Лузинская математическая школа

13

Лузинская математическая школа

П. Алексаидров

Автор этой статьи — один из крупнейших советских математиков, Герой Социалистического Труда, академик Павел Сергеевич Алексаидров. В статье расссказывает о становлении одной из самых плодотворных математических школ — школа академика Н. Н. Лузина. Слева (вузкой колонке) разьянются мало знакомые школьникам термины, встречались в статье.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая главные кривые линии и поверхности методами дифференциального исчисления. В ней рассматривается свойства касательных прямых к плоским и пространственным кривым, касательных плоскостей к кривым поверхностям, различные типы линий.

Современная Московская математическая школа теоретико-множественной математики возникла в первые годы революции в стенах Московского университета. Ее основатели были Дмитрий Федорович Егоров и Николай Николаевич Лузин.

В предшествовавшие ее возникновению десятилетия, начиная с семидесятых годов девятнадцатого века, интересы математков Москвы концентрировались главным образом вокруг проблем дифференциальной геометрии и механики.

Эти проблемы, тесно связанные с теорией дифференциальных уравнений с частными произвольными и теорийной конформных отображений, культурноровались, с одной стороны, прожившим в Москве и занимашим скромную должность учитель гимназии выдahoшимся латышским геометром Карлом Михайловичем Петерсоном, а, с другой стороны, были связаны с замечательными работами великих Московских механиков: Николая Егоровачия Жуковского и его ученика Сергея Алексеевича Чаплыгина. Деятельность этих ученых была тесно связана с основным в середине 1860-х годов Московским математическим обществом, служившим во все последние десятилетия прошло и

14

ний и поверхностей (например, цилиндрические, коничские, винтовые поверхности), изменение длины линей, площадей области и углов на кривых поверхностях, а также свойства поверхностей, не изменяющиеся при тех или иных отображениях. Важным разделом дифференциальной геометрии является теория геодезических линей на поверхности, то есть кратчайших линей, соединяющих две точки поверхности (на плоскости — это отрезок прямой, на сфере—дуга большого кругга). В работе Московской дифференциально-геометрической шкалы изучались, в частности, изгибания поверхностей, то есть отображения, не изменяющиеся длины линей на них. По существу вы имели дело с дифференциальной геометрией, когда занимались в 9-м классе проведением касательных к графику функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие произведение от искомых функций. Если эти функции зависит от одного аргумента, дифференциальные уравнения называют обикновенными, а если от нескольких — уравнениями в частих производных, эти последние часто называют уравнениями математической физики.

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ — отображения поверхности на поверхности, сохраняющие углы между линями. Пример—пробразование подбия, которые вы изучали в геометрии. Еще пример — стереоэрафическая проекция сферы на плоскость (проекция, при которой сфера проектировется из сверхного полока на плоскость, касающийся ее в южном полюсе). Конформные отображения играют важную роль в картофелини, гидромеханике, аэромеханике и других областях науки.

Дифференциальной геометрии принимают на рублей прошло и нынешнего столетия и математические интерсы Б. К. Млодезевского и Д. Ф. Егорова, бышших в ту пору наиболее популярными профессорами-математиками в Московском университете. Фундаментальное участие Д. Ф. Егорова в создании Московской шкалы теории функций относится к 1911—1913 годам, когда он доказал (1911) свою значенную теорему о последовательности измененных функций и поставил в связи с этой теоремой перед своим лучшим ученком Н. Н. Лузинным задачу доказательства одной из основных теorem развивающейся в то время теории функций. Το отношение, которое к созданию Московской шкалы теории функций имел Б. К. Млодезевский, конечно, не может быть даже сравниваемого с основополагающим участием Д. Ф. Егорова, но тем не менее должно быть упомянуто: оно заключается в том, что Б. К. Млодезевский,nikaогда сам не работавший в этой области, но являющийся широко образованным математиком, имеющим представление об всем, что делалось в ней в его время, был первым профессором Московского (и вообще какого-либо русского) университета, прочитавшим в университете курс общей теории функций действительного переменного. Курс этот служал и Н. Н. Лузин и недократно с большим признанием отзывался о нем.

