Trường Toán Luzinsk

13

Trường Toán Luzinsk

P. Aleksaidrov

Tác giả bài viết này là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của Liên Xô, Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, viện sĩ Pavel Sergeevich Aleksaidrov. Bài báo nói về sự hình thành của một trong những trường phái toán học hiệu quả nhất - trường phái của viện sĩ N. N. Luzin. Ở bên trái (cột trường đại học) là những thuật ngữ ít quen thuộc với học sinh và đã gặp trong bài viết.

HÌNH HỌC KHÁC BIỆT - một phần của hình học nghiên cứu các đường cong chính của đường và bề mặt bằng các phương pháp tính toán vi phân. Nó xem xét các tính chất của các đường tiếp tuyến với các đường cong phẳng và không gian, các mặt phẳng tiếp tuyến với các bề mặt cong và các loại đường khác nhau.

Trường toán học lý thuyết tập hợp Matxcơva hiện đại ra đời trong những năm đầu tiên của cuộc cách mạng bên trong các bức tường của Đại học Mátxcơva. Người sáng lập của nó là Dmitry Fedorovich Egorov và Nikolai Nikolaevich Luzin.

Trong những thập kỷ trước khi nó xuất hiện, bắt đầu từ những năm 70 của thế kỷ 19, mối quan tâm của các nhà toán học Moscow chủ yếu tập trung vào các vấn đề về hình học vi phân và cơ học.

Những vấn đề này, liên quan chặt chẽ đến lý thuyết phương trình vi phân với từng phần tùy ý và lý thuyết ánh xạ tuân thủ, được phát triển về mặt văn hóa, một mặt, bởi nhà hình học xuất sắc người Latvia Karl Mikhailovich Peterson, sống ở Moscow và giữ một vị trí khiêm tốn là một giáo viên thể dục, mặt khác, gắn liền với những công trình đáng chú ý của cơ học vĩ đại Moscow: Nikolai Egorovich Zhukovsky và học trò của ông là Sergei Alekseevich Chaplygin. Hoạt động của các nhà khoa học này có mối liên hệ chặt chẽ với Hiệp hội Toán học Moscow, được thành lập vào giữa những năm 1860 và hoạt động trong suốt những thập kỷ qua.

14

các bề mặt (ví dụ: các bề mặt hình trụ, hình nón, xoắn ốc), những thay đổi về độ dài của đường thẳng, diện tích diện tích và góc trên các bề mặt cong, cũng như các tính chất của bề mặt không thay đổi theo các ánh xạ nhất định. Một phần quan trọng của hình học vi phân là lý thuyết về đường trắc địa trên một bề mặt, tức là các đường ngắn nhất nối hai điểm trên một bề mặt (trên mặt phẳng là đoạn thẳng, trên mặt cầu là cung của một đường tròn lớn). Trong công trình của Thang đo hình học vi phân Moscow, đặc biệt là họ đã nghiên cứu sự uốn cong của các bề mặt, tức là các ánh xạ không làm thay đổi độ dài của các đường trên chúng. Về cơ bản, bạn đã xử lý hình học vi phân khi nghiên cứu các tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở lớp 9.

PHƯƠNG TIỆN KHÁC BIỆT - phương trình chứa tích của các hàm mong muốn. Nếu các hàm này phụ thuộc vào một đối số thì các phương trình vi phân được gọi là thông thường, và nếu chúng phụ thuộc vào một số phương trình trong các phần của đạo hàm thì những phương trình sau này thường được gọi là phương trình toán vật lý.

BẢN ĐỒ CONFORMAL là ánh xạ bề mặt tới bề mặt bảo toàn góc giữa các đường. Một ví dụ là sự hình thành các phân khu mà bạn đã học trong hình học. Một ví dụ khác là phép chiếu lập thể của một quả cầu lên một mặt phẳng (một phép chiếu trong đó quả cầu được chiếu từ kệ trên cùng lên một mặt phẳng chạm vào nó ở cực nam). Ánh xạ phù hợp đóng một vai trò quan trọng trong cơ học khoai tây, cơ học chất lỏng, cơ học khí động học và các lĩnh vực khoa học khác.

