Ống kính và hệ thống ống kính

Kvant 1977, số 4 tr. 50-53 Thẻ T97L

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

kết luận rằng tại điểm $x = \pi/3$ hàm $f(x)$ , được xem xét trên khoảng $[0; \pi/2]$ , nhận giá trị nhỏ nhất và do đó $\varphi(x) > 0$ , tức là $tg x > 4x - 2,5$ trên toàn bộ khoảng này. Do đó, việc sử dụng một số tùy ý trong trường hợp này sẽ mang lại lời giải đơn giản hơn.

Ngược lại, đối với các bất đẳng thức lời giải $arctg x > 4\sqrt{3}x - x^2 - 11$ (ví dụ 2), để tìm nghiệm của một bất đẳng thức tùy ý, bạn sẽ phải giải phương trình bậc ba nên ở đây phương pháp tách hằng số hợp lý hơn.

Khả năng chọn phương pháp thuận lợi nhất lời giải của một bài toán cụ thể phụ thuộc vào kỹ năng thực tế, khả năng “nhìn thấy” biểu đồ, khả năng nắm vững khái niệm tùy ý và các phương tiện nghiên cứu chức năng khác. Bạn đọc muốn tìm hiểu cách áp dụng phương pháp tách hằng số nên tham khảo cuốn sách rất hữu ích của G. V. Dorofeev, M. K. Potanov, N. Kh. Rozov, Cẩm nang toán học để xây dựng trường đại học (M., “Nauka”, 1976, Chương IV, § 1).

Bài tập

Chứng minh rằng với mọi số thực $x$ bất đẳng thức
a) $\sqrt{1+x^2} > 6x - x^2 - 7$ ;
b) $\cos x > -\frac{1}{4}x^2$ .
c) $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1$ .
d) $\cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = 1$ .
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng $M(x; y)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình
$\sin x + \sin y = \frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|}.$
(YAPI, 1973). Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} = 2, \\ x^2+y^2-4x=0. \end{cases}$

E. Kuznetsov

Ống kính và hệ thống ống kính

Hiện tượng giả định ánh sáng trên mặt phân cách hình cầu giữa hai môi trường quang học cho phép người ta thu được hình ảnh của các vật thể phát sáng. Khả năng này được hiện thực hóa bằng cách sử dụng một thấu kính - một vật thể tùy ý được giới hạn bởi hai bề mặt hình cầu. Ống kính là thành phần quang học chính trong các thiết bị như máy ảnh, đèn chiếu, kính hiển vi, kính thiên văn, v.v.

Hình 1 cho thấy mặt cắt ngang của giả định bề mặt hình cầu ngăn cách hai phương tiện quang học với các chỉ số giả định khác nhau. Rõ ràng, chỉ có thể có được hình ảnh chất lượng cao của bất kỳ vật thể nào trong trường hợp khi một chùm tia phát ra từ bất kỳ điểm nào của vật thể (ví dụ: từ điểm $P$ ), sau giả định, lại tập hợp lại thành một điểm. Nói chung, sự phân tách hình cầu của hai môi trường không đảm bảo điều kiện này. Như vậy, tia $NB$ sau khi giả định sẽ cắt trục $PQ$ , nói đúng ra, tại một điểm khác với tia $MA$ . Tuy nhiên, trong những điều kiện nhất định, một chùm tia phát ra từ một điểm trên thực tế có thể được tập hợp lại thành một điểm. Điều này sẽ xảy ra khi độ cao $h$ mà tại đó tia của tia này giao với bề mặt nhỏ so với bán kính cong $OC$ của bề mặt. Nói cách khác, khi góc $\alpha$ nhỏ. Các tia thỏa mãn điều kiện này gọi là điều kiện này, gọi là ở trên.

là paraxyl. Đối với các nguồn ở xa, yêu cầu về góc nhỏ α tương đương với yêu cầu về góc nhỏ u. Nhưng độ nhỏ của góc u không phải là điều kiện đủ cho tính nghịch lý. Thật vậy, một tia song song với trục PQ (u=0), nhưng đủ xa nó (h lớn), sẽ không phải là tia đồng trục.

Do đó, tùy thuộc vào việc điều kiện paraxity được đáp ứng tốt đến mức nào, ở vùng lân cận điểm P’ sẽ có một vòng tròn mờ lớn ít nhiều. Tuy nhiên, trong thực tế không cần thiết phải làm cho nó nhỏ hơn một giá trị nhất định được xác định rõ ràng. Ví dụ: nếu vòng tròn mờ trở nên nhỏ hơn một phần tử của võng mạc (hạt nhũ tương trên phim ảnh, mặt kính mờ không đều, v.v.), chúng ta sẽ coi nó là một dấu chấm. Việc giảm thêm tiếng ồn thị giác của chúng ta sẽ không thay đổi bất cứ điều gì.

