Линзы и системы линз

50

сделать вывод, что в точке $x = \pi/3$ функция $f(x)$, рассматриваемая на интервале $[0; \pi/2]$, принимает наименьшее значение, и потому $\varphi(x) > 0$, то есть $tg x > 4x - 2,5$ на всем этом интервале. Таким образом, применение произвольной дает в данном случае более простое решение.

Напротив, при решении неравенства $arctg x > 4\sqrt{3}x - x^2 - 11$ (пример 2) для нахождения корней произвольной придется решать уравнение третий степени, так что здесь метод отделяющих константы рациональнее.

Умение выбрать наиболее выгодный метод решения конкретной задачи зависит от практических навыков, от умения «видеть» графики, от владелия понятем произвольной и других средствами исследований функций. Читательям, которые хотели бы получжаться в применении метода отделяющих константы, рекомендуем обратиться к очень полезной книге Г. В. Дорофеев, М. К. Потанов, Н. Х. Розов, Пособие по математике для построения вузы (М., «Наука», 1976, гл. IV, § 1).

Ураженения

1. Доказать, что при любом действительном $x$ справедливый неравенства
   a) $\sqrt{1+x^2} > 6x - x^2 - 7$;
   b) $\cos x > -\frac{1}{4}x^2$.
   c) $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1$.
   d) $\cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = 1$.
2. Найти множество точки плоскости $M(x; y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению
   $$\sin x + \sin y = \frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|}.$$
3. (ЯПИ, 1973). Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} = 2, \\ x^2+y^2-4x=0. \end{cases}$$

Е. Кузнецов

Линзы и системы Линз

Явление предположения света на сфericalской поверхности раздела двух оптических сред позволяет получить изображения светящихся предметов. Эта возможность осуществляется с помощью линзы — произвольного тела, ограниченного двумя сфericalскими поверхностями. Линза является основным оптическим элементом в таких приборах, как фотоаппарат, проекционный фонарь, микросокоп, телекоп и т. д.

На рисунке 1 показан разрез предположения sphericalной поверхности, разделающей две оптические среды с различными показателями предположения. Очевидно, качественное изображение любого предмета возможно только в том случае, когда лучок лучей, исходящих из любой точки предмета (например, из точки $P$), после предположения соберется снова в точку. Вообще, sphericalная раздела двух сред не обеспечивает этого условия. Так, луч $NB$ после предположения пересечет ось $PQ$, строго говоря, в другой точке, нежели луч $MA$. Однако при некоторых условиях лучок лучей, испущенных точкой, может собрать практические в точку. Это будет в том случае, когда высота $h$, на которой луч этого лучка пересекают предположую поверхности, мала по сравнению с радиусом кривизны $OC$ предположей поверхности. Другими словами, когда мал угол $\alpha$. Лучи, удовлетворющие этому условия, называются этому условию, называемым выше.

51

ваются параксильными. Для удаленных источников требование малости угла α эквивалентно требованию малости угла u. Но малость угла u не является достаточным условием параксильности. Действительно, луч, паралельный оси PQ (u=0), но достаточно удаленный от нее (h велико), не будет параксильным.

Таким образом, в зависимости от того, сколько хорошего усполняется условие параксильности, в окрестности точки P’ будет более или менее большой кругок размытия. Однако на практике нет необходимости делать его меньше неокоторой, вполне определенной, величины. Например, если кругок размытия становится меньше элемента сетчатки глаза (зерна фотоэмульсина на фотопленке, неровностей матового стекла и т. п.), он будет воспринять нами как точка. Его дальнейшее уменшение в нашем зрительном ошушении ничего не изменит.

Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело только с параксильными лучами *). Кроме того, ограничимся рассмотрением только тонких линз, то есть таких линз, фокусные расстояния которых существенно больше их толщины.