Hình học vi phân được chấp nhận cho đồng rúp trong thế kỷ qua và mối quan tâm toán học của B.K. Mlodezevsky và D.F. Egorov, lúc bấy giờ là giáo sư toán học nổi tiếng nhất tại Đại học Moscow. Sự tham gia cơ bản của D. F. Egorov trong việc tạo ra thang đo Moscow của lý thuyết hàm bắt đầu từ năm 1911-1913, khi ông chứng minh (1911) định lý quan trọng của mình về chuỗi các hàm được sửa đổi và liên quan đến định lý này, ông đã trình bày cho học trò giỏi nhất của mình N. N. Luzin bài toán bằng chứng về một trong những định lý chính của lý thuyết hàm đang phát triển vào thời điểm đó. Το thái độ mà B.K. Tất nhiên, Mlodezevsky phải tạo ra quy mô Moscow của lý thuyết chức năng, thậm chí không thể so sánh được với sự tham gia cơ bản của D.F. Egorov, nhưng vẫn cần được đề cập: thực tế là B.K. Mlodezevsky, người chưa bao giờ làm việc trong lĩnh vực này, nhưng là một nhà toán học được giáo dục rộng rãi, người có ý tưởng về mọi thứ đã được thực hiện trong thời đại của ông, là giáo sư đầu tiên ở trường đại học Moscow (và nói chung là bất kỳ người Nga nào), người đã dạy một khóa học về lý thuyết tổng quát về hàm số biến thực tại trường đại học. N.N. Luzin cũng giảng dạy khóa học này và đã nhiều lần nói về nó với sự công nhận tuyệt vời.

Hai giáo sư toán học xuất sắc nhất giảng dạy tại Đại học Mátxcơva vào phần ba đầu thế kỷ hiện tại: D. F. Egorov và N. N. Luzin, với tư cách là giảng viên và giáo sư đại học nói chung, được coi là hai loại đối lập nhau. Tôi có thể nói là D. F. Egorov chấp nhận kiểu người cổ điển, và N. N. Luzin - kiểu người lãng mạn. Trong các bài giảng của D.F. Egorov, họ luôn được chuẩn bị kỹ càng một cách hoàn hảo, mọi bằng chứng đều có đầy đủ và được trình bày một cách tuyệt đối và nghiêm ngặt. Không có yếu tố ngẫu hứng nào ở họ, và chúng phù hợp với trình độ đào tạo và mức độ hiểu biết về các trường hợp mà họ dự định thực hiện. Bề ngoài, D.F. Egorov luôn cực kỳ nghiêm túc; ông không sử dụng bất kỳ kỹ thuật hùng biện hay trang trí nào, và đối với những người không quen với phong cách trình bày của ông, các bài giảng của ông thậm chí có thể có vẻ hơi khô khan. Trên thực tế, có một sự nâng cao thực sự trong bài thuyết trình của ông, nhưng sự nâng cao này, giống như tất cả các khía cạnh thực nghiệm trong tính cách của ông với tư cách là một nhà khoa học và giáo sư, phụ thuộc vào một hình thức có cấu trúc và thậm chí có vẻ hơi khắc nghiệt. Ngược lại, N. N. Luzin là một đại diện nổi bật của kiểu giáo sư “lãng mạn”.

15

TẬP ĐO LƯỜNG ĐO LƯỜNG - nhiều phương pháp xây dựng các tập hợp đã sửa đổi bằng phương pháp trong bài viết này của Viện sĩ P. S. Aleksandrov - vào những năm đó, một sinh viên đại học bắt đầu học toán.

CHỨC NĂNG CÓ THỂ ĐO LƯỜNG - một hàm có thuộc tính đối với bất kỳ $a$ và $b$ nào thì tập hợp các điểm $x$ mà $a \leq f(x) < b$ có thể thay đổi được. Mọi hàm liên tục đều có thể thay đổi được. Một ví dụ về hàm không liên tục nhưng có thể thay đổi là hàm Dirichlet, bằng 0 ở mọi chữ cái đầu ở mọi điểm hữu tỷ. Nếu chúng ta loại bỏ khỏi miền định nghĩa của hàm Dirichlet tất cả các số hữu tỷ

