Решения задач М385 г), М395; Ф403—Ф406

Рис. 1.

Рис. 2.

a) При каком наименьшем $K$ можно проводить $K$ непересекающийся шампуров так, чтобы к ним нельзя было добавить еще один не пересекающий их шампур?

b) При каком наименьшем $K$ можно проводить $3K$ непересекающийся шампуров так, чтобы средних были $K$ шампуров каждого направления?

Ф448. Почему бревна, пдывушие по реке, ориентированы всегда по течение, а не поперек его?

Ф449. Продолжительность контакта двух соударюшихся шаров можно определить, изменяя уменьшение заряда конденсатора при мгновенном замыкании присоединенного к нему сопротивления, соединенного с шарами. Какие меры предосторожности необходимо предусмотреть при выполнения этого опыта? Пусть $C=0,1$ мкф, $R=10\,000$ ом, отброс галванаометра после мгновенной утечки 10,11 cm, без утечки — 11,94 cm. Найти время столько времени.

Ф450*. Ядро массы $m$, летящее со скоростью $v_0$, распадается на лету на два одинаковых осокла. Определить максимальное возможный угол между вектором скорости одного из осокков и вектором $v_0$, если при распаде покоящется ядра осокли имеют скорость $v<v_0$.

Ф451. Нарисуйте примерный график зависимости тока через сопротивление $R$ от положения движения (рис. 2). При каком значении $y=x/l$ этот ток максимален?

Ф452. Для чего делают рассоры у автоматия?

Решения задач
M385 г), M395; Ф403—Ф406

М385. е) Докажите, что для любых двух выпуклых многоочельников $F$ и $G$ с вершинами в уздах выражение $N(nF+mG)$ является многоочельном от $n$ и $m$ (здесь имеется в виду сумма Минковского).

В «Кваните» № 5 за прошленный год была опубликована несовсем обычная задача M385. Пронее было написано, что она — тема для настоящего математического исследования. Поэтому присылать ее решения можно в течение шести месяцев.

В этом номере журналы мы помещаем статью автора задачи M385 А. Кушиниренко, в которой разработана небольшая теория, позволяющая решить все пункты задачи, кроме пункта г) *).

*) Число цельх точек, попавших на границу многоочельника (многогранника) $F$, которое в условиях задачи M385 обозначает через $N(\overline{F})$, в статье А. Кушиниренко обозначает через $B(F)$.

До получения писем редакции было известно два решения задачи г): $n$-мерное обобщение этой задачи было расссказано Мак-Мулленом на Международном математическом conferences in 1974 году и — с другой решением — опубликовано Д. Н. Берништейном в журнале «Функциональный анализ и его приложения», № 3 за 1976 год.

Читатели А. Касянчук из Николаева и М. Народцкий из Куйбышева прислада решение этой задачи, отличношее от известных решений (см. ниже).

Э. Туркевич из Черновиц прислада очевидка доказательство формул для трехмерного случая. Стоит заметить, что доказательству одной из этих формул посвязывана большая часть научной статьи Дж. Рица «Об объеме решочных полидров», опубликованной в журнале «Proceedings of London Mathematical Society» 7, № 7, 1957 год.

В. Медведь из Молодечно и Э. Туркевич прислада несколько новых формул для трехмерного случая (одну из них читатель найдет на с. 19 в упражнениям 8), а В. Смовбе из Москвы и М. Народцкий прислада обобщения задачи М385 на $n$-мерный случай.

Приведем план решения задачи г), прислаанного Касянчуком и Народцким.

Шаг 1. Если $F$ и $G$ — выпykлы многоугольники и $m$ и $n$ — натуральные числа, то

$$S(nF + mG) = n^2S(F) + m^2S(G) + cnm,$$

(*) где $c$ — некоторая константа, не зависит от $n$ и $m$. (Это утверждение есть задача 2,a) из статьи Н. Васильева «Сложение фигур», «Квант», 1976, № 4).

