Styopa Moshkin lặp lại hình học

51

E. Semenov

Styopa Moshkin lặp lại hình học

1. Có chuyện gì vậy? Và cô ấy có tồn tại không?

Đã lâu rồi Styopa Moshkin mới về nhà buồn bã như vậy.
“Cha ơi, con đã cố gắng biết bao,” anh ước với cha mình. “Đây là trục đối xứng - được vẽ bằng màu đen (xem Hình 1). Tam giác này là tam giác Sin! Nhưng tam giác màu vàng là hình ảnh của tam giác này trong sự đối xứng trục. Mọi thứ đều có màu sắc, được thực hiện cẩn thận, như lẽ ra phải thế! Nhưng Pyotr Ivanovich thậm chí còn không nhìn kỹ, thậm chí còn không nhặt nó lên. Ông ấy nhìn một cái và nói: “Sai rồi! Bạn lặp lại hình học kém. Chúng ta sẽ phải phân phối lại!” Tại sao phải làm lại nếu mọi thứ được thực hiện rất cẩn thận!

Người cha chậm rãi đợi cho đến khi con trai bình tĩnh lại một chút, mới xem xét bức vẽ của con. Sau đó anh ấy nói:

• Vâng, thật không may, Pyotr Ivanovich nói đúng: bạn lặp lại tài liệu này khá kém. Thực sự có những sai lầm ở đây.

• Loại gì cơ?! - Styopa kêu lên.

• Trước hết hãy cho biết đối xứng trục với trục l là gì?

• Chà, đây là sự pha trộn trong đó các điểm cay vẫn được giữ nguyên, một…

• Đừng tiếp tục nữa, đủ rồi. Điều kiện này có được đáp ứng trong bản vẽ của bạn không?

Styopa đứng hình trong tư thế vẽ có lỗi.

Nhìn hình vẽ cũng được. Bạn có thấy hình tam giác nhỏ màu vàng được hình thành khi các đường l, AC và A₁C₁ giao nhau không? Và một cái khác ở phía bên kia? Đây là sai lầm của Styopa. Đoạn A₁C₁ phải cắt đường thẳng l tại cùng một điểm với đoạn AC, vì đối xứng với trục l nên các điểm của l cay vẫn giữ nguyên.

Những điểm như vậy - được giữ nguyên trong một số bản đồ - được gọi là cố định. Chúng thường có thể được sử dụng để xây dựng hình ảnh của một hình vẽ.

2. Một đội hình khác

Tanya đã quyết định bài toán giống như Styopa, theo cách khác, và trong bài học tiếp theo, Peter Ivanovich đã mời Styopa, người đang để mắt đến bức vẽ của Tanya (Hình 2), kể về cách cô ấy thực hiện các công trình xây dựng. Styopa ngay lập tức nhận thấy Tanya đã sử dụng la bàn và thước kẻ, và các điểm A₁, B₁ và C₁ hóa ra là giao điểm của mỗi vòng tròn.

• Vòng tròn có liên quan gì tới nó? —

52

Styopa bắt đầu suy nghĩ thành tiếng. - Đường tròn là tập hợp các điểm cách một điểm cho trước một khoảng bằng nhau. Và khoảng cách… khoảng cách được bảo toàn bởi sự đối xứng trục! Đúng vậy, Tanya có lẽ đã sử dụng điểm M và K của giao điểm của đường AC và BC với đường thẳng l. Điểm M giữ nguyên nên phải có

$$|MC| = |MC_1|,$$
và tương tự
$$|KC| = |KC_1|.$$

Điều này có nghĩa là điểm $C_1$ sẽ được lấy là giao điểm của đường tròn có tâm tại điểm M bán kính $|MC|$ với đường tròn có tâm K bán kính $|KC|$. Đúng, các đường tròn này sẽ cắt nhau tại hai điểm. Cái thứ hai là gì?… Vậy đây là điểm C. Mọi thứ đều rõ ràng. Tanya cũng xây dựng các điểm $A_1$ và $B_1$. Hóa ra là không cần đến thước để dựng ảnh của một điểm trong đối xứng trục. Hai điểm trên trục l và một la bàn là đủ. Xin chào!

3. Điểm cố định giúp Stepa

Vào buổi tối, Styopa nói với bố về phương pháp xây dựng hình ảnh của một điểm trong đối xứng trục của Tanya, rồi làm bài tập về nhà. Mở cuốn sổ ra, anh đọc. “Ở nhà - giải bài toán 33” (xem “Hình học 6”, trang 104). Đây rồi, cái bài toán này.

Cho một trục đối xứng (MK), các điểm A, A’ đối xứng và một điểm B khác, cho thấy đường thẳng AB không

cắt trục đối xứng. Dùng một đường thẳng vẽ điểm B’, đối xứng với B (MK).