Если тонкая линза изготовлена из материалов с показателем преломления n, следва от линзы находится среда с показателем преломления n₁, а справа — с показателем преломления n₂, то имеют место соотношения

$$\frac{n_2}{F_2} = \frac{n - n_1}{R_1} + \frac{n - n_2}{R_2},$$

$$\frac{n_1}{F_1} = \frac{n - n_1}{R_1} + \frac{n - n_2}{R_2}.$$

Здесь F₁ и F₂ — переднее и заднее фокусные расстояния линзы, R₁ и R₂ — радиусы кривизны, соответствно, передней и задней поверхности линзы. Эти соотношения можно получить (проделяйте это самостояльно!), рассматривая ход лучей, индих от бесконечного удаленного исчисления.

*) Можно, в принципе, придумать такие преломляющие поверхности, для которых условия параксильности лучей не является обязательным. Однако наиболее просты в изготовлении именно сферические поверхности.

Рис. 1.

Рис. 2.

точника, нахождение в первом случае слева от линзы, а втором слева — справа. В частиности, когда с обеих стороны от линзы находится воздуха (n₁=n₂=1),

$$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{F_2} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Принято считать, что если поверхность своей выпуклой стороной обращена к среде с меньшим показателем преломления, то ее радиус кривизны R положитель (R>0), в противном случае R<0. Линзы, у которых фокусное расстояние положительное (F>0), называются положимельными или собирающими, если же F<0 — отрицательными или рассеивающими. Белучина D = \frac{1}{F} называется оптической силой линзы; она изменяется в диоптриях.

При построении изображений, полученных с помощью тонких линз, используется три основных (или базисных) луча, показанных на рисун-

52

Ke 2. С помощью этого рисунка нетрудно получить формулу тонкой лины:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

а также выражения для ее линейного (поперечного) увеличения:

$$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} = \frac{f - F}{F} = \frac{F}{d - F}$$

и для углового увеличения:

$$\gamma = \frac{\mathrm{tg} u'}{\mathrm{tg} u} = \frac{h/f}{h/d} = \frac{d}{f} = \frac{1}{\Gamma}.$$

Рассмотрим теперь несколько конкретичных задач.

Задача 1. На поверхности воды ($n_B = 1,3$) лежит двояковыпуклая монка стеклянная линия ($n_{cT} = 1,5$) с радиусами кривизны $R_1 = R_2 = 10$ см. Определите переднее и заднее фокусные расстояния лины. Чему равно фокусное расстояние этой лины в воздухе?

Это относительно простая задача. Непосредственное применение формул (1) и (2), где $n_1 = 1$, $n_2 = n_B = 1,3$ и $n = n_{cT} = 1,5$, дает $F_1 \approx 14$ см и $F_2 \approx 18,5$ см.

Для фокусного расстояния лины в воздухе формула (3) приводит к результату $F = 10$ см.

Задача 2. На рисунке 3 дан ход луча ABC через монку положимельную линию. Построить ход произвольного луча DE после преломления в лице.

Проведем луч $A'O$, параллельный лучу $AB$ и проходящий через оптический центр лины. Он не преломится. Точка $G$ пересечения этого луча с лучом $BC$ лежит в фокальной плоскости $H$. Луч $D'O$, параллельный $DE$, пересечет фокальный плоскость в точке $P$. Через эту же точку пройдет, преломившись, и луч $DE$.

Задача 3. Какие они пропищите близорукому целовеку, который цимать текст, расположенный не далее 20 см?

Очки ни в коей мере не исправляют дефектов целовекского глазза. Их роль сводится к тому, чтобы отобразить объекты окружающего мира на такое расстояние, с которой глаззет различает предметы. В нашем случае для того чтобы близорукий целовек мог видеть удаленные предметы, например, звезду, очки должны создавать изображение звезды не далее 20 см от глазза, а глазз будет расматривать уже это изображение. Предположим, что линза очков вплотную привидину к глазу (небольшой зазор между линзой и глазом несущественно исказит приведенные ниже расчеты), и запишем формулу лины:

$$\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = \frac{1}{F}.$$

Здесь $d$ — расстояние до звезды, а $f$ — максимальное расстояние от изображения звезды до глазза. Член $\frac{1}{f}$ береется со знаком минус, поскольку изображение минимое. Так как $d$ очень велико, можно смело положить $\frac{1}{d} = 0$. По условию задачи $f = 20$ см.