Два самых выдающихся профессора-математика, преподавшие в Московском университете в первой трети текущого столетия: Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин как лекторы и вообще профессора университета принимали к двум противоположным типам. Д. Ф. Егоров принимаел, я бы сказал, к классическому типу, а Н. Н. Лузин — к романтическому. В lekциях Д. Ф. Егорова, всегда безукоризненно тщательно приготовлены, все доказательства были до конца продукны и изложены в абсолютином строгой форме. В них не было места никаким элементам импровизации, и они соответствовали подготовке и уровня понимания тех случаях, для которых были предназначаны. Внешнее Д. Ф. Егоров всегда был крайне серджан, он не пользовался никакими оратерскими приемами или украшениями и на непrivыщшего к его манере изложения сушателя его лекции могли даже производить впечатление несколько суховатых. В действительности в его изложении были настоящей подъем, но подъем этот, как и все вообще эмпирональная сторона его личности ученого и профессора, был подчинен строю продуканной и даже несколько суровой на вид форме. В противном состоянии этому Н. Н. Лузин был ярким представителем «романтического» типа профессора

15

ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА — множество методов конструирования измененных множества методом данной статьи академиком П. С. Александровым — в те годы начинавшим свои занятия математкой студентом университета.

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ — функция, обладающая тем свойством, что для любых $a$ и $b$ множество точек $x$, для которых $a \leq f(x) < b$, изменимо. Любая нерерывная функция изменима. Примером всего разрывной, но изменемой функцией может служить функция Дирихле, равная нулю во всех инициале во всех разциональных точках. Если выкинуть из области определения функции Дирихле все разциональные

университета. Все его преодавание былорезвычайно эмощонально. Форма этого преодавания далеко не всегда бывал безукоризненной. Н. Н. Лузину случайность на lekцию и плохо подготовленным и тут же, стоя у докси перед студентами, импровизировать еще неготовое доказательство. При этом он часто ошибался, путался в выкладках и откладывал до следующей лекции материал, предназначающийся для данного лекции, но оказавшийся не подготовленным. Словом, образцовым его преодавание называть было нельзя. При этом он иногда и несколько кокетничал этой своей «необразцовостью». Но лекции Лузина, в эпоху расцвета его педагогической деятельности в Московском университете, были полны новыми и интересными идеями, способными побудить службы к дальнейшим самостоятельным занятиям. Даром увлекать умы и воспламенять сердца Н. Н. Лузин обладал в высшей степени. Естественно, что результаты этого увлечения и воспламенения были различны в зависимости от того горючего материала, на котором падали брошенные в него искры вдохновения. Способные молоды начинаяше математики, а их было немало среди студентов, слушавших Н. Н. Лузина, побуждались к серверзным и глубоким собственным исследованием, осуществляющим дальнейшее продвижения в математической науке. Но были и просто восторженныеdevицы, вослицавшие, что служить Лузина лучше, чем служать Шаляпина, чем и ограничиваясь их воспряние математических идеей великого учителя.

Не менее важным, чем характер лекций Лузина, побуждающий и, я бы сказал, вдохновляющий службы к самостоятельным исследованием в области математики, был и введенный Лузиным в практику нашего факультета совершенню новый стиль взаимодействия между профессором и студентами. В нем порожали большая свобода и непринужденность, отсутствие всякой официальности и замена внешних проявлений почтительности со стороны студентов действительного глубоким уважением, часто переходившим в восторженное преклонение. Это уважение и делало невозможным вырождение свободы и непосредственности в отношениях между Н. Н. Лузиным и его студентами в какое-либо панибратство.