Styopa mô tả các yếu tố được chỉ định bằng màu đen (xem Hình 3) và bắt đầu suy nghĩ.

• Giá như tôi có thể sử dụng một hình vuông! Nhưng bạn không thể. Và la bàn cũng nằm trong số những chỉ dẫn “bị cấm”. Bạn chỉ có thể sử dụng một dòng. Phải làm gì?.. Tanya có một chiếc la bàn. Cô vẽ các vòng tròn cho họ và tìm thấy hình ảnh của một điểm là giao điểm của các vòng tròn. Tôi có một dòng. Một mình cũng vậy! Và tôi chỉ có thể dẫn đường thẳng. Vì vậy, có thể tìm điểm B’ là giao điểm của hai đường thẳng? Đây sẽ là loại đường thẳng nào? Rõ ràng là ảnh của các đường thẳng đi qua điểm B. Làm thế nào để tìm ảnh của các đường thẳng? Chúng ta cần hình ảnh của hai điểm. Vâng, có một hình ảnh của một điểm - xét cho cùng, dữ liệu là các điểm A và A'.

Styopa vẽ đường thẳng AB màu xanh lam (Hình 4) và bắt đầu suy luận sâu hơn.

— Chúng ta cần ảnh của một điểm khác trên đường thẳng AB. Vâng, nếu các đường thẳng AB và MK cắt nhau tại điểm E thì điểm E này cố định đối xứng với trục MK. Điều này có nghĩa là ảnh của đường thẳng AB sẽ là đường thẳng A’E.

Styopa vẽ một đường chấm A’E (Hình 4) và bắt đầu suy nghĩ lại.

• Vị trí trên đường A’E sẽ là điểm B’? Chúng ta cũng cần một đường thẳng. Làm thế nào để thực hiện nó? Có lẽ có một hình ảnh của một điểm khác?

53

Styopa đọc lại điều kiện bài toán một lần nữa. Không, không có hình ảnh của các điểm khác. Tuy nhiên,… người ta nói “điểm đối xứng A và A’”. Nó có nghĩa là gì? Điểm A’ là ảnh của điểm A. Nhưng khi đó A là ảnh của điểm A'.

Styopa nhanh chóng lấy một cây bút chì đẹp và vẽ thẳng chữ A’B. Hoan hô! Nó cắt đường thẳng MK tại điểm F (Hình 5), đường thẳng AF cắt đường thẳng A’E, và Styopa, đắc thắng, đặt gần giao điểm của chúng: B'.

Say sưa với chiến thắng trước nhiệm vụ có vẻ khó khăn, Styopa đóng cuốn sổ lại. Và cùng lúc đó, có điều gì đó khiến anh cảm thấy khó chịu: không phải mọi việc đều diễn ra suôn sẻ với nhiệm vụ. Styopa mở cuốn sổ ra, nhìn vào những bức vẽ và sững người.

• Nếu đường thẳng AF và A’E song song thì sao? - Anh vội vàng phác họa một bức vẽ. — Vậy giải bài toán như thế nào? Và đường thẳng AB có thể cắt đường thẳng MK ở ngoài tờ giấy thì sẽ không có điểm cố định!

Nhưng sau khi suy nghĩ một chút, Styopa đã bình tĩnh lại. Anh ấy cũng đã tìm ra cách lời giải bài toán trong trường hợp này.

Bài toán

1. Trong Hình 6, những hình này được hiển thị bằng màu sắc và hình ảnh của chúng đối xứng trục với trục l được hiển thị bằng màu đỏ. Có bất kỳ sai sót nào trong các công trình này không? Bạn có thể nhận ra họ “từ cái nhìn đầu tiên” không?

2. Styopa đã tìm ra cách lời giải bài toán (Số 33) trong trường hợp (AF) || (A’E) hoặc điểm E (hoặc F) xuất hiện bên ngoài tờ giấy. Bạn có thể làm được điều này không?

3. Cho trục đối xứng l, cặp điểm đối xứng A và A’ và đường thẳng a song song với l. Dùng một thước kẻ để quan sát ảnh đường thẳng a.

4. Trộn kiểu gì?… Không rõ… Nhưng có cần thiết phải biết không?

Lặp lại hình học, Stepa phải đạt điểm 20, viết bằng chữ in nhỏ (xem “Hình học 6”, trang 48).

“Điều này không cần thiết,” anh nghĩ. Nhưng vì tò mò nên tôi nhìn bức vẽ rồi dạy cháu đọc.

“2. Bất kỳ ánh xạ bảo toàn sự cân nhắc nào của một hình phẳng Φ lên một hình Φ₁ nằm trong cùng một mặt phẳng đều có thể được thực hiện bằng cách sử dụng phép dịch chuyển, nghĩa là sử dụng ánh xạ của toàn bộ mặt phẳng lên chính nó, bảo toàn các sự cân nhắc.”

