Задачи наших читателей

59

С восмого класса начинается самостояльная работа в секции. Каждый член общества получает определенную тему и научного консультанта, прикрепляется к какому-либо научному учреждению.

Работа в секциях проводится по двум направлениям:

1. Теоретические занятия, лекции ученых, семинары, сообщения учащихся по темам их исследований, доклады о выдающихся ученых.
2. Исследовательская работа под руководством научного консультанта.

Секции делятся на группы, в зависимости от тем исследования. Например, секция физики делится на следующие группы: теоретической физики, физики полупроводников, электронники и электронных приборов, физики atomного ядра, опгки и спектроскопии, обще физики, импульсной и газовой электронники, физики твердого тела. Эти группы работают на базе Института прикладной физики АН МССР, физического государственного университета, электрофизического факультета Кишиневского политехнического института. Секция математики делится на группы: математический логики, современных вопросов алгебры, прикладной математики и программирования, геометрические преобразования, источник математики. Они работают на базе Института математики АН МССР, математического факультета Кишиневского государственного университета, кафедр математики Политехнического и Сельскохозяйственного институтов.

Все члены общества имеют членские билеты, в которые вносятся их личные планы исследовательской работы и отмечается (за подписью научного руководителя секции), как выполняется работа. Наболее отличившиеся члены общества получают при окончании школа характеристики-рекомендации, предоставляющие им определенные премиущества при поступлении в высшее учебные заведения Молдавии по соответствующей специализации.

Более 150 ученых, преподавателей взовов, аспирантов работают со старшексами в научном обществе, прибращая их к научным исследованием.

Важными событиями в жизни общества «ВИИТОРУЛ» являются годские и республиканские научно- творческие конференции учащихся. Кроме членов общества в них принято учатие известные учены, а также школьники, приглашенные из других ресурсных лиц.

Так, на III городской конференции в Кишиневе, проходившей под девизом: «Способность, труд, талант», было прочитано 20 докладов по различным проблемам физики и 7 — по математике, а также проведена математическая олимпiad. Среди докладов были, например, такие: «Приименение метода электронного парамагнитного резонанса в изучении кальцитов», «Метод изображений в электростанке», «Искровой разряд и его применение в технике», «Исследования образования капли и ее взаимодействия с поверхностью жидкости», «Нахождение центров тяжестей круга», «Решение вычеркивания его последней группы $a_1$, а через $a \otimes b$ обозначим число, образованное приписыванием к $a$ справа числа $b$ (в этих обозначениях $a = a_n \otimes a_{n-1} \otimes \dots \otimes a_2 \otimes a_1$).

Докажите, что для любого натурального числа $a$ и нечетного натурального $b$ справедливый следующее утверждение:

a) $ab = (\dots(b' \otimes a_n + b') \otimes a_{n-1} + b') \otimes a_2 + b') \otimes a_1$

(здесь $a_i$ — группы разбиения $a, i=1, 2, \dots, n$);

b) $a$ делится на $b$ тогда и только тогда, когда неокругности член последовательности $c_1 = a, c_2 = c'_1 - b', c_3 = c_2 - b', \dots, c_{k+1} = c'_k - b', \dots$, равен нулю; при этом, если $c_{n+1} = 0$, то $a:b = (c_n)_1 \otimes (c_{n-1})_1 \otimes \dots \otimes (c_1)_1$.

В. Абрамович (г. Ростов-на-Дону)

60

К статье «Ускорители»

1. $l_n = \frac{1}{2} \beta_n \lambda$.
2. 194,7 $M_3\theta$; 644,4 $M_3\theta$; 2784,2 $M_3\theta$.
3. Уменьшится в 1,725 раза.