Я впервые встретился с Н. Н. Лузиным в 1914 году, будучи студентом 2 курса. Впечатление от этой встречи было, можно прямо сказать, потерясающим и навсегда запомнилось мне. Обратившись к Лузину после окончания его лекций за советом, как мне занимается математикой дальнейше, я был прежде всего порожен внимательность и (не могу найти другого слова) уважением к собственнику, как ни страно звучит это слово, когда речь идет о бескеде уже знаменито, хотя еще и молодого

16

В. В. Голубев

ные точки (которые с некоторой точки зрения «меньше», чем ирациональных), то функция Дирихле превращается в константу, т. е. становится непрерывной на сокращенной области определения. Большим достинением анализа является попытка того, что развивные функции, имеющие интерес для анализа, «в основном» непрерывны. Такими и является функция, «измеримые по Лебегу». В выясненении всех отношений сюда вопросов большую роль сыграли результаты Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина.

АКСИОМА ЦЕРМЕЛО — использование инальянским математиком Цермело утверждение, что для любой совокупности попарно не пересекающихся множества можно построить новое множество, выбрав по одному элементу из каждой множества. Несмотря на свою каучущую оценность, это утверждение (называемое также аксимой произвольного выбора) приводит к весма парадоксальным результатам (например, к утверждению, что сферу можно разбить на 4 конгузительных друг друг множества так, что из двух множества можно получить сферу, повернуть их относительно центра). Ряд исследовании Московской математической шкалы был посвящен выяснению того, как ученого с 18-летним студентом, еще только начинающим интерсоватився математикой. Выслушав меня, Лузин посредством умело поставленных вопросов очень скоро разобрался в характере моих математических склонностей и сразу же в доступной мне форме обрисовал основные направления, которые он мог мне предложить для дальнейших занятий; очень осторожно он сам меня склонил к выбору одного из этих направлений, причем все это сделано было тонко, без всякого нажима и, как я теперь могу сказать, правильно. Я стал тогда же учеником Лузина.

Мое знакомство с Лузинным пришлось довольно точно в середину того десятилетия, в котором он получил самые значительные свои результаты. Он жил тогда совершенню один в меблированных комнатах (Кокоревское подворье на Балчуге), жил только наукой. Мне запомнилась одна его фраза, сказанная в одну из многочисленных наших встреч: «Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело (аксиома произвольного выбора в теории множества). Если бы только кто-нибудь знал, что это за веще!».

Видя Лузина в эти годы, я действительное видел то, что может назваться вodoxновенным отношением к науке, и я не только учился у него математике, но и получил урок того, что такое настоящий ученый, а также и того, каким должен быть профессор университета.

Тогда же я понял, что наука и приобретение к ней новых молодых людей — две стороны одной и той же деятельности — деятельности ученого. Все это осталось мне на всю жизнь. Педагогическая деятельности в Московском университете осуществлялась школе Егорова — Лузина в нескольких направлениях. Д. Ф. Егоров читал обязательные курсы дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений и варианционного исчисления. Кроме того, он читал ряд специкурсов, которые хотя и не были обязаательными, но пользовались большой популярностью и посещались большим числом студентов. Курсы Д. Ф. Егорова могли служить и первым введением в только что возникавший тогда функциониальный анализ.

Н. Н. Лузин ежедневно читал тот или иной курс теории функций действительного (иногда и комплексно) переменного, меняя его специальную тематику, но довода изложение каждой раз до вопросов непосредственного интерсовавших его самого и составляющих в данной области сегодня день науки.

К старшему поколению учеников Д. Ф. Егорова принадлежали кроме Н. Н. Лузина В. В. Голубев, И. И. Привалов и В. В. Степанов, принимающие активное участие в Московской математической жизни, в частности в преподавании в Московском университете. В. В. Голубев и И. И. Привалов выполняли интенсивную научную работу и читали курсов в направлении,

17

И. И. Привалов

кне утверждения теории множества можно получить, не опираясь на аксиму Цермело. В настоящее время доказано, что аксиму Цермело нельзя ни вывести, ни опровергнуть, опираясь на остальные аксимы теории множества.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — ветвь математики, изучающая задачи на максимум и минимум функций, зависит от линейных других функций и т. д. (например, отискание геодезических линей на поверхности, отискание линей наименьшей длины, ограничивающей область данной площади и т. д.). Многие причины физики и механики имеют вариант варианта (например: всем распространемся так, что время, за которым он проходит от одной точки до другой, минимально).