Шаг 2. Если $F_1$ и $F_2$ — целочисленные многоугольники, то

$$N(F_1 + F_2) = N(F_1) + N(F_2).$$

(**)

Шаг 3. По формуле Пика: $S(nF + mG) = N(nF + mG) - \frac{1}{2}N(\overline{nF} + mG) - 1$. Применяя формулы (*) и (**), получаем: $n^2S(F) + m^2S(G) + cnm = N(nF + mG) - \frac{1}{2}N(\overline{nF}) - \frac{1}{2}N(\overline{mG}) - 1$.

Поскольку $N(\overline{nF}) = nN(\overline{F})$, получаем, что $N(nF + mG) = n^2S(F) + m^2S(G) + cnm + \frac{n}{2}N(\overline{F}) + \frac{m}{2}N(\overline{G}) + 1$ — многочлен от $m$ и $n$.

Л. Гаврилов

◆

М395. В вершинах правильного $n$-уольника с центром в точке О расставлены числа (+1) и (-1). За один шаг разрезается изменить знак у всех чисел, стойцих в вершинах какого-либо правильного $k$-уольника с центром О (при этом мы допуская и 2-уольники, поимая под 2-уольником отрезок с серединой в точке О). Докажите, что в случае $a), b), c)$ существует такое расставление, называющее расположение (+1) и (-1), что из него ни за какое число шагов нельзя получить набор из одних (+1):

а) $n=15$,
б) $n=30$,

Заметим, что конечная расставка зависит от исходной расставки и того, какие многоугольники выбирались, но не зависит от порядка, в котором это делалось. Действительно, в каждой вершине стоит то же число, что и в начальной расставке, если эта вершина попала в четное число многоугольников, и число, противоположное по знаку, — если в нечетное; порядок, тем самым, несуществен. Кроме того, ясно, что в одном и том же многоугольнике производить замену знаков более одного раза не имеет смысла.

Назовем две расставки эквивалентными, если они могут быть получены друг из других (если расставка $N$ может быть получена из расставки $M$, то и наоборот, $M$ может быть получена из $N$). Множество всех расставок, эквивалентных какой-нибудь расставке, называется классом эквивалентности, эквивалентны (так как от любой из них можно перейти к любой через расставку, порядкацую этот класс), а расставки из разных классов — не эквивалентны.

36

Рис. 7.

Ф405. Оdnородную монокстменную сферу радиуса $R$ разрезали на две части и скрепили, как показано на рисунке 7. На какой высome находится центр мяжестни получившего бокала, если высота его ножки $h$?

Рассделим бокал на отдельные плоские полоски высоты $\Delta h \ll R$ так, как показано на рисунке 8. Очевидно, что центр тяжестни всего бокала это, по существу, центр тяжестни системы таких полосков.

Но центр тяжестни каждого такого полоска находится в центре окружности радиуса $r_i$, где $r_i$ — средний радиус полоска. Так что нам надо найти положение центра тяжестни системы материалов точек, расположенных на вертикальной прямой, проходящей через центр сферы. Масса каждой точки — это масса соответствующего полоска. Посмотрим, от чего она зависит.

Пусть $\rho$ — плотность единиц поверхности материалов сферы. Площадь поверхности каждого полоска равна (см. рис. 8)

$$s_i = 2\pi r_i l = 2\pi R \sin \alpha \frac{\Delta h}{\sin \alpha} = 2\pi R \Delta h,$$

а масса—

$$m_i = \rho 2\pi R \Delta h.$$

Мы видим, что массы всех полосков одинаковы и зависит только от их высоты $\Delta h$ (при данных $\rho$ и $R$).

Таким образом, центр тяжестни бокала — это центр тяжестни системы материалов точек равных масс, равномерно распределенных вдоль вертикального отрезка длины $2R$ ($\Sigma \Delta h_i = 2R$).