trường đại học. Toàn bộ quá trình giao hàng của anh ấy vô cùng xúc động. Hình thức giao hàng này không phải lúc nào cũng hoàn hảo. N. N. Luzin vô tình giảng bài và chuẩn bị sơ sài và ngay lập tức, đứng trước mặt các sinh viên, ứng biến một bằng chứng chưa sẵn sàng. Đồng thời, anh thường xuyên mắc lỗi, nhầm lẫn trong tính toán và trì hoãn cho đến tài liệu bài giảng tiếp theo dành cho bài giảng này nhưng hóa ra lại không được chuẩn bị trước. Nói một cách dễ hiểu, màn trình diễn của anh ấy không thể gọi là mẫu mực. Đồng thời, đôi khi anh ấy cũng có phần tỏ ra tán tỉnh với sự “không mẫu mực” này của mình. Nhưng các bài giảng của Luzin, trong thời kỳ hoàng kim trong hoạt động giảng dạy của ông tại Đại học Moscow, chứa đầy những ý tưởng mới và thú vị có thể khuyến khích các nghiên cứu độc lập hơn nữa. N. N. Luzin sở hữu năng khiếu quyến rũ tâm trí và đốt cháy trái tim ở mức độ cao nhất. Đương nhiên, kết quả của niềm đam mê và sự đánh lửa này là khác nhau tùy thuộc vào vật liệu dễ cháy mà tia lửa cảm hứng ném vào đó rơi vào. Những nhà toán học trẻ có năng lực, và có rất nhiều người trong số họ đã nghe N.N. Luzin, được khuyến khích tiến hành nghiên cứu nghiêm túc và sâu sắc của riêng mình, đạt được tiến bộ hơn nữa trong khoa học toán học. Nhưng cũng có những cô gái chỉ nhiệt tình thốt lên rằng phục vụ Luzin tốt hơn phục vụ Chaliapin, điều này đã hạn chế sự nhiệt tình của họ đối với ý tưởng toán học của người thầy vĩ đại.

Không kém phần quan trọng so với bản chất của các bài giảng của Luzin, khuyến khích và, tôi có thể nói, truyền cảm hứng cho sinh viên tiến hành nghiên cứu độc lập trong lĩnh vực toán học, là phong cách tương tác hoàn toàn mới giữa giáo sư và sinh viên được Luzin đưa vào thực tiễn giảng dạy của chúng tôi. Nó sinh ra sự tự do và thoải mái tuyệt vời, không có bất kỳ hình thức nào và thay thế những biểu hiện tôn trọng bên ngoài của học sinh bằng sự tôn trọng thực sự sâu sắc, thường chuyển thành sự ngưỡng mộ nhiệt tình. Sự tôn trọng này khiến cho không thể có được sự tự do, tự phát trong mối quan hệ giữa N.N. Luzin và các học trò của mình thoái hóa thành bất kỳ kiểu quen thuộc nào.

Lần đầu tiên tôi gặp N.N. Luzin năm 1914, khi còn là sinh viên năm thứ 2. Thành thật mà nói, ấn tượng từ cuộc gặp gỡ này là đáng thất vọng và sẽ được tôi nhớ mãi. Quay sang Luzin sau khi kết thúc bài giảng của anh ấy để xin lời khuyên về cách làm toán trong tương lai, trước hết tôi bị ấn tượng bởi sự chu đáo và (tôi không thể tìm được từ nào khác) sự tôn trọng dành cho chủ sở hữu, cho dù từ này nghe có vẻ kỳ lạ đến mức nào khi nói đến một người đã nổi tiếng, mặc dù vẫn còn trẻ.

16

V. V. Golubev

ny điểm (theo một quan điểm nhất định là “nhỏ hơn” so với các điểm hữu tỷ), thì hàm Dirichlet biến thành một hằng số, nghĩa là nó trở nên liên tục trên miền định nghĩa rút gọn. Một thành tựu lớn của phân tích là nỗ lực chỉ ra rằng các hàm phát triển được quan tâm để phân tích “hầu hết” là liên tục. Đây là các hàm “Lebesgue có thể đo được”. Kết quả của D. F. Egorov và N.N. Luzin đã đóng một vai trò lớn trong việc làm sáng tỏ mọi vấn đề liên quan ở đây.