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ — ряды, состоящие из гармоничских колбаний с кратными частотами:
$$A_0 + A_1 \cos(\omega x + \alpha_1) + A_2 \cos(2\omega x + \alpha_2) + \dots + A_n \cos(n\omega x + \alpha_n) + \dots$$
Физики часто представляют колбания весьма общего вида как результат наложения друг на друге бесконечного множества гармоничских колбаний, то есть как сумму тригонометрического ряда. Такое представление функций используется и при решении многохл. задач тео-

продолжавшем проблемику Н. Н. Лузина. В. В. Степанов, обладающий исключительной широкой математическойрудции и математических интерсесов, читал курссы и вел семинары по самым различным вопросам математического анализа в широком смысле слова. Мне, например, запомнился один прослушанный много с большим интерсесом курс В. В. Степанова по проблеме Дирихле, очень увлекательный, хотя и прочитанный в строгой манере Д. Ф. Егорова, верным учеником которого был и считал себя В. В. Степанов. Хочу также вспомнить, что первый получившие широкую известность работы А. Н. Колмогорова по теории функций (а именно, по теории тригонометрических рядов) были сделаны им, когда он был участником семинара В. В. Степанова. Упомянув об этом семинаре, я уже забегаю вперед, в первую половину двадцатьх годов, когда первогочально единшая школа Егорова—Лузина уже дала начало ряду новых школа, разработавших различные области математики и живших самостояльной жизни.

В первые годы педагогического деятельности Н. Н. Лузина в Московском университете (а это были годы, неосредственно предшествовавшие революции) в университете работал один-единственный математический семинар. Он имел своим руководителем Д. Ф. Егорова и так и назывался: Математический семинар или, точнее, Математический семинарий. Теперешнее слово «семинар» получило распространение в Московском университете лишь в середине двадцатьх годов и было приведено в Москве О. Ю. Шmidtом из Киева, где, по-видимому, было распространено в школе Д. А. Граве. Так вот, Математический семинарий Д. Ф. Егорова проискодил каждой год в весеннее получение; tema его менялась от года к году. Я впервые принял участие в этом семинаре в 1914 году, будучи еще студентом второго семестра первого курса; считая, что он предназначен для старших курсов, я не сразу и лишь после настоящего рекомендации В. В. Степанова решил записаться на этот семинар. (Тогда в Университете еще господствовала так называемая предметная система, и каждый студент мог записаться на любой курс или семинар по своему выбору, что было, в частности, связано с платностью обучения и отсутствием государственных стипендий для студентов.) Как я уже говорил, каждой год семинар Д. Ф. Егорова был посвящен одной какой-нибудь теме. В 1914 году семинара была «Бесконечные последовательности». Тема разбивалась на несколько подtem, работа над которым шла параллельно; участники семинара, занимающиеся данной подtemой, образовывали определенную «группу» семинара. Моя группа называлась «Функциональные последовательности». Мы изучали работы о различных обобщениях понятия равномерной схемности. Была также и группа, занимающая более элементар-

18

ретичской физики. Докторская диссертация Н. Н. Лузина «Интерgal и тригонометрический ряд» была посвящена изучению многохончайших вопросов теории тригонометрических рядов с помощью понятный измеримой функции, интерgal Лебега и т. д. Эту тематику продолжали многочестия Лузина (А. Н. Колмогоров, Д. Е. Меньшов, Н. К. Бари и др.).

