметика» — теория алгебраических чисел — активно развивающаяся сейчас область математики.

Дополнительное

А. Докажем утверждение, формулировано в п. 3* статья (см. с. 13), т. е. докажем, что любой многочлен однозначно разлагается в произведение неприводимых многочленов (с точностью до порядка многочленей и до многочленей, являющегося константой). (Неприводимый многочлен — это аналог простого числа в многочлене натуральных чисел: многочлен $q$ называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение многочленов ненулевой степени, отличных от $q$.)

Вначале показаем, что всякий многочлен можно разложить в произведение неприводимых. В самом деле, если $Q$ — неприводим, то $Q = Q_1 \cdot G_2$, где $G_1$ и $G_2$ — какие-то многочлены. Если $G_1$ и $G_2$ — неприводимы, то нужно разложение получено; если же какой-то из $G_i$ ($i=1, 2$) приводим, то снова $G_i = S_1^{(i)} \cdot S_2^{(i)}$, и т. д. Ясно, что этот процесс через конечное число шагов оборвется, поскольку степень многочлена $Q$ конечна. Таким образом мы получим разложение многочлена в произведение неприводимых.

А теперь мы хотим доказать, что если для неприводимых многочленов выполняем равенство $p_1 \cdot p_2 \dots p_l = q_1 \cdot q_2 \dots q_s$, то $l = s$, и для каждой i найдется такое $k$, что $q_i = c \cdot p_k$. Для этого нам понадобится следующую утверждение: если произведение $u \cdot v$ двух многочленов $u$ и $v$ делится на неприводимый многочлен $q$, то любо $u, v$ делится на $q$. Разделим многочлены $u$ и $v$ на многочлен $q$ с остатком (ползучая алгоритм Евклида). Мы получим в остатке многочлены $u$ и $v$, степени каждой из которых меньше степени многочлена $q$, а произведение $u \cdot v$ делится на $q$. Нам нужно доказать, что любо $u = 0$ (тогда $u$ делится на $q$), любо $v = 0$ (тогда $v$ делится на $q$). Докажем это утверждение методом математической индукции (по степени многочлена $q$).

База иndukции. Minimalная степень отличного от константы неприводимого многочлена равна 1. Пусть $q$ — линейный многочлен. Тогда, если ни $u \neq 0$, ни $v \neq 0$, то $u = \text{const}$ и $v = \text{const}$. Но тогда и $u \cdot v$ — тоже константа, а потому $u \cdot v$ не может делиться на $q$. Поэтому для линейных неприводимых многочленов утверждение справедливо.

Шаг иndukции. Предположим, что утверждение справедливо для всех неприводимых многочленов степени меньше, чем степени, нщшего многочлена $q$. Докажем его для многочлена $q$. Допустим, что $u \cdot v \neq 0$. Поскольку $u \cdot v$ делится на $q$, имеем: $u \cdot v = q \cdot q$, $q \neq 0$, и степени многочлена $q$ строго меньше степени многочлена $q$ (так как степень произведения $u \cdot v$ меньше степени многочлена $q$). Разложим $q$