17
История понсков закона преломления растянулась почти на два тысячеления. Весь необходимый «инструмент» для открытия закона был в аренале античный ученых. Так, Клавдий Птолемей (II в. н. э.) получил экспериментально довольно точные значения углов padения и преломления света. Он же составил первые таблицы значений тригонометрических функций. Но Птолемей пытался установить закономерность в соответствии углов padения и преломления и не договорая заменить углы их тригонометрических функциями.
В последующие века вплоть до XVII исследованием преломления света занимались многое ученые. Средних были и крупнейший оптик средневековый Ибн-ал-Хайтан (Альхазен), и создатель небесной механики великий Кеплер. Оdnakoникому из них не удалось установить закона преломления света.
…В 1637 году аббат Мерсенн переслал Пьеру Ферма первые главы трактата Декарта «Диоптрика» с тем, чтобы Ферма высказал свое мнение об этом труде. Оdnа из главы посвящена законом отражения и преломления.
Декарт рассматривает движение мяча, брошенного под углом на слабо натягнутую сетку. Если мяч прорывает сетку, то направление движения его меняется. Пользоваться простыми геометрическими сообщениями, Декарт получает соответствие между тригонометрическими функциями углов padения и преломления мяча:
А затем, без каких-либо обоснований, он переосит это условие на случай распространения света при прохождения им границы двух сред *. Во времяда Декарта считали, что более плотная среда всегда преломляет свет, и чтобы увазыть с этим фактом свой теоретические результаты, Декарт заключает, что скорость света в более плотной среде больше, чем в менее плотной (что, конечно, не верно!). Надо сказать, что все физические расуждения Декарта были очень низкими, и понять, что подразумевает Декарт под светом, невозможно.
Ферма отправил свой отзыв на «Диоптрику» Мерсенну. В нем он высказал, в основном, два замечания, касавшиеся вывода закона преломления. Ферма считал совершенное неправомерным переходом свейств двин
*) Раньше Декарта закон преломления открыл голландский физик, математик и астроном Снеллаус. Оdnako, он нигде не опубликовал свои результаты.
18
Женяя брошенных тел на распространение света. Еще менее обоснованным, по мнению Ферма, является утверждение, что свет должен дивятся в более плотной среде с большей скоростью, чем в менее плотной. Из всего этого Ферма делает вывод, что формулировка закона распространения, приводимая Декартом, не верна.
Мерсенн переслал отзыв Ферма Декарту. Чтобы Декарт почувствовал авторитет решения, с работами которого он не был знаком, Мерсенн вложил в письмо еще и работу Ферма «О метода нахождения наиболее и наиболее значений». Это была та область математики, в которой Декарт имел значительные результаты и считал себя первопроводцем.
Ответ Декарта на решение был резким и во многом не справедливым. После обмена нескольких письмами каждой из сторон осталась при своем мнении, и дискуссия переключится на метод нахождения наиболее и наиболее значений.
К оптической проблемы Ферма возвратился только через 20 лет, уже после смерти Декарта. Толчком для некоторых новых идей о пути установления закона распростления ему послужила книга по оптике его друга Кюро де ла Шамбра. В этой книге были приведены выводы законов отражения света на основе «признания кратчайшего пути», формулированного древнегреческим ученым Героном (I. В. н. э.).
В трактате «Катоптрика» Герон, рассматривая отражение света от плоских и сферических зеркал, поступовал следующей утверждение: свет отражается таким образом, чтобы путь луча, падающего из данной точки и отражающегося в данную точку, был минимальным.
Однако во многих случаях свет этому принципи не следует. В частности, при распространении света в неоднородной среде путь света от одной точки до другой оказывается далеко не минимальным.
Занявшись вновь понским закона решением, Ферма решил попытаться видизнить принцип Герона. Основная его идея заключится в следующем. «Кратчайшие» пути, выбираемые светом, следует поннимать как самые «легкие», как пути, на которых свет испытывает наименьшее «спортивление» со стороны среды, в которой он распространется. Четкого физического объяснения этому «спортивлению» Ферма не давал. Дело в том, что он считал распространение света мгновенным. Введение же понятия «спортивление» несомненно вызываило представление о распространении света во времени. Это, конечно, понимал Ферма, но в нем говорил, прежде всего, математик. И обойти этот вопрос туманными расуженными об «антипати» света веществу, Ферма переходит к чисто математической постановке задачи.
Пусть луч света, выходящий из точки A в среде I (рис. 1), попадает в точку B в среде II. Разумеется, самый короткий путь между этим точкими — это прямая AB. В этом случае свет проходил бы границу сред в точке D. Но если «спортивление» сред I и II различно, то путь ADB может оказаться для света не самым легким.
Пусть, например, спортивление, оказываемое свет средой I на единице пути, равно r, спортивление, оказываемое средой II, равно
20
ность понятия «спротивление», полная неясность в вопросе о распространении света во времени. Но мы хотим еще раз подернуть, что Ферма смотрел на эти вопросы сковать пальцы, интересясь исключительно математической сторой проблемы.
Очень скоро резкие сужения по поводу принципи Ферма стали смягчаться. Тот же Гюйгенс, повторив расчеты Ферма и убедившись в их безукоризненности, настолько уверовал в этот принципи, что при создании волновой теории света использовал этот замечательный «феномен Ферма».
Практические все дальнейшее развитие лучевой оптики и построение волновой оптики так или иначе было связано с принципиом Ферма. По мере накопления экспериментальных и теоретических данных формулировка его уточнялась и видозменялась. Установление зависимости скорости распространения света от плотности среды позволило выявить смыслCONSTANTЫ в законе располнения:
где — относительный показатель располнения, равный отношению скоростей света в средах I и II (см. рис. 1). Это устранило неясность, связанную с понятием сопротивления, и позволило сделать следующий шаг в определении пути распространения света: под «самыми легкими» путими следует понимать пути, для прохождения которых свету требуется наименьшее время. Однако в ряде случаев (в частиности, при отражении от волнуных зеркал) свет явно «предпочитал» максимальные по времени пути…
В конце концов принципи Ферма прибрел более общую формулировку, чем та, которую дал сам Ферма: свет распространется по такому пути, оптическая длина которого экстремальная, то есть она либо максимальная из всех возможных, либо минимальная, либо остается постоянной.
Оптической длиной пути в случае однородной среды называют произведение геометрической длины пути на абсолотный показатель располнения вещества: . Если среда недородна, то оптическая длина пути равна сумме оптических длины в различных участках, показатели располнения в которых построены.
Приципл Ферма оказался первымчетко и сознательно сформированным экстремальным, или точнее, варианционным принципиом.
И. Бернулли в конце XVIII века с помощью принципи Ферма решил задачу о брахистохроне — кривой кратчайшего спуска. (Мы расссказывали об этом в 12 номере нашего журнала за 1975 год.) Мопертион и Эйлер в XVIII веке, отправляясь от того же принципи Ферма, открыли варнационный принципи в механике. Гамильтон в XIX веке создал обобщенный варнационный принципи и для механики, и для оптики. Современная теория квантовой механики основывается на принципие Гамильтона. Таким образом, принципи Ферма являлся родоначальником целого семейства варнационных принципов в физике, и его влияние прослеживается плоть до наших дней.
И в заключение мы предлагаем вам попытаться, основываясь на принципие Ферма, вывести законы отражения и располнения света.