Ở mọi nơi trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chỉ đề cập đến tia paraxyl *). Ngoài ra, chúng tôi sẽ hạn chế chỉ xem xét các thấu kính mỏng, tức là các thấu kính có tiêu cự lớn hơn đáng kể so với độ dày của chúng.

Nếu một thấu kính mỏng được làm bằng vật liệu có chiết suất n, thì bên cạnh thấu kính có một môi trường có chiết suất n₁ và ở bên phải - có chiết suất n₂, thì các mối quan hệ sau được giữ:

$\frac{n_2}{F_2} = \frac{n - n_1}{R_1} + \frac{n - n_2}{R_2},$

$\frac{n_1}{F_1} = \frac{n - n_1}{R_1} + \frac{n - n_2}{R_2}.$

Ở đây F₁ và F₂ là tiêu cự phía trước và phía sau của ống kính, R₁ và R₂ lần lượt là bán kính cong của bề mặt phía trước và phía sau của ống kính. Những mối quan hệ này có thể thu được (bạn hãy tự làm!) bằng cách xem xét đường đi của các tia, chỉ số từ phép tính xa vô hạn.

*) Về nguyên tắc, có thể tạo ra các bề mặt khúc xạ mà điều kiện paraxity của tia là không bắt buộc. Tuy nhiên, bề mặt hình cầu là dễ sản xuất nhất.

Hình 1.

Hình 2.

dụng cụ mài sắc, trong trường hợp đầu tiên ở bên trái ống kính và trong trường hợp thứ hai từ trái sang phải. Một phần, khi có không khí ở cả hai bên thấu kính (n₁=n₂=1),

$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{F_2} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$

Người ta thường chấp nhận rằng nếu một bề mặt có cạnh lồi của nó đối diện với môi trường có chiết suất thấp hơn thì bán kính cong R của nó là dương (R>0), nếu không thì R<0. Thấu kính có tiêu cự dương (F>0) được gọi là thấu kính dương hoặc hội tụ, trong khi thấu kính có F<0 được gọi là âm hoặc phân kỳ. Beluchina D = \frac{1}{F} được gọi là công suất quang của thấu kính; nó thay đổi diop.

Khi xây dựng hình ảnh thu được bằng thấu kính mỏng, ba chùm tia chính (hoặc cơ sở) được sử dụng, như minh họa trong hình.

Ke 2. Sử dụng hình này, không khó để có được công thức tính đường mảnh:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$

cũng như các biểu thức cho mức tăng tuyến tính (ngang) của nó:

$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} = \frac{f - F}{F} = \frac{F}{d - F}$

và để phóng đại góc:

$\gamma = \frac{\mathrm{tg} u'}{\mathrm{tg} u} = \frac{h/f}{h/d} = \frac{d}{f} = \frac{1}{\Gamma}.$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Trên mặt nước ( $n_B = 1,3$ ) có một đường thủy tinh hai mặt lồi ( $n_{cT} = 1,5$ ) có bán kính cong $R_1 = R_2 = 10$ cm. Xác định tiêu cự trước và sau của đường thẳng đó. Tiêu cự của đường này trong không khí là bao nhiêu?

Đây là một bài toán tương đối đơn giản. Áp dụng trực tiếp công thức (1) và (2), trong đó $n_1 = 1$ , $n_2 = n_B = 1,3$ và $n = n_{cT} = 1,5$ , sẽ cho $F_1 \approx 14$ cm và $F_2 \approx 18,5$ cm.

Đối với tiêu cự của một đường thẳng trong không khí, công thức (3) dẫn đến kết quả $F = 10$ cm.

Bài toán 2. Hình 3 thể hiện đường đi của tia ABC đi qua đường Monk dương. Xây dựng đường đi của tia DE tùy ý sau khi khúc xạ vào mặt.

Chúng ta vẽ một tia $A'O$ song song với tia $AB$ và đi qua quang tâm của đường thẳng. Nó sẽ không vỡ. Điểm $G$ giao điểm của tia này với tia $BC$ nằm trong mặt phẳng tiêu điểm $H$ . Tia $D'O$ , song song với $DE$ , sẽ cắt tiêu diện tại điểm $P$ . Tia $DE$ cũng sẽ đi qua điểm đó và bị khúc xạ.

Bài toán 3. Người cận thị đọc văn bản ở khoảng cách không quá 20 cm thì nên kêu cái nào?

Kính không thể khắc phục được các khuyết điểm ở mắt. Vai trò của chúng giảm xuống ở việc hiển thị các vật thể trong thế giới xung quanh ở khoảng cách mà mắt có thể phân biệt được các vật thể. Trong trường hợp của chúng ta, để một người cận thị có thể nhìn thấy các vật ở xa, chẳng hạn như một ngôi sao, kính phải tạo ra ảnh của ngôi sao cách mắt không quá 20 cm và mắt sẽ nhìn vào ảnh này. Giả sử thấu kính của kính nằm gần mắt (một khoảng cách nhỏ giữa thấu kính và mắt sẽ không làm sai lệch đáng kể các phép tính bên dưới) và viết công thức tính thấu kính:

$\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = \frac{1}{F}.$

Ở đây $d$ là khoảng cách đến ngôi sao và $f$ là khoảng cách tối đa từ hình ảnh ngôi sao đến mắt. Thuật ngữ $\frac{1}{f}$ được lấy bằng dấu trừ vì hình ảnh rất nhỏ. Vì $d$ rất lớn nên chúng ta có thể đặt $\frac{1}{d} = 0$ một cách an toàn. Theo điều kiện bài toán $f = 20$ xem.

