Чётные и нечётные функции

38

Четные и нечетные функции

«В мир соедланый,
Вечно — ясный,
Чет и нечет нас влечет»
К. Балмонт

Эта статья адресована девятиклассикам и является иллюстрацией и дополнением к пункту 68 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9».

Четные функции

Напомним, что числовая функция $f$ называется целой, если выполенны следующие два условия:

(C) если $x \in D(f)$, то $u - x \in D(f)$, то есть область определения $D(f)$ функции $f$ симметрина относительно точки $0$ на координатной прямой $Ox$;

(Ч) $f(-x) = f(x)$ для любое $x \in D(f)$, то есть в симметричных (относительно точки $0$ на оси $Ox$) точках $x$ и $-x$ функции $f$ принимает одинаковые значения.

Примеры четыых функции: построная $c$ ($y = c$ при любом $x \in \mathbb{R}$), $x^2$, cos $x$.

График четыей функции на координатной плоскости $Oxy$ симметричен относительно оси ordinат. Доказывается это так. Если точка $M$ с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции $f$ (рис. 1), то есть $f(x_0) = y_0$, то, по определению четыей функции, $-x_0 \in D(f)$ и $f(-x_0) = y_0$, а потом и точка $M'$ с координатами $(-x_0; y_0)$ принадлежит графику функции $f$. Но точка $M'$ как раз симметрина точке $M$ относительно оси $Oy$. Таким образом, вместе со всякой точкой $M$ график четыей функции $f$ содержит и симметрично ей точку $M'$, а это и означает, что этот график симметричен относительно оси ordinат.

Четные функции

Функция $f$ называется нечетной, если выполенено условие симметрины (С) (см. выше) и следующего условие четырех функций тоже является нечетным функциями (доказите это самостояльно).

Нечетные функции

Функция $f$ называется нечетной, если выполенено условие симметрины (С) (см. выше) и следующего условие четырех функций также является нечетным функциями (доказите это самостояльно).

Легко видеть, что сумма и разность двух нечетных функций, а так-

39

же произведение нечетной функции на число являются нечетными функциями.

КонтROLные вопросы

1. Четной или нечетной функции является произведение двух нечетных функций?
2. Какой функцией является произведение четной и нечетной функции?

Ни четные, ни нечетные функции

Отметим, что «нечетная функция» — это отношь не то же самое, что «нечетная функция» (то есть функция, не являющаяся четной). Как правило, функция, «взятая наугад», не будет ни четной, ни нечетной: график «произвольной» функции не обязаан обладать каким-либо свойствами симметрии.

Пример 1. Функция $f(x) = \frac{1}{(x+1)}$ не является ни четной, ни нечетной, поскольку для ее области определения $D(f) = \{x | x \neq -1\}$ не выполняно условие симметрии (C): точка $x_0 = 1$ принадлежит $D(f)$, а точка $-x_0 = -1$ не принадлежит $D(f)$.

Пример 2. Функция $f(x) = x^2 + x + 1$ также не является ни четной, ни нечетной. Эта функция определяется в силу, и поэтому условие симметрии (C) для нее выполняено, однako ни условие (Ч), ни условие (Н) не выполняено. В самом деле, $f(-x) = x^2 - x + 1$. Положив $x = 1$, находим $f(1) = 1 + 1 + 1 = 3$, $f(-1) = 1 - 1 + 1 = 1$, и $f(-1)$ не равно ни $f(1)$, ни $-f(1)$.

Заметим и е. Ссылка на то, что выражения для $f(x)$ и $f(-x)$ «разные», поэтому «$f(-x) \neq f(x)$», иначе не доказыв вает: во-первых, совсем разные по своему внешнему виду выражения могут задать одну и ту же функцию; во-вторых, предположение «$f(-x) \neq f(x)$» содержит переменную $x$, и его истинность или ложность зависит от значения $x$ (например, в расматриваемом примере при $x = 0$ как раз $f(-x) = f(x)$). Условие (Ч) четности функции заключается в истинности высказывания «для любого $x \in D(f)$ выполено числовое равенство $f(-x) = f(x)$», а утверждение о том, что условие (Ч) не выполняется, заключается в истинности высказывания, являющегося отрицанием предыдущего:

«существует $x \in D(f)$ выполено числовое равенство $f(-x) = f(x)$», а утверждение о том, что условие (Ч) не выполняется, заключается в истинности высказывания, являющегося отрицанием предыдущего:

«существует $x \in D(f)$ выполено числовое равенство $f(-x) = f(x)$», а утверждение о том, что условие (Ч) не выполняется, заключается в истинности высказывания, являющегося отрицанием предыдущего:

Возникает вопрос: зачем вводить понятия четности и нечетности функции, если «большинство» функции не является ни четными, ни нечетными? Это мы сейчас и обьясим.