ZERMELO’S AXIOM là một phát biểu được nhà toán học người Ý Zermelo sử dụng rằng đối với bất kỳ tập hợp các tập hợp rời rạc theo cặp nào, một tập hợp mới có thể được xây dựng bằng cách chọn một phần tử từ mỗi tập hợp. Mặc dù có giá trị giáo dục, nhưng tuyên bố này (còn gọi là tiên đề lựa chọn tùy ý) dẫn đến những kết quả rất nghịch lý (ví dụ, tuyên bố rằng một hình cầu có thể được chia thành 4 tập hợp bằng nhau để từ hai tập hợp người ta có thể thu được một hình cầu và quay chúng so với tâm). Một số nghiên cứu ở quy mô toán học Moscow được dành để tìm hiểu cách một nhà khoa học làm việc với một học sinh 18 tuổi mới bắt đầu tiếp xúc với toán học. Sau khi lắng nghe tôi, Luzin, thông qua những câu hỏi được đặt ra một cách khéo léo, đã nhanh chóng hiểu được bản chất thiên hướng toán học của tôi và ngay lập tức, dưới một hình thức mà tôi có thể tiếp cận được, vạch ra những hướng chính mà anh ấy có thể đưa ra cho tôi để nghiên cứu thêm; Rất cẩn thận, chính anh ấy đã thuyết phục tôi chọn một trong những hướng đi này, và tất cả những điều này được thực hiện một cách tinh tế, không có bất kỳ áp lực nào và, như bây giờ tôi có thể nói, một cách chính xác. Lúc đó tôi đã trở thành học trò của Luzin.

Việc tôi làm quen với Luzin xảy ra khá chính xác vào giữa thập kỷ mà anh ấy đạt được những kết quả quan trọng nhất. Sau đó, ông sống hoàn toàn một mình trong những căn phòng đầy đủ tiện nghi (trang trại Kokorevskoe trên Balchug), chỉ sống bằng khoa học. Tôi nhớ một câu của anh ấy đã nói trong một trong nhiều cuộc gặp của chúng tôi: “Tôi nghĩ ngày đêm về tiên đề của Zermelo (tiên đề về sự lựa chọn tùy ý trong lý thuyết tập hợp). Giá như ai đó biết được điều này là gì!”

Gặp gỡ Luzin trong những năm này, tôi thực sự thấy được điều có thể gọi là thái độ đầy cảm hứng đối với khoa học, và tôi không chỉ học toán từ anh ấy mà còn nhận được bài học về thế nào là một nhà khoa học thực sự, cũng như thế nào là một giáo sư đại học.

Sau đó, tôi nhận ra rằng khoa học và việc thu hút những người trẻ mới vào đó là hai mặt của cùng một hoạt động - hoạt động của một nhà khoa học. Tất cả những điều này vẫn còn với tôi cho đến hết cuộc đời. Hoạt động sư phạm tại Đại học Moscow được trường Egorov-Luzin thực hiện theo nhiều hướng. D. F. Egorov đã dạy các khóa học bắt buộc về hình học vi phân, phương trình vi phân và phép tính biến phân. Ngoài ra, ông còn giảng dạy một số khóa học đặc biệt, tuy không bắt buộc nhưng rất phổ biến và được đông đảo học sinh tham gia. Các khóa học của D. F. Egorov cũng có thể coi là phần giới thiệu đầu tiên về phân tích hàm, một phương pháp mới nổi vào thời điểm đó.

N.N. Luzin đọc mỗi ngày khóa học này hay khóa học khác về lý thuyết hàm của một biến thực (đôi khi phức tạp), thay đổi các chủ đề đặc biệt của nó, nhưng mỗi lần trình bày đều đưa ra những câu hỏi mà anh ấy quan tâm trực tiếp và tạo nên ngày khoa học trong lĩnh vực này ngày nay.

Ngoài N.N. Luzin, thế hệ học trò cũ của D.F. Egorov bao gồm V.V. Golubev, I.I. Privalov và V.V. Stepanov, người tham gia tích cực vào đời sống toán học ở Moscow, đặc biệt là giảng dạy tại Đại học Moscow. V.V. Golubev và I.I. Privalov đã thực hiện công việc khoa học chuyên sâu và giảng dạy các khóa học theo hướng

17

I. I. Privalov

Có thể thu được phát biểu chính xác của lý thuyết tập hợp mà không cần dựa vào tiên đề Zermelo. Hiện nay người ta đã chứng minh rằng tiên đề Zermelo không thể được suy luận hay bác bỏ dựa trên các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp.