К статье «Четные и нечетные функции»

Контрольные вопросы

1. Четной.
2. Нечетной.
3. Если $x \in D(f)$, то $-x \in D(f)$, и поэтому $D(f_+) = D(f_-) = D(f)$.
4. Если $f$ четна, то $f_+ = f$, $f_- = 0$; если $f$ нечетна, то $f_+ = 0$, $f_- = f$.
5. Для многочлена $p(x)$ в формулах (4) для $p_+$ взамимо уничтожаются все однозольные нечетной степени, а для $p_-$ — все однозольные четной степени.
6. a) Если многочлен $p(x)$ является четной функцией, то в его разложении $p = p_+ + p_-$ нечетная часть равна нулю (см. вопрос 4), поэтому $p = p_+$; согласно ответу на вопрос 5 в $p_+$, а значит, и в $p$ входят однозольные только четной степени.
   Случай 6) рассматривается аналогично. У пряженяя
7. Четные: $f_1, f_3, f_9$; нечетные: $f_8, f_{10}, f_{11}$.
8. a) Четные при $a = 0$, нечетные при $b = 0$;

6. Четные при $b = 0$, нечетных нет (если $a \neq 0$);
   b) Четные при $b = 0$, нечетные при $a = 0$.

3. a) $f_+(x) = x^2 + 2, f_-(x) = x - \frac{1}{x}$;

6. $f_+(x) = \frac{2x}{x^3 - x}, f_-(x) = \frac{x^2 + 1}{x^3 - x}$;
   b) $f_+(x) = 2x \mathrm{tg} x, f_-(x) = (x^2 + 1) \mathrm{tg} x$;
   г) $f_+(x) = 2^{x-1} + 2^{-x-1}, f_-(x) = 2^{x-1} - 2^{-x-1}$.

4. $f(0) = 0$.
5. $f(x) = 0$ при любом $x \in D(f)$, где $D(f)$ — произвольное подмножество числовой оси, симметриное относительно точки 0.
6. a) Нет; 6) да; b) нет.
7. a) Да; 6) 1), 3) — нет; 2) — да.
8. a) Воспользовитесь правилом дифференцирования сложной функции для $F(x) = f(-x)$.

6. 1. Нет (пример: $f(x) = x^3 + 1$); 2) — да.

9. 1. Невозможно в случае (г), возможно многочлены — в случае (a).

2. Невозможно в случае (в), возможно многочлены — в случае (a).

10. Нельзя в случае 6), можно бесконечным числом способов в случае в).
11. Указание. Все эти функции будут периодически и либо четными (a), г)), либо нечетными (6), в)), поэтому график функции достаточно простой на «половине перiodа» — на отрезке [0; $T/2$], где $T$ — период, а затем воспользоваться свойством четности и периодичности.

К статье «Метод отделяющих константы»

1. a) На луче $x \geq 2$ можно взять отделяющий константу $c_1 = 2,1$; в интервале $1 < x < 2$ константу $c_2 = 1,1$; на луче $x \leq 1$ константу $c = 0$.

6. $c_1 = 0$ при $|x| \leq \frac{\pi}{2}, c_2 = -\frac{1}{2}$ при $\frac{\pi}{2} \leq |x| \leq \frac{2\pi}{3}$,
   $c_3 = -1$ при $|x| \geq \frac{2\pi}{3}$ (точки на границах этих интервалов проверяются отдельно).

2. $x = -1$. Указание e. Функция в левой части уравнения — возрастаюшая.
3. $x = 4$. Указание e. Посольку $|cos t| \leq 1$, данное уравнение равносильно совокупности двух систем уравнений:
   $$\begin{cases} \cos(\pi \sqrt{x-4}) = 1, \\ \cos(\pi \sqrt{x}) = 1, \\ \cos(\pi \sqrt{x-4}) = -1, \\ \cos(\pi \sqrt{x}) = -1. \end{cases}$$
4. Указание e. При $x > 0, y > 0$ получаем $sin x = 1$, $sin y = 1$; при $x > 0, y < 0$ получаем $sin x + sin y = 0$; при $x < 0, y < 0$ должны быть $sin x = -1$, $sin y = -1$.
5. $x = 0, y = 0$. Указание e. Заметить, что $\sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x+1)^2} = |x-1| + |x+1| \geq 2$, поэтому $y = 0, |x| \leq 1$.

