Задачи М466—М470; Ф478—Ф482

40

Задачик
кванта

М466—М470; Ф478—Ф482

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшенней школьной программы. Наноблее трудные задачи отмещены звездочек. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 декабря 1977 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M466, М467» или «Ф478». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просбапись присылать в отдельных конвертах. Задач из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решений).
В начале каждого письма просим указать вашим имя, фамилию, номер шкoles и класс, в котором вы учитель. Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике или «… новая задач по математике»). После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу.

М466. Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждый файлшивая монета отличается от настоящего на 1 г (в ту или другую сторону). Имеютсяашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, файлшивая она или настоящая. Как это сделать?

С. Фомин

М467. Точки D и E делят стороны AC и AB правильно треугольника ABC в отношениях |AD| : |DC| = |BE| : |EA| = 1 : 2. Прямы BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что угол AOC — прямой.

А. Краснодемская

М468. Точки A, B, C и D плоскости таковы, что для любой точки M этой плоскости скалярные произведение векторов $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$ и $\vec{MC} \cdot \vec{MD}$ не равны друг другу. Докажите, что $\vec{AC} = \vec{DB}$. Верно ли обратное утверждение?

Ю. Ионин

М469. a) Уравнение $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ имеет четые различных вещественных корня. Докажите, что $ab < 0$.

б*) Уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{k-1}x^{n-k+1} + a_{k+1}x^{n-k-1} + \dots + a_n = 0$ имеет $n$ различных вещественных корней. Докажите, что $a_{k-1}a_{k+1} < 0$.

В. Вавилов

М470*. Докажите равенства

a) $\frac{1}{C_n^0} - \frac{1}{C_n^1} + \frac{1}{C_n^2} - \dots + \frac{(-1)^k}{C_n^k} + \dots + \frac{(-1)^n}{C_n^n} = \frac{(n+1)(1+(-1)^n)}{n+2}$;

41

6. $$\frac{1}{C_n^1} + \frac{1}{C_n^2} + \frac{1}{C_n^3} + \dots + \frac{1}{C_n^n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \left( \frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n} \right).$$

Л. Курляндчик, А. Лисицкий

Ф478. На кубик, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, налегает точно такой кубик, причем кубики стальваются своим параллельными гранями. Скорость налегающего кубика до стольновения была направлена под углом α к боковым граням (рис. 1). Как будут двигатся кубики после стольновения, если коэффициент треня между гранями кубков равен μ?

Ф479. Для определения неизвестного объема $V_1$ баллона I собирают схему, приведенную на рисунке 2. Объем баллона II равен $V_2$ и $V_2 \ll V_1$.

Сначала система откачивается до давления $p_0$, близкого к нулю. Затем закрывается кран B и заполняется баллон I газом до давления $p_a$. После этого закрывается кран A, открывается кран B и изменяет установившееся в системе давление $p_1$ манометром C. Затем при закрытом кране B вновь наполняется баллон газом до давления $p_a$, открывается кран B и изменяет установившееся в системе давление $p_2$. Эту операцию повторяют n раз. Покажите, что относение $\frac{p_n - p_0}{np_a}$ есть величины постоянная и равная $\frac{V_2}{V_1 + V_2}$.

А. Митрофанов

Ф480. Корабль приводится в движение водометным двигателем, выбрасывающим с корпы струю воды со скоростью u. Ежесекундно выбрасывается масса воды μ, которая береется из реки. При каком значении скорости корабля к. п. д. движателя максимален? Силой треня и сопротивлением воды пренебречь.

Ф481. В старой аккумуляторной батарее, состоящий из n последовательно соединенных аккумуляторов, резко возросло внутреннее сопротивление одного из аккумуляторов и стало равным $\rho = 10 \, r$, где r — внутреннее сопротивление нормального аккумулятора. Считая э. д. с. всех аккумуляторов одинаковыми, определять, при каких сопротивлениях нагрузки R мощность, выделяемая на нагрузке, не изменится при коротком замыкании повреженного аккумулятора.