ными вопросами: рядами с постояными членами и различными признаками сходимости этих рядов. Каждая группа несколько раз собиралась на дому у Д. Ф. Егорова. На первом из этих собраний Д. Ф. Егоров распределял литературу между участниками группы, и эта литература докладывалось соответствующими участниками на последующих собраниях группы. Наконец, в заключение работы группы один или два участника группы должны были выступить с докладом уже на пленарном собрании семинара. Так, один доклад был посвящен рядам с постояными членами, по функциональным рядам было два доклада и т. д. Плеенарные собрания семинара Д. Ф. Егорова собирали фактически всех активно работающих математиков Москвы и в этом отношении в некоторых родае даже конкуррировали с математическим обществом. Эти пленарные собрания проходили всегда очень�ивенно. Доклады, делавшие на них, в большинстве случаеев вызывали интересные высказывания многочисленных случаев, среди которых особенно активными были Н. Н. Лузин и В. В. Степанов, имеющие, впрочем, совершенное различные темпераменты.

19

М. А. Лаврентьев
Н. К. Бари
А. Н. Колмогоров
Л. Г. Шнирельман
В. В. Степанов
П. С. Новиков

Оживленный, хотя и совершенно «камерный» характер имели и немногоданные собрания отдельных групп семинара, произсодившие, как уже было сказано, на дому у Д. Ф. Егорова. Ton на этих собрания задавал всегда сам Дмитрий Федорович.

Сформировавшаяся еще в 1914—1916 гг. группа старших учеников Н. Н. Лузина состояла из Д. Е. Меньшова, А. Я. Хинчина, М. Я. Суслина и меня. К 1919—1920 гг. она пополнилась рядом молодых математиков: П. С. Урысон, Л. А. Люстерник, М. А. Лаврентьев, Н. К. Бари, несколько других учеников и учениц Н. Н. Лузина. Так возникокочень других коллективов, к которым вскоре присоединились два таких выдающихся математика, как А. Н. Колмогоров и Л. Г. Шнирельман. В этот коллектив сразу же включился из математков несколько более старшего поколения В. В. Степанов. Несколько позже в этот коллектив вошли П. С. Новиков и Л. В. Келдыш. Так возникла знаменитая Лузитания — сообщесто молодых математков, спаянных не только темными друзжескими отношениями между его сочелами, но и горячей любовью и живым беспорhicтным интересом к математической науке.

Лузитания сразу осознала себя как нечто целое и провозгласила себя «орденом» с «командером» Н. Н. Лузным и «гросснейстером» Д. Ф. Его-

20

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Функции, являющиеся в окрестностях любой точки $x_0$, где они определяны, суммами рядов вида
$$a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots + a_n(x-x_0)^n + \dots$$
(когда фиксиенты такого ряда выражаются через произвольные исходной функции в точке $x_0$), называются аналитическими функциями.
К их числу относится изучаемые в школе рациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, а также почты все функции, встречащиеся в приложениях математики.
Разрывные функции и функции, графики которых имеют изломы (например, $y = |x|$ или $y = [x]$), не аналитичны.
Замечательно, что две аналитические функции, совпадающие на скольудно малом промежутке, равны друг другу всуду. В полной своей красоте теория аналитических функций раскрывается, если рассматривается не только для действияных, но и для комплектных значений аргумента.
Позому эта теория называется также теорей комплексной переменной. Она тесно связана с теории конформных отображений.
В комплексной области можно выразить значения аналитической функции внутри некоторой области через ее значения на границе области. Однако эти граничные значения могут оказаться не только не аналитической, но даже разным.

Луизитная была коллективом большого трудового, творческого и эмпионального подъема, отражавшего в «микрокосме» тогдашнего математического факультета Московского университета грандозный и всеобъемлющий подъем, пережившийся всей страной в те годы, в первые годы революции, годы становления новой жизни. Об этом особенно хочется вспомнить сейчас, в год шестидцетейлета Великой Октябрьской революции.