TÍNH TOÁN BIẾN ĐỔI - một nhánh toán học nghiên cứu bài toán cho các hàm tối đa và tối thiểu, phụ thuộc vào các hàm tuyến tính khác, v.v. (ví dụ: tìm các đường trắc địa trên một bề mặt, tìm các đường có độ dài ngắn nhất giới hạn một vùng của một khu vực nhất định, v.v.). Nhiều lý do trong vật lý và cơ học có một biến thể của biến thể đó (ví dụ: hãy lan tỏa cho mọi người để thời gian nó truyền từ điểm này sang điểm khác là tối thiểu).

DÒNG TRIGONOMETRIC - chuỗi bao gồm các dao động điều hòa với nhiều tần số:
$$A_0 + A_1 \cos(\omega x + \alpha_1) + A_2 \cos(2\omega x + \alpha_2) + \dots + A_n \cos(n\omega x + \alpha_n) + \dots$$
Các nhà vật lý thường biểu diễn các dao động có dạng rất tổng quát là kết quả của sự chồng chất của vô số dao động điều hòa lên nhau, tức là dưới dạng tổng của một chuỗi lượng giác. Cách biểu diễn hàm này cũng được sử dụng cho lời giải polychl. bài toán theo-

tiếp tục các vấn đề của N.N. Luzin. V.V. Stepanov, người có nhiều kỹ năng toán học và sở thích toán học đặc biệt, đã giảng dạy các khóa học và tiến hành các cuộc hội thảo về nhiều vấn đề phân tích toán học theo nghĩa rộng của từ này. Ví dụ, tôi nhớ một khóa học mà tôi rất thích nghe V.V. Stepanov về bài toán Dirichlet, rất hấp dẫn, mặc dù đọc theo cách nghiêm túc của D.F. Egorov, người học trò trung thành V.V. Stepanov đã và đang coi mình là như vậy. Tôi cũng muốn nhớ rằng công trình đầu tiên được biết đến rộng rãi của A. N. Kolmogorov về lý thuyết hàm số (cụ thể là về lý thuyết chuỗi lượng giác) đã được ông thực hiện khi ông còn là người tham gia hội thảo của V. V. Stepanov. Khi đề cập đến hội thảo này, tôi đã hướng tới nửa đầu những năm hai mươi, khi trường Egorov-Luzin thống nhất ban đầu đã hình thành một số trường mới phát triển nhiều lĩnh vực toán học khác nhau và sống một cuộc sống độc lập.

Trong những năm đầu hoạt động sư phạm của N. N. Luzin tại Đại học Moscow (và đây là những năm ngay trước cuộc cách mạng), chỉ có một hội thảo toán học duy nhất ở trường đại học. Nó có D.F. Egorov làm lãnh đạo và được gọi như vậy: Chủng viện Toán học hay chính xác hơn là Chủng viện Toán học. Từ “hội thảo” hiện nay chỉ trở nên phổ biến ở Đại học Mátxcơva vào giữa những năm 20 và được O. Yu giới thiệu ở Mátxcơva. Shmidt đến từ Kyiv, nơi mà dường như nó đã được phổ biến rộng rãi trong trường học của D. A. Grave. Vì vậy, Chủng viện Toán học của D. F. Egorov đã xuất bản vào mùa xuân hàng năm; chủ đề của nó thay đổi từ năm này sang năm khác. Lần đầu tiên tôi tham gia buổi hội thảo này là vào năm 1914, khi vẫn còn là sinh viên đang học học kỳ thứ hai của năm thứ nhất; Cho rằng nó dành cho học sinh cuối cấp nên tôi đã không làm ngay và chỉ sau lời khuyên này của V.V. Stepanov quyết định đăng ký tham gia hội thảo này. (Vào thời điểm đó, cái gọi là hệ thống môn học vẫn còn phổ biến ở trường Đại học và mỗi sinh viên có thể đăng ký vào bất kỳ khóa học hoặc hội thảo nào mà mình lựa chọn, đặc biệt là do học phí và việc thiếu học bổng nhà nước dành cho sinh viên.) Như tôi đã nói, hội thảo hàng năm của D. F. Egorov đều dành cho một chủ đề cụ thể. Năm 1914, hội thảo có chủ đề “Chuỗi vô hạn”. Chủ đề được chia thành nhiều chủ đề phụ, công việc được tiến hành song song; Những người tham gia hội thảo tham gia vào chủ đề phụ này đã thành lập một “nhóm” nhất định của hội thảo. Nhóm của tôi được gọi là Chuỗi chức năng. Chúng tôi đã nghiên cứu các công trình về khái quát hóa khác nhau của khái niệm mạch điện đồng nhất. Ngoài ra còn có một nhóm chiếm một vị trí cơ bản hơn