Ф482. Капля воды равномерно падает в воздухе. На сколько отличается радиус кривизны $R_1$ поверхности капли в ее верхней точке от радиуса кривизны $R_2$ в нижней точке, если расстояние между этим точками равно $d = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{m}$? Козффициент поверхности воды равен $\sigma = 7 \times 10^{-2} \, \text{H/m}$.

43

ком не более чем с (n-1) участником. В этом случае он не знаком не менее чем с (m-1)n-(n-1)=(m-2)n+1 участниками. По предложению индукции среди них либо найдется (m-1) участников, попарно не знакомых между собой — в этом случае они вместе с ранее выбранным образуют группу из m участников, попарно не знакомых друг с другом; либо среди них найдется участник, знакомый не менее чем с n других участниками olимпиды. Утверждение доказано.

Э. Туркевич

M429. а) Сколько решение имеет уравнение
[x] - 1977 {x} = 1978?
(Здесь [x] — целая часть x, a {x} = x - [x].)
б) Докажите, что при любых p ≠ 0 и q уравнение [x] + p {x} = q имеет [|p|] или [|p|] + 1 решение.

Рис. 2.

Рис. 3.

Приведем одно из наиболее коротких решений, присланных читателями. Пусть p ≠ 1. (Случай p=1 тривailен: уравнение [x] + p {x} = q
(1) превращается в x = q.) Тогда (1) эквивалентно

$$[x] + px - p[x] = q \Leftrightarrow [x] = \frac{px - q}{p - 1}.$$

Примяя y = (px - q)/(p - 1) пересекает края полосы, ограниченной прямыми y = x и y = x - 1 и заключитей график y = [x], в точках A₀(q; q) и A₁(q - p + 1; q - p) (рисунки 2 и 3; чтобы найти абсциссы x₀, x₁ этих точек, нужно лишь решить уравнение px₀ - q = x₀(p - 1) и px₁ - q = (x₁ - 1)(p - 1)). Ясно, что число решений уравнения (2), то есть число горизонтальных прямых y = h (h целое), пересекаемых отрезком [A₀A₁] [(без точки A₁), равно количеству целых чисел, заключитей между q и q - p (включая q, если оно целое, но не включая q - p). Тепер нетрудно привести ответ в задаче a): отрезок [1978; 1978 + 1977] содержит 1977 целых точек, — и доказать утверждение задачи 6): на любом отрезке длины |p| числовой прямой лежит [|p|] или [|p|] + 1 целых точек.

Можно решать эту задачу, оставив в уравнение x и {x} («дробную часть» x). Некоторые читатели, которые шли по этому пути, ошибались в определении {x} при x < 0 (обратите внимание, что {-0,1} = 0,9; {-√2} = -2 + √2 и т.п.).

Наше решение приятно тем, что случай разных знаков p (рисунки 2 и 3) рассматриваются одновременно. Разбавшись в нем, вы сможете проверить исследование множества решений такого уравнения: ax + b [x] + c = 0 (эту задачу прислал нам Н. С. Петраков); не забудьте рассмотреть особые случаи, когда решения заполют целый интервал, или составляют бесконечную арифметическую програмсию.

M430. а) Докажите, что любое випуклое полообразие в прямой и/or плоскости в прямой полообразие 2S.
б) Докажите, что любое випуклое полообразие в прямой полообразике 2S.

Назовем диаметром выпуклой фигуры (или выпуклого тела) отрезок, соединяющий две точки, расстояние между которых наибольшее (диаметров может быть, конечно, больше одного; существует диаметра для выпуклого многоугольника и многоугольника очень одного — им будет отрезок, соединяющий наибольшее далекие друг от друга вершины; существует диаметра произвольного замкнутого ограниченного множества на плоскости или в пространстве мы оставим здесь без доказательства).