Существием элементом общения Н. Н. Лузина с его учениками были встречи и беседы, которые Н. Н. Лузин имел с совсем небольшими их группами (примерно в 1—3 человек, занимающими какой-нибудь темой). Кроме того, был еженедельный общий применный день для всех учеников Николая Николаевича. Однако время это были четверги, потом среды.

На этих еженедельных собрания на дому у Н. Н. Лузина кроме непредставленных учеников Н. Н. Лузина часто бывал В. В. Степанов, иногда и И. И. Привалов. Эти вечера у Н. Н. Лузина составили из двух частей: сначала была математическая часть в кабинете Николая Николаевича, очень уютной комнате, в которой, как, впрочем, и во всей тогдашней квартре Н. Н. Лузина (Арбат, 25, трейтий этаж), было (по желанию хозяйна) керосиновое освещение. Никогда не забуду тех насыщенных самой живой математкой разговора, которые тогда проискодили. Эти разговоры иногда затягивались за полное, но, когда бы они кончались, за ними следовал чай с неизменным очень вкусным тортом. За этим чем — уже не в кабинете, а в столовой квартре Лузиных — разговоры принимали другой, нематематической характер и касались самых различных вопросов культурной и общественной жизни. Иногда что-нибудь читалось всуху. В. В. Степанов с большим увлечением читал стихи Блока, чаше же читались менее сердезные вещи. Так, например, Н. Н. Лузин с большим мастерством и артистичночно читал предназначенные собственно для детей произведения Корнея Чуковского. Я, помню, однажды прочитал рассказ Анатоля Франса «Чудо свягого Николая».

Собраня у Н. Н. Лузина кончались глубокой почью. После их окончания участники большой группы выходит на Арбат и его переулки и постепенно, в различных последовательных комбинациях проводя друг друга, наконец расходились — общно уже к утру— по своим домам.

Луизитная жила не только другно, она жила весело, и еще как весело! Это веселье даже захлебывало «старших», и не только Н. Н. Лузина, но и Д. Ф. Егорова, принимавших, так сказать, полноправное участие в наших ожидениях веселых собрания. Собраня эти были многочисленные и проискодили по различным поводам. Встреча Нового года и Татьянин день, именны Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина, дни рождения отдельных луизитан-

21

рывной (хотя и изменимой по Лебегу) функцией. Ряд работ Н. Н. Лузина и его учеников (И. И. Привалова и других) посвязывает изучению свойств граничных значений аналитических функций.

РАЗМЕРНОСТЬ—число изменений данной функции (например, размерность отрезка и окружности равна единице, размерность квадрата, кругга и сферы — двум, а размерность куба и шара — трех). После введения в математку множество веса общей природу возникла задача общего определения понятия размерности и изучения свойств этого понятия. В окончательном формировании теории размерности основное значение имеет работы П. С. Урьсона («Кваант», 1974, № 8), а позднее П. С. Алексадрова. В работах П. С. Алексадрова и его учеников обнаружены очень тонкие связи между размерностью, и другими геометрическими свойствами множества.

Лузинская школа, Лузинная, была единственная в своей роде, неповторимым коллективом молодых, в большинстве своей одаренных и жизнирадостных математиков.

В августа 1924 года этот коллектив пережил тяжелый удар: погиб один из самых талантливых членов Лузинции и вообще один из самых талантливых советских математиков — Павел Самулювич Урьсон.

Члены Лузинции восприняли этот удар судьбы как личноего胳 каждаго из них, а Лузинная как целое недолго его пережила. К этому времени в недрах Московской, тогда еще единой, математической школе начался процесс формирования отдельных школа по различным областям математики: по теории функций комплексного переменного, по топологии, по теории вероятностей, по дифференциальным уравнением и др. Повторяю, школе эти возникали в рамках самой Лузинции, но, раз возникнув, они сразу, как новорожденные киты, зажили самостоятельной жизни и быстро и успешно росли и развивались.

Лузинная как таковая перестала существовать, превращшись в непроходяще восполнение каждого из ее участников, слившееся с восполнением его собственной юности.