К статье «Линзы и системы линз»

1. См. рис. 1.
2. Дальнозоркому человеку следует происсать очики с собственными линзами оптической силы $D = 2 \partial nmp$.
3. $F = f/3 = 8$ см.
4. $K = \frac{F^2}{(d-F)^2 - (l/2)^2}$.

Рис. 1.

61

К статье «Московский институт инженеров железнодорожного транспорта»

Математика

Вариант 1

1. 20 км/час, 18 км/час.
2. x<-1.
3. arctg (3/4), arctg (4/3).
4. -0,5376.

Вариант 2

1. 6 часов, 12 часов; $t_1=4, t_2=1$.
2. $x<0, 2<x<7/2, x>4$.
3. $\sqrt{c^2+a^2+b^2+ab}$.
4. $x_1=\pi+2k\pi, x_2=\pi/2+2k\pi$ ($k$-целое).

Вариант 3

1. 3 десятиклассика и 9 девятиклассиков.
2. Указание. Положить $x+2=a, y-2=b$ и приведсти неравенство к виду $(a+b)^2-ab\geq0$.
3. arctg (3/4), arctg (4/3).
4. $\alpha+2\beta=\pi/2$. Указание. Перейдя к функциям двойных углов, получим из первого равенства $\cos 2\beta=\frac{3}{2}(1-\cos 2\alpha)$;
   подставив его в формулу $\cos^2 2\beta+\sin^2 2\beta=1$, найдем $\cos 2\alpha=7/9$. Далее найти $\cos(\alpha+2\beta)$.

Физика

Факультет автоматики и вычислительной техники

1. $|\vec{a}|=\frac{2(n-1)s}{(n+1)t^2}=0,24$ м/сек$^2$.
2. $v=\sqrt{l|\vec{g}| \sin \alpha \cdot tg \alpha}$.
3. $|\vec{F}_{\pi}|=\frac{8q|Q|}{R^2}=784$ дин.
4. $h=H-\frac{m}{\rho_B S}=4$ см.
5. $r=R \frac{n_1(n_2-1)}{n_2(n_1-1)}=0,4$ ом.
6. $\lambda_2=\frac{hc}{\lambda_1+E_2-m_e|\vec{v}_1|^2/2}=3,3 \cdot 10^{-7}$ м.
7. См. рис. 2.

Все остальные факультеты

1. $|\vec{v}_1|=15$ м/сек $=54$ км/час; $|\vec{v}_2|=10$ м/сек $=36$ км/час.
2. $t=\sqrt{\frac{(m_1+m_2)h}{(m_2-m_1)|\vec{g}|}} \approx 0,21$ сек.
3. $|\vec{g}|=\frac{4\pi^2n^2l}{t^2} \approx 9,86$ м/сек$^2$.
4. $\frac{\Delta V}{V}=\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)100\%=4\%$.
5. $n=\sqrt{R_1/R_2}$.
6. $m_\pi=\eta \frac{m|\vec{v}|^2}{2\lambda}=7,5$ е.
7. Мнимое и уменьшенное в 3 раза изобравжение на расстоянии $f=2/3$ F от линзы (см. рис. 3).

К заметке «Иззаоблачное» сияние
(см. с. 29)

Если стоять у железнодорожного полотна, то видно, как рельсы сходятся вдали. Точно так же расхождение солнечных лучей в разные стороны и расширение отдельных лучей объясняется эффективом перспективы. Лучи в действительности почти параллельны, но произзывают облака в разных местах. Это и создает иллюзию расхождения лучей «иззаоблачного» сияния. Красивый эффект, неправда ли?

«Укладка террамино»
(см. «Квант» № 1, с. 59)

Рис. 4.