а) Пусть [MN] — диаметр данной выпуклой фигуры Ф. Примыте, проходящие через точки M и N, перpendикулярные к отрезку MN, будут опорными для фигуры Ф, то есть Ф целиком заключена внутри полосы, ограниченной им: ведь

44

Для любой точки $X$ вне этой полосы либо $|XM| > |MN|$, либо $|XN| > |MN|$. Проведем еще две перепределения этих прямых опорные прямые, содержащие некоторые точки $K$ и $L$ фигуры $\Phi$ (рис. 4). Полученный прямогольник $\Pi$ удовлетворяет нуждному условию: если площадь прямогольника $\Pi$ равна $s$, то площадь $\Phi$ не меньше $S_{\triangle KMN} + S_{\triangle LMN} = s/2$.

6. Пусть $[MN]$ — диаметр данного выпуклого тела $T$, $\Phi$ — проекция тела на опорную плоскость $\alpha$, проходящую через нижний конец $M$ диаметра (мы считаем $[MN]$ вертикальным, рис. 5, а). Докажем, что если заключить фигуру $\Phi$ в прямогольник $\Pi$ такой, как в задание $a$, то прямогольный параллелепид с основанием $\Pi$ и высотой $[MN]$ — нижняя прямогольная коробка для $T$. Сделаем с $T$ такое преобразование: каждый отрезок $l \cap T$, где $l$ — вертикальная прямая, сместим вниз так, чтобы нижний конец попал на плоскость $\alpha$. Обедининие полученных отрезков обозначим $\hat{T}$ (рис. 6, а; на рис. 5, б и 6, б показано преобразование отдельных сечеений). Ясно, что объемы $T$ и $\hat{T}$ совпадают [это — аналог причина Кавальери, о котором говорилось в «Кванте» № 2 (статья С. Пухова) и № 5 — (статья В. Болтянского), но здесь тела пересекаются не семейством параллельных плоскостей, а семейством параллельных прямых]. При этом $\hat{T}$ содержит конус с основанием $\Phi$ и высотой $[MN]$ — это нетрудно доказать, рассмотрев вертикальные сечения. Если объем построенной нами прямогольной коробки равен $V$, то объем цилиндра с основанием $\Phi$ и высотой $[MN]$ не меньше $V/2$, а объем конуса — не меньше $(V/2)/3 = V/6$. Значит, и объем нашего тела не меньше $V/6$.

Н. Васильев

Ф438. Оdnородная палочка лежит внутри шероховатой сферической полости. Длина палочки равна радиусу сферы. Коэффициент времени равен $\mu$. Какой наиболее точел с горизонтом можно составлять палочка?

Очевидно, что палочка будет составлять наиболее угол $\alpha$ с горизонтом, когда плоскость большого кругга, проведенная через точки касания палочки со сферы, вертикальная.

В этой плоскости на палочку действуют силы тяжестями $Mq$, силы нормальной реакции сферы $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ и силы трения $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ (рис. 7).

Палочка находится в покое, если сумма проекций этих сил на любое направление и сумма моментов сил относительной любой неподвижной оси равна нулю. Запишем условие равновесия палочки в проекции на ее направление:

$$|\vec{N}_1| \cos \varphi - |\vec{N}_2| \cos \varphi + |\vec{F}_1| \sin \varphi + |\vec{F}_2| \sin \varphi - |\vec{Mg}| \sin \alpha = 0.$$

Проектируя силы на направление, перепределения к палочке, получим

$$|\vec{N}_1| \sin \varphi + |\vec{N}_2| \sin \varphi - |\vec{F}_1| \cos \varphi + |\vec{F}_2| \cos \varphi - |\vec{Mg}| \cos \alpha = 0.$$