Từ đây

$F = -20 \text{ cm}, D = -5 \text{ днмр}.$

Vì vậy, người cận thị nên được kê kính có thấu kính phân kỳ có công suất quang - 5 dnmr.

Bài toán 4. Sử dụng đường thẳng có tiêu cự $F$ trên màn ảnh, thu được ảnh thu nhỏ và phóng to của một vật nằm ở khoảng cách $L$ tính từ màn ảnh. Tên các kích cỡ ảnh

Gọi chiều cao của vật là $h$ . Khi đó hình ảnh có chiều cao $H = \Gamma h$ và tỷ lệ kích thước của hình ảnh là

$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\Gamma_1 h}{\Gamma_2 h} = \frac{f_1/d_1}{f_2/d_2}.$

Bây giờ chúng ta cần tìm $d_1, d_2, f_1$ và $f_2$ . Theo công thức đường $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ ,

Hình 4.

và từ điều kiện bài toán $d+f=L$ . Loại bỏ $d$ , ta thu được phương trình bậc hai
$f^2 - fL + FL = 0,$
Ở đâu
$f_{1,2} = \frac{L}{2} \pm \sqrt{\frac{L^2}{4} - FL}.$
Ngoài ra, do tính chất thuận nghịch của tia $d_1=f_2$ và $d_2=f_1$ . Như vậy,
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{f_1^2}{f_2^2} = \left( \frac{L/2 + \sqrt{L^2/4 - FL}}{L/2 - \sqrt{L^2/4 - FL}} \right)^2.$
Bài toán 5. Sử dụng đường dương, chúng ta thu được hình ảnh của hai nguồn chính xác $A$ và $B$ . Một trong số chúng nằm trên trục quang với tiêu cự gấp đôi so với đường thẳng, cái còn lại lệch khỏi trục mak, là đường thẳng nối các nguồn và tạo thành một góc $\varphi = 30^\circ$ với trục quang (Hình 4). Chúng ta nên đặt một màn hình phẳng ở góc $\psi$ nào so với trục để thu được đồng thời một số hình ảnh của các nguồn trên đó?

Rõ ràng, màn hình cần được định vị dọc theo tia $AB$ (được vẽ từ nguồn $A$ qua điểm $B$ ) sau khi điền trước vào dòng. Ta áp dụng công thức tăng góc:
$\gamma = \frac{1}{\Gamma} = \frac{d}{f} = \frac{F}{f-F}.$
Ở đây $f$ là khoảng cách từ ảnh nguồn $A$ đến đường thẳng và $F$ là tiêu cự của đường thẳng. Bởi vì $A$ có tiêu cự gấp đôi đường thẳng, $f=2F$ . Kể từ đây,
$\gamma = \frac{F}{2F-F} = 1, \text{ и } \psi = \varphi = 30^\circ.$

Bài 6. Một thấu kính phức tạp gồm hai đường đơn sắc: một thấu kính dương có tiêu cự $F_1=20$ cm và một thấu kính âm có tiêu cự $F_2=-10$ cm. Các thấu kính được đặt cách nhau $l=15$ cm. Qua thấu kính, ảnh của Mặt trời thu được trên màn. Tiêu cự $F$ của đường thẳng đó phải bằng bao nhiêu để ảnh Mặt trời thu được nhờ sự trợ giúp của nó có kích thước lớn nhất?

Ở đây chúng ta đang xử lý một hệ thống đường dây.

Chúng ta hãy tìm kích thước ảnh của Mặt trời tạo ra bởi một thấu kính phức tạp bằng cách xem xét đường đi tuần tự của các tia trên cả hai đường thẳng. Hình ảnh được tạo ra bởi thấu kính thứ nhất nằm rất nhiều trong mặt phẳng tiêu cự của nó. Kích thước của hình ảnh này là $H_1=F_1tg\alpha$ , trong đó $\alpha$ là đường kính góc của Mặt trời, có thể nhìn thấy từ Trái đất (Hình 5). Độ phóng đại mà thấu kính thứ hai cho là $\frac{H_2}{H_1} = \frac{f_2}{d_2}$ . Theo công thức thấu kính ta có
$-\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2},$
trong đó $d_2=F_1-l$ (hình ảnh của Mặt trời trong thấu kính thứ nhất là nguồn tối thiểu cho thấu kính thứ hai). Từ đây
$f_2 = \frac{F_2(F_1-l)}{F_1+F_2-l}.$

Vì vậy, kích thước hình ảnh