Физическая пример

Если физическая система обладает какой-нибудь симметрией, то и связанные с него функции часто имеют те или иные свойства симметрии. В простейших случаях возникют как раз четыые или нечетные функции.

Пример. На горизонтальной стержень — ось $Ox$ — надета одноподнаяружина, концы которой закреплены в симметричных точках $x = -d$ и $x = d$, а к середине пружины — в точке $x = 0$ — прикреплена шайба, свободно (без трения) перемещаются вдоль стержня (рис. 3, а). Пусть шайба отведена в точку с координатой $x$. Обозначим через $F(x)$ величины силы, действующей на шайбу со стороны пружины (точнее говоря, проекцию этой силы на ось $Ox$), а через $U(x)$ — потенциальную энергию шайбы в этом положении. Очевидно, пружине безразлично, вправо или влево отводится шайба: абсолотная величина силы и потенциальная энергия при смещении $x$ и $-x$ одинаковы, то есть

$$|F(-x)| = |F(x)|$$

и

$$U(-x) = U(x).$$

Учитывая, что сила в положениях $x$ и $-x$ направлена в противоположные стороны (см. рис. 3, б, б), может записать

$$F(-x) = -F(x).$$

Таким образом, из одних лишь сообразений симметрины мы получаем следующие:

40

1. функция $F(x)$, выражающая зависимость силы $F$ от смешения $x$, нечетная;
2. функция $U(x)$, выражающая зависимость потенциальной энергии от смешения, нечетная.

Математический пример
Очевидно, степенная функция $f(x) = x^n$, где $n \in \mathbb{N}$, при четном $n$ будет четной, а при нечетном $n$ — нечетной (собственно, отсюда и появляется эта терминология). Произвольный многочлен $p(x)$, вообще говоря, не будет ни четной, ни нечетной функцией *). Однако его можно представить в виде суммы двух многочленов $p_+(x)$ и $p_-(x)$, являющихся соответствующего четной и нечетной функциями. Например,

$$p(x) = x^7 + 2x^6 - x^5 - 3x^4 - 13x^2 + x + 17 = p_+(x) + p_-(x),$$

где $p_+(x) = 2x^6 - 3x^4 - 13x^2 + 17$ — сумма одночленов из $p(x)$, содержащих $x$ в четной степени, а $p_-(x) = x^7 - x^5 + x$ — сумма одночленов из $p(x)$, содержащих $x$ в нечетной степени.

Оказывается, что не только многочлен, но и любую функцию с симметричной области определения можно представить в виде суммы четной и нечетной функций!

Teорема
Если функция $f$ удовлетворяет условию симметрицы (C), то ее можно представить в виде суммы двух функций — четной $f_+(x)$ и нечетной $f_-(x)$:

$$f(x) = f_+(x) + f_-(x),$$

(1) областим определения компонных нежес, что у функции $f$: $D(f_+) = D(f_-) = D(f)$, причем макое представление единственно.

Доказательство. Допустим, что функция $f(x)$ уже представлена в виде (1) и функции $f_+$ и $f_-$ удовлетворяют соответствующим

$$f_+(-x) = f_+(x),$$
$$f_-(-x) = -f_-(x).$$

(*) Здесь и далее рассматриваются многочлены от одной переменной $x$, причем многочлен $p(x)$ мы отождествляем с функцией $x \rightarrow p(x)$.

Подставив в формулу (1) вместо $x$ значения $-x$, из формул (2) получим

$$f(-x) = f_+(x) - f_-(x).$$

(3)

Складывая равенства (1) и (3), получаем

$$f(x) + f(-x) = 2f_+(x),$$

откуда

$$f_+(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}.$$

(4a)

Аналогично, вычитая (3) из (1), находим

$$f_-(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}.$$

(46)

Таким образом, если функция $f$ представима в виде (1), то функции $f_+$ и $f_-$ однозначно отыскиваются по функции $f$ — с помощью формул (4). Следовательно, если представление (1) существует, то оно единственно.

А теперь — небольший триок: для произвольной функции $f$ определел им функции $f_+$ и $f_-$ соответствия (4).