Уравнение моментов удобно записать относительно оси, перепределения к плоскости рисуна и проедшей через центра сферы:

$$|\vec{F}_1| R + |\vec{F}_2| R - |\vec{Mg}| R \sin \varphi \sin \alpha = 0.$$

Здесь $\varphi = \pi/3$, $R$ — длина палочки, равная радиусу сферы. При наиболее точел с горизонтом можно составлять палочка в проекции на ее направление:

$$|\vec{F}_1| = \mu |\vec{N}_1| \text{ и } |\vec{F}_2| = \mu |\vec{N}_2|.$$

45

Решив полученную систему пяты уравнения, найдем

$$tg \alpha_{\text{max}} = \frac{\mu}{\sin^2 \varphi - \mu^2 \cos^2 \varphi} = \frac{4\mu}{3 - \mu^2},$$

$$\alpha_{\text{max}} = \arctg \frac{4\mu}{3 - \mu^2}.$$

Задачу можно решить так же, используя так называемую «теорему о трех силах»: если тело находится в равновесии под действием трех приложенных к нему непараллельных сил, то линей действия этих сил пересекаются в одной точке.

В нашем случае tremя силами, приложенными к палочке, является сила тяжесте $\vec{Mg}$ и результатующее сил реакции $\vec{R}_1 = \vec{F}_1 + \vec{N}_1$ и $\vec{R}_2 = \vec{F}_2 + \vec{N}_2$ (рис. 8). Поскольку сила tremя при наибольшем угле $\alpha_{\text{max}}$ налобна палочки максимальны, сила $\vec{R}_1$ и $\vec{R}_2$ составляют с радиусами сферы, проведенными в точках касания, один и тот же угол $\beta = \arctg \mu$ (угол tremя).

Рассмотрим треугольник $ACB$, в котором палочка является основанием, а точка $C$ пересечения линей действия сил — противоложей вершиной. Линняя действия силы тяжесте делит упомянутый треугольник на два, имеющих общую сторону длиной $l$ (medianу треугольника $ACB$) и конгречные основания длиной по $R/2$. Применив к каждому треугольнику теорему синусов, получим

$$\frac{\sin(\pi/2 + \alpha - \varphi - \beta)}{R/2} = -\frac{\sin(\varphi + \beta)}{l}$$

и

$$\frac{\sin(\pi/2 - \alpha - \varphi + \beta)}{R/2} = \frac{\sin(\varphi - \beta)}{l},$$

где $tg \beta = \mu$ и $\varphi = \pi/3$.

Поделив эти два уравнения одно на другое, получим

$$\frac{\cos(\alpha - \varphi - \beta)}{\cos(\alpha + \varphi - \beta)} = \frac{\sin(\varphi + \beta)}{\sin(\varphi - \beta)},$$

из которой найдем

$$tg \alpha = \frac{(1 + tg^2 \varphi) tg \beta}{tg^2 \varphi - tg^2 \beta} = \frac{4\mu}{3 - \mu^2}.$$

Б. Буховцев

Ф439. Неоновая лампочка (НЛ) загорается, когда направление на ней достигаем значения $U_1$. При этом сопротивление лампочки становится пренебрежимо малым. Коеда направление на ламне nadaем до значения $U_2$, лампа засетит, и ее сопротивление становится бесконечно большим. Эту ламну включили в цепь, как показано на рисунке 9. Считая $\gg U_1 > U_2$, построить примерный график зависимости направления на конденсаторе от времени после замыкания ключа $K$.

После замыкания ключа $K$ в цепи потечет ток, и направление на конденсатор начинает растить, пока не достигнет значения $U_1$, при котором загигается неоновая лампочка. Поскольку $\gg U_1$, можно считать, что в течение всего времени зарядки конденсатора ток $I = \mathcal{E}/R$ и направление $U_C$ на конденсатор растет по линейному закону (рис. 10).