К задачам
(см. «Квант» № 2, с. 9)
3. Указание. Нижнюю оценку нетрудно найти, вычислив сумму perвых 6 сла-

62

Гаемых. Для доказательства верхней оценки заметьте, что

$$\frac{1}{7!} + \frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} + \dots + \frac{1}{n!} < \frac{6}{7!} + \frac{7}{8!} + \frac{8}{9!} + \dots + \frac{n-1}{n!} = \frac{7}{7!} - \frac{1}{7!} + \frac{8}{8!} - \frac{1}{8!} + \frac{9}{9!} - \frac{1}{9!} + \dots + \frac{1}{n!} - \frac{1}{n!} = \frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} + \dots - \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} < \frac{1}{6!}.$$

4. а) $x = 6$; 6) $x = 8$, $y = 1$; в) $x = 8$, $y = z = 7$, $t = 4$.

К головоломкам

«16 карточек»

(cm. «Квант» № 2, c. 14)
БАРИН БУРАН БУЛКА КОЛБА
БИРКА БУРКА РОЛИК РУБКА
САТИН КЛОУН ЛУНКА СУКНО
СИЛОК СУРОК САЛОН РИСКА

(cm. «Квант» № 2, c. 34)

«Ходом коня»

| 52 | 35 | 16 | 49 | 42 | 33 | 14 | 47 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 17 | 38 | 51 | 34 | 15 | 48 | 43 | 32 |
| 36 | 53 | 18 | 41 | 50 | 31 | 46 | 13 |
| 39 | 4 | 37 | 54 | 11 | 44 | 25 | 60 |
| 8 | 19 | 40 | 3 | 30 | 61 | 12 | 45 |
| 5 | 2 | 7 | 10 | 55 | 26 | 59 | 24 |
| 20 | 9 | 64 | 29 | 22 | 57 | 62 | 27 |
| 1 | 6 | 21 | 56 | 63 | 28 | 23 | 58 |

«Точные квадраты»

«4 576 36 81 16 9025».

К статье «Много битов из ничего»

(cm. «Квант» № 3)

1. С одной стороны, без перебора мы умеем доказать, что не всякое нечетное число, больше трех, представимо в нужном виде, однako известное нам доказательство этого факта не элементарно. С другой стороны, перебор можно добрать до наименьшего непредставимого числа — 149.

2. Поскольку реплики ($\pi_1$), ($\sigma_1$) в общих диалогах совпадают, рассуждая трех первых разделов статьи остатся справедливыми. Таким образом, $s_0$ является элементом множества.

$C = \{11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53\}$, причем все элементы $C$ удовлетворяют условиям ($\sigma_1'$).

($\pi_2$) означает

При любом разложении числа $p_0$ в произведение двух множимелей, удовлетворяющих неравенствам (1), (2), их сумма обладает свойствами ($\sigma_1'$).

В статье доказано, что любое число, обладающее свойствами ($\sigma_1'$), принадлежит $C$. Поэтому мы можем заменить ($\pi_2'$) на

При любом разложении числа $p_0$ в произведение двух множимелей, удовлетворяющих неравенствам (1), (2), их сумма принадлежит $C$. ($\pi_2'$)

Переберем все представления чисел из $C$ в виде суммы двух слагаемых: $s = k + l$ ($2 \leq k \leq l$) и проверим какое произведение $kl$ на выполнение ($\pi_2''$). Перебор сокращится примерно вдвое, если предварительно при помощи ($\pi_2''$) доказать, что $p_0$ не делится на 4.

Результат перебора: только 4 числа из $C$ дают нам разложения $s = k + l$, для которых $kl$ удовлетворяет условиям ($\pi_2''$):

$23 = 6 + 17,$
$35 = 13 + 22,$
$37 = 3 + 34 = 11 + 26 = 14 + 23,$
$53 = 2 + 51 = 7 + 46.$

Поскольку $S$ и после реплики ($\pi_2$) не смог отладать $k_0$ и $l_0$, $s_0 \neq 23$ и $s_0 \neq 35$. Итак, ввиду ($\sigma_2$), $s_0 = 37$ или $s_0 = 53$.