“Việc ánh xạ hình F lên hình F₁, bảo toàn các cân nhắc…” Styopa nghĩ. - Nhưng điều này có nghĩa là Ф ≃ Ф₁! Chính xác, ở đây đoạn 14 là định nghĩa về số liệu mang tính xây dựng! Nhưng sau đó, thuộc tính được đọc nhiều có thể được trình bày lại như sau: nếu Ф ≃ Ф₁, thì có một độ dịch chuyển mà tại đó Ф được ánh xạ lên Ф₁?! Và trong phong trào này, bạn có thể xây dựng được hình ảnh của bất kỳ nhân vật nào không? Hấp dẫn. Hãy để tôi lấy tam giác ABC là Ф (Hình 7) và tam giác A₁B₁C₁ là Ф₁. Họ có nhiệm vụ nặng nề? Tôi nghĩ vậy. Vì thế. Điều này có nghĩa là có một bản dịch ánh xạ tam giác ABC lên tam giác A₁B₁C₁. Bây giờ tôi sẽ vẽ một nửa mặt phẳng khác có ranh giới BC, không chứa tam giác ABC. Và một hình vuông DEFG khác. Chúng được hiển thị ở đâu? Để tìm ra điều này, bạn cần… bạn cần biết đó là loại chuyển động gì. Nhưng đây là loại chuyển động gì? Nắm vững tính đối xứng?… Không. Xoay? Chuyển song song? Rõ ràng là không.

Stepa nghĩ. Anh vắt óc hồi lâu rồi cuối cùng cũng lên tiếng.

• Hoặc có thể bạn không cần biết điều này? Chỉ cần biết phong trào là gì và thế là đủ? Rốt cuộc, bạn có thể sử dụng tính chất chuyển động nói chung! Khi di chuyển, một nửa mặt phẳng được ánh xạ thành một nửa mặt phẳng và một đường thẳng được ánh xạ thành một đường thẳng. Tôi có (BC)→

54

Hình 7.

→ $(B_1C_1)$. Nhưng có hai nửa mặt phẳng có ranh giới $(B_1C_1)$. Nửa mặt phẳng “xanh” sẽ được hiển thị trên đó?.. Nửa mặt phẳng màu xanh không chứa điểm $A$… Điều này có nghĩa là hình ảnh của nó không được chứa điểm $A_1$!

Và Styopa, rạng rỡ đoán mò, sơn nửa mặt phẳng mà anh ta đang tìm kiếm màu đỏ.

• Chiến thắng! Nhưng vẫn chưa đầy đủ. Làm thế nào để dựng ảnh của một hình vuông?.. Hình vuông không nằm trong nửa mặt phẳng “xanh”, nghĩa là ảnh của nó sẽ không nằm trong nửa mặt phẳng “đỏ”… Nhưng dựng nó như thế nào? Tôi có thể làm gì? Tôi có thể tạo hình ảnh của các điểm $K$ và $L$ - những hình ảnh này sẽ nằm trên các đoạn $A_1B_1$ và $A_1C_1$, và ở cùng khoảng cách với điểm $A_1$ vì các điểm $K$ và $L$ cách điểm $A$. Sau đó, họ có thể kiểm tra đường $K_1L_1$ và trên đó, sử dụng la bàn, tìm các điểm $D_1$ và $G_1$… la bàn… Storp. Tanya đã làm điều này rồi. Cô ấy đã sử dụng một la bàn để xây dựng hình ảnh của các điểm mới dựa trên hình ảnh của những điểm đã biết. có lẽ ở đây chúng ta cũng có thể đánh dấu điểm $D$ từ các điểm $A$ và $B$ và chuyển các kích thước này thành hình ảnh của các điểm? Nếu tôi vẽ các vòng tròn có tâm tại các điểm $A_1$ và $B_1$ của bán kính $|AD|$ và $|BD|$, thì chúng sẽ giao nhau tại hai điểm. Một trong số đó là $D_1$. Chính xác thì cái nào? Đúng vậy, điểm $D$ nằm ngoài tam giác $ABC$, nghĩa là $D_1$ nằm ngoài tam giác $A_1B_1C_1$. Hoặc bạn cũng có thể tạo một vết khía từ điểm $C_1$, khi đó mọi thứ sẽ hoàn toàn rõ ràng. Và Styopa ngay lập tức xây dựng một hình vuông $D_1E_1F_1G_1$.

• Ồ, lại một phát hiện nữa! Thật là một công cụ tốt…

Hình 8.

Hình 9.

la bàn! — anh hùng của chúng ta thở phào nhẹ nhõm và bắt đầu nghĩ ra bài toán mới.

Nhiệm vụ 4. Trong một số chuyển động, tam giác $ABC$ được ánh xạ lên tam giác $A_1B_1C_1$.

a) Vẽ hình trên đó