18

vật lý lưới. Luận án tiến sĩ “Chuỗi số liên và lượng giác” của N. N. Luzin được dành cho việc nghiên cứu nhiều vấn đề phức tạp trong lý thuyết chuỗi lượng giác với sự trợ giúp của hàm đo lường dễ hiểu, liên liên Lebesgue, v.v. Chủ đề này được tiếp tục bởi nhiều người được vinh danh của Luzin (A. N. Kolmogorov, D. E. Menshov, N. K. Bari, v.v.).

câu hỏi khoa học: chuỗi với các số hạng không đổi và dấu hiệu hội tụ khác nhau của các chuỗi này. Mỗi nhóm gặp nhau nhiều lần tại nhà của D. F. Egorov. Tại cuộc họp đầu tiên, D. F. Egorov đã phân phát tài liệu cho các thành viên trong nhóm và tài liệu này đã được những người tham gia có liên quan báo cáo tại các cuộc họp nhóm tiếp theo. Cuối cùng, khi kết thúc công việc của nhóm, một hoặc hai thành viên trong nhóm phải thuyết trình tại phiên họp toàn thể của hội thảo. Vì vậy, một báo cáo được dành cho loạt bài với các thành viên cố định, có hai báo cáo về loạt bài chức năng, v.v. Các cuộc họp toàn thể của hội thảo của D. F. Egorov đã quy tụ hầu như tất cả các nhà toán học đang hoạt động tích cực ở Moscow và về vấn đề này, ở một số nơi, họ thậm chí còn cạnh tranh với xã hội toán học. Những cuộc họp toàn thể này luôn rất thành công. Trong hầu hết các trường hợp, các báo cáo được đưa ra tại họ đều gợi lên những tuyên bố thú vị từ nhiều trường hợp, trong đó N.N. Luzin và V.V. Tuy nhiên, Stepanov, người có tính khí hoàn toàn khác, lại đặc biệt năng động.

19

M. A. Lavrentiev
N. K. Bari
A. N. Kolmogorov
L. G. Shnirelman
V. V. Stepanov
P. S. Novikov

Các cuộc họp của các nhóm riêng lẻ của hội thảo, như đã đề cập, diễn ra tại nhà của D. F. Egorov, cũng có tính chất sôi nổi, mặc dù hoàn toàn là “buồng”. Bản thân Dmitry Fedorovich luôn đặt ra chủ trương cho những cuộc họp này.

Được thành lập vào năm 1914-1916. nhóm học sinh cuối cấp của N. N. Luzin gồm có D. E. Menshov, A. Ya. Khinchin, M. Ya. Suslin và tôi. Đến năm 1919-1920, nó được bổ sung thêm một số nhà toán học trẻ: P. S. Uryson, L. A. Lyusternik, M. A. Lavrentyev, N. K. Bari, một số sinh viên và học trò khác của N. N. Luzin. Do đó, nhiều đội rất khác nhau đã xuất hiện, chẳng bao lâu sau có sự tham gia của hai nhà toán học xuất sắc như A. N. Kolmogorov và L. G. Shnirelman. Trong số các nhà toán học thuộc thế hệ lớn tuổi hơn một chút, V. V. Stepanov ngay lập tức gia nhập đội này. Một thời gian sau, đội này bao gồm P. S. Novikov và L. V. Keldysh. Đây là cách mà Lusitania nổi tiếng nảy sinh - một cộng đồng gồm các nhà toán học trẻ, gắn kết với nhau không chỉ bởi mối quan hệ thân thiện đen tối giữa các đồng nghiệp mà còn bởi tình yêu nồng nàn và niềm yêu thích sôi nổi, vô hạn đối với khoa học toán học.

