Задачи М436—М440; Ф448—Ф452

30

Задачи

M436 — М440; Ф448 — Ф452

M436. Дано 20 чисел $a_1, a_2, \dots, a_{10}, b_1, b_2, \dots, b_{10}$. Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1 + b_1, a_1 + b_2, \dots, a_{10} + b_{10}$ можно разбит на 10 подмножества, по 10 чисел в каждой так, чтобы сумма чисел в каждой подмножестве была одной и той же.

С. Берколайко

M437. Докажите, что нечетное число, являющееся произведением $n$ различных простых множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел равно $2^{n-1}$ различными способами.

О. Гончарик,
С. Сергей

M438. В данной сегмент вписываются всевозможные пары касающейся окружностей (рис. 1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

З. Скопец

M439*. a) Докажите, что уравнение
$$ax^k + bx^l + cx^m = 1$$
(где $a, b, c$ — действительные, $k, l$ и $m$ — натуральные числа) имеет не более трех положительных корней.

b) Докажите, что уравнение
$$a_1x^{k_1} + a_2x^{k_2} + \dots + a_nx^{k_n} = 1$$
(где $a_1, a_2, \dots, a_n$ — действительные, $k_1, k_2, \dots, k_n$ — натуральные числа) имеет не более $n$ положительных корней.

b) Докажите, что уравнение
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(где $a, b, c$ — действительные, $k, l, m, p, q, r$ — натуральные числа) имеет не более 14 положительных корней.

А. Куширенко

M440. Куб $100 \times 100 \times 100$ составлен из миллиона единичных кубков. Изовем шампуром прямую, проходящий через центры кубков и параллельную ребром куба.