Догадавшись об этом, $P$ сумел определить $k_0$ и $l_0$. Следовательно, $p_0 = 11 \cdot 26 = 286$, так как, если бы $y$ $P$ было 102 = $3 \cdot 34 = 2 \cdot 51$ или 322 = $14 \cdot 23 = 7 \cdot 46$, он не смог бы выбрать между 37 = 3 + 34 = 14 + 23 и 53 = 2 + 51 = 7 + 46.

Итак, $s_0 = 37$, $p_0 = 286$, $k_0 = 11$, $l_0 = 26$.

К статье «Стаwb на минус!»

(cm. «Квант» № 3)

Конtrlльные вопросы

1. а) d6; 6) h3; b) a7; r) h8.
2. а) I—5, II—4; 6) I—1, II—2; b) I—4, II—0.
3. адач и
4. Минусы строят на полях с нечетными номерами и горизонтали, и вертикали.

Рис. 5.

63

Рис. 6.

2. Минусы стоят на полях, у которых разность номеров горизонтали и вертикали делится на 3.
3. На поле стоят минус, если сумма номеров горизонтали и вертикали при делении на 3 дает в остатке 1.
4. См. рис. 5.
5. Минусы стоят на полях, у которых номера и горизонтали, и вертикали при делении на 4 дает остаток 1 или 2.
6. Минусы стоят только на главной диагонали (у полей которого номер горизонтали равен номеру вертикали).
7. См. рис. 6 (в случае e) период начинается с пятой клетки, во всех остальных — с первой).
8. a) Пусть на клетке с номером n (корочие: «клетке n») стоят минус. Тогда на клетках n + a и n + b стоят плосы, поскольку с них можно пойти на клетку n, а на поле n + a + b стоят минус, так как с него можно пойать только на клетки n + a и n + b.
   Пусть теперь на клетке n стоят плос. Тогда в соответствии с «золотыми правилами» на поле n — а или на поле n — b стоят минус. Если на n — а стоят минус, то, как доказано, на клетке n — a + (a + b) = n + b также стоят минус, а на клетке n + a + b — плос, так как с нее можно пойать на n + b.
   Слушай, когда минус стоят на n — b, разница аналогично.
   Итак, расстановка плосов и минусов периодична и полностью определяется расстановкой вертикals a + b знаков.

6. Расстотрим первый a + b клеток. Пусть для определения a < b. Расстановка знаков на первых b полях определяется только ходом на a клеток и потому такова: a минусов, a плосов, a минусов, a плосов…
   Поскольку ход на b клеток bleiben с полей с номерами b + 1, …, a + b ведет на один из первых a минусов, то на этих клетках стоят a плосов. Они едут за a минусами тогда и только тогда, когда b = a (2n + 1) (n — целое).
   Итак,лина период равна 2a, если b = a (2n + 1), и равна a + b в противном случае.

9. Как следует из решения задачи 8, количество минусов в начале равно a, а больший ход имеет длину, равную длине перiodа, минус a. Так, на рисунке 7 (в статье) a = 2, b = 7 — 2 = 5.

Но если получается b = a, то есть периодность сводится к чередованию a минусов и a плосов, то меньший ход равен именно a, а про больший можно сказать лишь, что он равен a (2n + 1), где n — натуральное число.

10. Пусть n — наиболее длинная хода. Тогда для того, чтобы отметить поле плосом или минусом, достаточно знать знаки лишь на предыдущих n полях. Разобъем полоску на последовательные группы по n клеток. По принципу Дирихле (см. «Квант», 1977, № 2, с. 17) расстановка знаков в каких-то двух группах совпадает. Пусть эти две группы начинаются с клеток k и p соответственно, причем k < p. Тогда расстановка знаков на клетках k, k + 1, …, p — 1 совпадает с расстановкой на клетках p, p + 1, …, p + (p — k — 1) и так далее. Другими словами, имеется период длины p — k, начинающийся с клетки k.