Тогда из формул (4) следует, что, во-первых, $f_+(x) + f_-(x) = f(x)$, то есть (1) выполняется, и, во-вторых, что функции $f_+$ и $f_-$ являются соответствующими, четной и нечетной. Например, проверим условие (H) для функции $f_-$. Для произвольного $x$ имеем

$$f_-(-x) = \frac{f(-x) - f(-x)}{2} =$$

$$= \frac{f(x) - f(-x)}{2} =$$

$$= -f_-(x),$$

что и требовалось доказать. Четность функции $f_+$ проверяется точно так же.

Заметание. Приведенное доказательство носит, как говоря, конструтивый характер: мы не только доказали и существование и единственность представления (1), то и указыли формулы (4), по которым можно найти четную и нечетную «части» данной функции.

Конtrlные вопросы

3. Где в доказательстве использовано предположение о симметриности $D(f)$?

4. Согласно нашей теореме любая функция с симметричной области определения, в том числе и любая четная (или нечетная) функция, представляется в виде суммы четной и нечетной части. Найди функции $f_+$ и $f_-$, если

a) $f$-четная функция;
b) $f$-нечетная функция.

41

5. В «математическом примере» мы разложили неокоторый многочлен $p(x)$ в сумму четной и нечетной функции, «собрав» в одну функцию все однолетны, содержащие $x$ в четной степени, а в другую — однолетны, содержащие $x$ в четной степени.

Выведите это разложение с помощью формул (4).

6. Докажите, что если неокоторый многочлен является
   a) четной функции, то он содержит однолетны лишь с четными степениями $x$;

6. нечетной функции, то он содержит однолетны лишь с нечетными степениями $x$.

Упражнения

1. Данны 11 функции: $f_1(x) = \sqrt{x^2-1}$, $f_2(x) = \sqrt{x+1}$, $f_3(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$, $f_4(x) = x^2 + \sin x$, $f_5(x) = x^2 \cdot 2^x$, $f_6(x) = x^3 + x^4 - x^2$, $f_7(x) = x^3 + \cos x$, $f_8(x) = x^3 + \mathrm{tg} x$, $f_9(x) = x^3 \cdot \sin x$, $f_{10}(x) = \frac{2^x-1}{2^x+1}$, $f_{11}(x) = \lg(x + \sqrt{x^2+1})$.

Определите, какие из этих функций—четные, какие—нечетные, а какие—ни четные, ни нечетные (тогда представьте их в виде суммы четной и нечетной функции). Дайте соответствующее доказательства. (При обосновании тех или иных свойств четности не забудьте про заменение после примера 2!)

2. Найдите все четные и все нечетные функции среды:
   a) линейных функции
   $f(x) = ax + b$;

6. квадратных функции
   $f(x) = ax^2 + bx + c$;
   b) функций вида
   $f(x) = a \cos x + b \sin x$.

3. Следующие функции представьте в виде суммы четной и нечетной функции:
   a) $f(x) = x^2 + x - \frac{1}{x} + 2$;

6. $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x}$;
   b) $f(x) = (x^2 + 2x + 1) \mathrm{tg} x$;
   г) $f(x) = 2^x$.

4. Известно, что функция $f$ нечетна и $0 \in D(f)$. Найдите $f(0)$.

5. Найдите все функции $f$, являющиеся одновременно и четными и нечетными. (Преодотрезки и положительные на $R$?)

6. Существуют ли все одновременные функции, являющиеся одновременно
   a) четными и возрастящими на $R$;

6. нечетными и убывающими на $R$;
   b) нечетными и положительные на $R$?

7. Может ли
   a) четная;
   b) нечетная
   функция имеет в точности

1. одну;
2. две;
3. три точки экстремума?

8. a) Докажите, что производная четной функции нечетна, а производная нечетной функции, направив, четна.

6. Верны ли обратные утверждения:
7. если $f'(x)$ — четная функция, то $f(x)$ — нечетная функция;
8. если $f'(x)$ — нечетная функция, то $f(x)$ — нечетная функция?

9. $(a - e)$. Достройте график функции, изображенный на рисунке 4, до графика выдуну определенной, непрерывной на $R$ и

1. четной функции;
2. нечетной функции.

В каких случаях это невозможно? В каких случаях это можно сделать несколькими способами?

10 $(a - e)$. Известно, что функция $f$ выдуну определена, четна и перiodична с периодом $T = 4$. Востраньте ее график по участи, изображенную на рисунке 5. В каких случаях это нельзя сделать? В каких случаях это можно сделать, но неоднозначно?

11 (10 класс). Постройте графики следующих функции:
a) $y = \arccos(\cos x)$;
6) $y = \arcsin(\sin x)$;
b) $y = \arctg(tg x)$;
г) $y = \arcsin(\cos x)$.