Отсюда

$$F = -20 \text{ cm}, D = -5 \text{ днмр}.$$

Таким образом, близорукому целовеку следует прописать очки с рассеивающим линзами оптической силы — 5 днмр.

Задача 4. С помощью линии с фокусным расстоянием $F$ на экране получают уменьшенное и увеличенное изображение предмета, находящееся на расстоянии $L$ от экрана. Наименование размеров изображений.

Пусть высота предмета равна $h$. Тогда изображение имеет высоту $H = \Gamma h$, и относение размеров изображений есть

$$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\Gamma_1 h}{\Gamma_2 h} = \frac{f_1/d_1}{f_2/d_2}.$$

Теперь нам нужно найти $d_1, d_2, f_1$ и $f_2$. По формуле лины $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$,

53

Рис. 4.

а из условия задачи $d+f=L$. Исключив $d$, получим квадратное уравнение
$$f^2 - fL + FL = 0,$$
откуда
$$f_{1,2} = \frac{L}{2} \pm \sqrt{\frac{L^2}{4} - FL}.$$
Кроме того, из свойства обратимости лучей $d_1=f_2$ и $d_2=f_1$. Таким образом,
$$\frac{H_1}{H_2} = \frac{f_1^2}{f_2^2} = \left( \frac{L/2 + \sqrt{L^2/4 - FL}}{L/2 - \sqrt{L^2/4 - FL}} \right)^2.$$
Задача 5. С помощью положительной линии получим изобравнение двух точных источников $A$ и $B$. Один из них расположен на оптической оси на двойном фокусном расстоянии от линии, другой смещен от оси mak, что пряма, соединяющая источники, образует с оптической осью угол $\varphi = 30^\circ$ (рис. 4). Под каким углом $\psi$ к оси следуем расположить плоский экран, чтобы одновременно получить на нем чемкие изобравнения источников?

Очевидно, экран нужно расположить по лучу $AB$ (проведенному от источника $A$ через точку $B$) после его предполления в линии. Используем формулу для углового уvelчения:
$$\gamma = \frac{1}{\Gamma} = \frac{d}{f} = \frac{F}{f-F}.$$
Здесь $f$ — расстояние от изобравнения источника $A$ до линии, а $F$ — фокусное расстояние линии. Поскольку $A$ находится на двойном фокусном расстоянии от линии, $f=2F$. Следовательно,
$$\gamma = \frac{F}{2F-F} = 1, \text{ и } \psi = \varphi = 30^\circ.$$

Задание 6. Сложный объектив состоям из двух monikих lines: положительный с фокусным расстоянием $F_1=20$ см и отрицательный с фокусным расстоянием $F_2=-10$ см. Линзы расположены на расстоянии $l=15$ см друг от друга. С помощью объектива получают на экран изобравнение Солнца. Какое фокусное расстояние $F$ должна monкая линия, чтобы изобравнение Солнца, полученное с ее помощью, имело максимое размер?

Здесь мы уже имеем дело с системой линии.

Найдем размер изобравнения Солнца, создавемого сложным объективом, рассматривая ход лучей последовательно в обенх линиих. Изображение, создавшее первой линзой, находится, оченьindo, в ее фокальной плоскости. Размер этого изобравнения $H_1=F_1tg\alpha$, где $\alpha$ — угловой диаметр Солнца, видимый с Земли (рис. 5). Увеличение, даваемое второй линзой, равно $\frac{H_2}{H_1} = \frac{f_2}{d_2}$. По формуле линзы имеем
$$-\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2},$$
где $d_2=F_1-l$ (изобравнение Солнца в первой линзе является минимым источником для второй). Отсюда
$$f_2 = \frac{F_2(F_1-l)}{F_1+F_2-l}.$$

Таким образом, размер изобравнения,