11. На рисунке 8,a (в статье) вторая клетка отмечена плосом, следовательно, есть ход на 1 клетку влево. Третья также отмечена плосом — есть ход на 2 клетки влево. Наконец, седьмая клетка отмечена плосом — есть ход на четвертую или на первую клетку. Если на четвертую клетку.No тогда на четвертой клетке во время рисунку должен стоять плос. Следовательно, есть ход на 6 клеток влево. Итак, этот рисунок соответствует игре, в котором ходить можно на 1, 2 или 6 клеток влево.

Могут ли быть другие игры с такой же расстановкой плосов и минусов? Да, конечно. Например, игра, в которой ходить можно на 1, 2, 6 или 13 клеток влево или на 1, 2, 5 или 6 клеток влево.

Рисунки 8, 6, 8 (в статье) соответствуют игре с ходами на 1,4 или 7 клеток влево и на 2,4 или 7 клеток влево.

12. Не всегда это сразу следует из рисунка 9, 6 в статье. Судя по его первым трех клеткам, в игре должны быть ходы на 1 и 2 клетки влево, но это противоречит дальнейшей расстановке знаков.

К задачам «Квант» для младших школьников

(см. «Квант» № 3)

1. Самый сильный — Портос, затем следует д’Артаньян, Аtoc и Аррамис.
2. У казан и е. Дробь сократима тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют общий множитель, отличный от единиц. Но

$$\frac{2n^2 - 1}{2n + 1} = n - \frac{n + 1}{2n + 1},$$

$$\frac{2n + 1}{n + 1} = \frac{2(n + 1) - 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1},$$

а дробь $$\frac{1}{n + 1}$$ несократима.

64

4. Прибавим к искомому числу единицу, полученное число должно делиться на все числа от 2 до 10. Поэтому искомым числом является наименьшее общее кратное чисел от 2 до 10, уменьшенное на 1; это 2519.

5. Можно. Две соседние части можно раскрасти в любые разные цвета, затем часть, граничную с ними обеими, — в третьей цвете и так далее.

К заметке «Мартовская капель»
(см. «Кваант» № 3, с. 15)

1. Для образования ледяного сталактита необходимо два условия: температура воздуха должна быть немного ниже 0°C, и должно быть источник текущей воды. Вода образуется из снега, лежащого на крышке здания, при освешении его солнечных лучами. Как известно, освещенность поверхности зависит от угла падения лучей. При соответствующей высоте Солнца над горизонтом и подходящем наклоне крыши поглощаемой снегом энергии может оказаться достаточно, чтобы снег начал таять. Но поскольку температура воздуха ниже 0°C, стекающее маленькие капли воды замерзают, образуется сосульки. 2) Вначале ледяная сосулька представляет собой цилиндрический столбик, вода медленно стекает по нему и повышает на его конце каплей. По мере роста длины столбика отделные капли талой воды не успевают с него стекать и замерзают, уголшая сталактит в верхней его части. 3) Длина ледяного конуса, при прочих равных условиях, зависит от некоторой оптимальной скорости притекания воды к нему: как больше, так и малая скорости не способствует росту ледяной сосульки. 4) Сосульки могут измениться под влиянием ветра, конвекционных потоков воздуха и других случайных факторов. 5) Ледяная сосулька — кристалл, оптически почти однородный и потому проразчный. Снег же имеет поликристаллический структуру. Вследствие многократных отражений и преломлений на гранах отдельных кристалlikов снега свет в нем диффузно рассеивается. Поэтому снег не проразчен.

К «Кваантово-волновым ребусам»
(см. «Кваант» № 3, з-ю с. обл.)

1. 95 846×95 846 = 9 186 455 716.
2. 26 953×26 953 = 726 464 209.
3. 26 157×68 351 = 1 787 857 107.
4. 24 153×24 153 = 583 367 409.
5. 18 594×18 594 = 345 736 836.
6. 48 957×24 751 = 1 211 734 707.
7. 52 903×52 903 = 2 798 727 409.
8. 46 027×46 027 = 2 118 484 729.
9. 12×7 = 84
10. 29×3 = 87
11. 39+8=47
12. 96:2=48.

К головоломкам
«Рамки из домино»
(см. «Кваант» № 3, с. 11)

Рис. 7.

64