Lusitania ngay lập tức nhận ra mình là một cái gì đó hoàn chỉnh và tự xưng là “mệnh lệnh” với “chỉ huy” N.N. Luzny và “bà ngoại” D.F. Cái tôi-

20

CHỨC NĂNG CỦA MỘT BIẾN PHỨC.
Các hàm trong vùng lân cận của bất kỳ điểm $x_0$ nào, nơi chúng được xác định, là tổng của chuỗi có dạng
$$a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots + a_n(x-x_0)^n + \dots$$
(khi các phần tử cố định của một chuỗi như vậy được biểu diễn thông qua các hàm gốc tùy ý tại điểm $x_0$) được gọi là hàm giải tích.
Chúng bao gồm các hàm hữu tỷ, hàm mũ, logarit và lượng giác được nghiên cứu ở trường, cũng như tất cả các hàm được tìm thấy trong các ứng dụng của toán học.
Các hàm không liên tục và các hàm có đồ thị có các điểm ngắt (ví dụ: $y = |x|$ hoặc $y = [x]$) không phải là hàm giải tích.
Điều đáng chú ý là hai hàm giải tích trùng nhau trong một khoảng cực nhỏ theo định nghĩa thì bằng nhau. Lý thuyết về hàm phân tích được bộc lộ hết vẻ đẹp của nó nếu nó được xem xét không chỉ đối với các giá trị hành động mà còn đối với các giá trị hoàn chỉnh của đối số.
Vì vậy, lý thuyết này còn được gọi là lý thuyết biến phức. Nó liên quan chặt chẽ đến lý thuyết ánh xạ bảo giác.
Trong một miền phức tạp, có thể biểu diễn các giá trị của hàm phân tích bên trong một miền nhất định dưới dạng các giá trị của nó tại ranh giới của miền. Tuy nhiên, những giá trị biên này có thể không những không mang tính phân tích mà thậm chí còn khác nhau.

Luisitnaya là một đội lao động cừ khôi, có sự bộc phát về mặt sáng tạo và cảm xúc, phản ánh trong “mô hình thu nhỏ” của khoa toán của Đại học Mátxcơva lúc bấy giờ về sự bùng nổ vĩ đại và toàn diện mà cả nước đã trải qua trong những năm đó, những năm đầu của cách mạng, những năm hình thành cuộc sống mới. Tôi đặc biệt muốn ghi nhớ điều này vào lúc này, nhân kỷ niệm 60 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại.

Một yếu tố thiết yếu của N.N. Giao tiếp của Luzin với các học trò của mình là những cuộc gặp gỡ và trò chuyện mà N.N. Luzin tham gia với những nhóm rất nhỏ (khoảng 1-3 người, tập trung vào một số chủ đề). Ngoài ra, hàng tuần còn có ngày huấn luyện tổng quát dành cho tất cả học sinh của Nikolai Nikolaevich. Tuy nhiên, đó là thứ Năm, rồi thứ Tư.

Ngoài N.N. Các học trò không được đại diện của Luzin, V.V. Stepanov và đôi khi I.I. Privalov thường tham dự những cuộc họp hàng tuần này tại N.N. Nhà của Luzin. Những buổi tối này tại N. N. Luzin’s bao gồm hai phần: đầu tiên là phần toán học trong văn phòng của Nikolai Nikolaevich, một căn phòng rất ấm cúng, trong đó, thực sự, trong toàn bộ căn hộ của N. N. Luzin vào thời điểm đó (Arbat, 25 tuổi, tầng ba), có (theo yêu cầu của chủ sở hữu) đèn dầu hỏa. Tôi sẽ không bao giờ quên những cuộc trò chuyện giàu tính toán học sống động nhất diễn ra vào thời điểm đó. Những cuộc trò chuyện này đôi khi kéo dài rất lâu, nhưng khi kết thúc lại là trà và bánh ngọt rất ngon. Ngoài ra - không còn ở văn phòng nữa mà là trong phòng ăn của gia đình Luzins - các cuộc trò chuyện mang một tính chất khác, phi toán học và đề cập đến nhiều vấn đề của đời sống văn hóa và xã hội. Đôi khi một cái gì đó đã được đọc khô. V.V. Stepanov đọc những bài thơ của Blok rất nhiệt tình, nhưng những bài ít chân thành hơn lại được đọc thường xuyên hơn. Vì vậy, ví dụ, N.N. Luzin với kỹ năng và tính nghệ thuật tuyệt vời đã đọc các tác phẩm của Korney Chukovsky, dành riêng cho trẻ em. Tôi nhớ có lần đọc câu chuyện “Điều kỳ diệu của Thánh Nicholas” của Anatole France.