Следовательно, центр тяжестни бокала находится на середине его высоты, т. е. на высоте $R$ от «основания» бокала.

И. Слободечкий

Ф406. Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности земли, равном ее радиусу $R$. В некоторых моментах со спутника запускается смачщенная нерзия мела массы $m$ в поле мяотеня мела массы $M$ равна $U = -\gamma \frac{mM}{r}$.

Из условия задачи ясно, что точка старта станции является наиболее удаленной от земли точкой орбиты «остатка» спутника. В этой точке скорость спутника $u$ и скорость «остатка» $w$ направлены вдоль одной прямой, перpendикулярной радиусу-вектору, проведенной из центра земли (рис. 9). Из закона сохранения импульса

$$\vec{Mu} = \mu \vec{w} + m \vec{v}$$

(1)

($M$ — масса спутника, $\mu$ — масса отstatка, $m$ — масса станции, $\vec{v}$ — ее скорость сразу после старта) следует, что и скорость станции $v$ сразу после старта направлена вдоль этой же прямой.

Очевидно, более высоким является случай, когда скорость станции сразу после старта направлена в ту же сторону, что и скорость спутника непосредственно до старта, а скорость «остатка» направлена в противоположную сторону (см. рис. 9).

Тогда

$$|\vec{mv}| = |Mu| + |\mu \vec{w}|.$$

(2)

Отношение $m : M$ найдем из (2), учитывая, что $m + \mu = M$:

$$\frac{m}{M} = \frac{|\vec{u}| + |\vec{w}|}{|\vec{v}| + |\vec{w}|}.$$

37

Определим значения $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$, $|\vec{w}|$.

Скорость спутника определяем из условия движения по круговой орбите. Центрстременное ускорение спутнику сообщает сила прятяжения к Земле:

$$\frac{M u^2}{2 R} = \gamma \frac{M_0 M}{4 R^2}$$

($M_0$ — масса Земли). Отсюда

$$|\vec{u}| = \sqrt{\gamma \frac{M_0}{2 R}}.$$

Полная механическая энергия станции в момент старта равна $\frac{m v^2}{2} - \gamma \frac{M_0 m}{2 R}$. По мере удаления от Земли потенциалыная энергия станции увеличивается, и далее от Земли (на бесконечности) она равна нулю. Минимальная скорость, которую имеет станция в момент старта, должна быть такой, чтобы уменьшение кинетической энергии станции за время полета было уведомлено ее потенциальной энергии.

Тогда на бесконечности и кинетическая энергия станции будет равна нулю. Следовательно, в момент старта полная механическая энергия станции должна быть равна нулю, т. е.

$$\frac{m v^2}{2} - \gamma \frac{M_0 m}{2 R} = 0.$$

Отсюда

$$|\vec{v}| = \sqrt{\gamma \frac{M_0}{R}}.$$

Определим значение $|\vec{w}|$. Согласно второму закону Кеплера радиус-вектор «остатка», движущемся по эллиптической орбите, за равные времена заметят равные площади.

Если в перигree скорость остатка $\vec{w}'$ (рис. 10), то за малый промежуток времени $\Delta t$

$$2 R |\vec{w}| \Delta t = R |\vec{w}'| \Delta t$$

(время $\Delta t$ достаточно мал, чтобы считать, что $|\vec{w}|$, $|\vec{w}'|$ и длины радиусов-векторов остаются постоянными).

Согласно закону сохранения энергии

$$\frac{\mu w^2}{2} - \gamma \frac{M_0 \mu}{2 R} = \frac{\mu (w')^2}{2} - \gamma \frac{M_0 \mu}{R}$$

Из (4) и (5) найдем $|\vec{w}|$:

$$|\vec{w}| = \sqrt{\gamma \frac{M_0}{3 R}}.$$

Подставив найденные значения $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$ и $|\vec{w}|$ в выражение (3), окончательно получим

$$\frac{m}{M} \approx 0,8.$$

В. Белонучкин