Những cuộc gặp gỡ với N.N. Luzin kết thúc trong thất vọng. Sau khi hoàn thành, những người tham gia nhóm lớn đi đến Arbat và các con hẻm của nó và dần dần, theo nhiều cách kết hợp tuần tự khác nhau, tiễn nhau, cuối cùng giải tán - thường là vào buổi sáng - về nhà của họ.

Louisita không chỉ sống như một người bạn, cô ấy còn sống vui vẻ và vui vẻ biết bao! Trò vui này thậm chí còn làm choáng ngợp các “người lớn tuổi” và không chỉ N.N. Luzin, mà cả D.F. Có thể nói, Egorov đã tham gia đầy đủ vào kỳ vọng của chúng tôi về một cuộc gặp gỡ vui vẻ. Những cuộc tụ họp này rất nhiều và diễn ra vào nhiều dịp khác nhau. Đêm giao thừa và Ngày Tatiana, được đặt theo tên của D. F. Egorova và N. N. Luzina, ngày sinh nhật của từng người dân Louisitanians

21

hàm không liên tục (mặc dù Lebesgue không đổi). Một số công trình của N. N. Luzin và các học trò của ông (I. I. Privalov và những người khác) được dành cho việc nghiên cứu tính chất của các giá trị biên của hàm giải tích.

KÍCH THƯỚC—số lần thay đổi của một hàm nhất định (ví dụ: kích thước của một đoạn và một hình tròn là một, kích thước của hình vuông, hình tròn và hình cầu là hai, và kích thước của hình lập phương và quả bóng là ba). Sau khi làm quen với toán học, xuất hiện tập hợp trọng số có tính chất tổng quát bài toán một định nghĩa chung về khái niệm thứ nguyên và nghiên cứu các tính chất của khái niệm này. Trong sự hình thành cuối cùng của lý thuyết về chiều, các công trình của P. S. Urson (Quant, 1974, số 8), và sau này là P. S. Aleksadrov, có tầm quan trọng hàng đầu. Trong các tác phẩm của P. S. Aleksadrov và các học trò của ông, người ta đã phát hiện ra những mối liên hệ rất tinh tế giữa kích thước và các đặc tính hình học khác của tập hợp.

Trường Luzin, Luzinnaya, là một trong những trường đặc biệt gồm các nhà toán học trẻ, hầu hết có năng khiếu và vui vẻ.

Vào tháng 8 năm 1924, đội này bị giáng một đòn nặng nề: một trong những thành viên tài năng nhất của Luzintia và nói chung, một trong những nhà toán học tài năng nhất của Liên Xô, Pavel Samulyuvich Urson, qua đời.

Các thành viên của Luzintia coi đòn định mệnh này là của riêng mỗi người trong số họ, và Luzinnaya nói chung đã không tồn tại được lâu. Vào thời điểm này, trong lòng Moscow, khi đó vẫn còn thống nhất, trường toán học, quá trình hình thành các trường phái riêng biệt trong các lĩnh vực toán học khác nhau đã bắt đầu: trong lý thuyết về hàm của một biến phức, trong cấu trúc liên kết, trong lý thuyết xác suất, trong phương trình vi phân, v.v. Tôi nhắc lại, những trường phái này nảy sinh trong khuôn khổ chính Lusincia, nhưng một khi đã xuất hiện, chúng ngay lập tức, giống như những chú cá voi sơ sinh, bắt đầu sống một cuộc sống độc lập và lớn lên và phát triển nhanh chóng, thành công.

Luzinnaya như vậy đã không còn tồn tại, trở thành sự bổ sung vĩnh viễn cho mỗi người tham gia, hòa nhập với sự bổ sung cho tuổi trẻ của chính mình.