46

В момент времени $t_1$, когда напряжение на конденсатор станет равным $U_1$, загорится лампочка. Время $t_1$ можно найти из условия

$$It_1 = Q = CU_1, \text{ и } t_1 = \frac{CU_1R}{\mathcal{E}}.$$

При загорании лампочки конденсатор практически мгновенно разрядает до напряжения $U_2$, при котором лампочка гаснет. Затем в течение промежутка времени $t$ конденсатор снова будет заряжаться до напряжения $U_1$ и т. д.

Таким образом, напряжение на конденсатор периодически изменяется с периодом

$$\tau = \frac{(U_1 - U_2)CR}{\mathcal{E}}.$$

Рассмотренная схема представляет собой так называемый генератор пилобразного напряжения.

В. Копылов

Ф440. Оцените приближение, при каком минимальном радиусе планы она сложет удерживаемый аммосферу, состоящую в основном из классора и азота, если температура поверхности планы $T = 300$ K. Среднюю плотность вещества планы прияmb равной $\rho = 4 \cdot 10^3$ кг/м³.

Рассмотрим молекулу, входящую в состав атмосферы планы. Эта молекula будет удерживать в непосредственной близости от поверхности планы, если ее кинетическая энергия не превозходит потенциальной энергии молекулы в гравитационном поле планы:

$$\frac{mv^2}{2} \leqslant \gamma \frac{mM}{r}.$$

Здесь $m$ — масса молекулы, $v^2$ — средний квадрат ее скорости, $\gamma$ — гравиционная постоянная, $M$ — масса планы и $r$ — ее радиус. Оценку минимального радиуса планы можно проверить, используя кинетический и потенциальный энергий по порядку величины:

$$\frac{mv^2}{2} \approx \gamma \frac{mM}{r_{\min}}.$$

Средний квадрат скорости молекулы газа связаан с температурой $T$ газа соответствием

$$\overline{v^2} = \frac{3kT}{m} = \frac{3RT}{\mu},$$

где $k$ — постоянная Больцмана, $R$ — унверсальная газовая постоянная, $\mu$ — молярная масса газа. Массу планы можно выразить через среднее значение $\rho$ плотности вещества планы и ее минимальной радиус:

$$M = \frac{4}{3} \pi r_{\min}^3 \rho.$$

Тогда соответствие (1) можно переписать в таком виде:

$$\frac{3RT}{2\mu} \approx \frac{4}{3} \gamma \pi r_{\min}^2 \rho,$$

откуда

$$r_{\min} \approx \sqrt{\frac{9RT}{8\gamma \pi \mu}}.$$

Из формулы (2) следует, что $r_{\min}$ зависит (при прочих равных условиях) от молярной массы $\mu$: $r_{\min}$ тем меньше, чем больше $\mu$. По условию задачи атмосфера планы состоит в основном из классора и азота, для которых молярные массы равны соответствующим $\mu_k = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль и $\mu_a = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль. Очевидно, для оценки минимального радиуса планы достаточно найти $r_{\min}$, считая, что атмосфера состоит только из азота.

Итак,

$$r_{\min} \approx \sqrt{\frac{9RT}{8\gamma \pi \mu_a}} \approx 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 300 \text{ км}.$$

C. Козел

47

Ф441. Между пластинами замкнутого плоского конденсатора находится мощный заряд q. Площадь пластин беконено величка, расстояние между ними равно d. Первоначальное заряд находится на расстоянии $\frac{1}{3} d$ от левой пластины.

Какой заряд пройдет по проводнику, замкающему пластинами конденсатора, при перемещении заряда q в новое положение, при котором он будет находиться на расстоянии $\frac{1}{3} d$ от правой пластины?

Рис. 11.

Так как пластины конденсатора большие, индуцированные на них заряды не изменятся при перемещении заряд q параллельно плоскостям пластин (краевыми эффектами мы пренебрегаем). Это означает, что не изменятся заряды пластин и в том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости, параллельной пластинам конденсатора и находящей перевоначально на расстоянии $\frac{1}{3} d$ от левой пластины.

Обозначим через $q_1$ заряд левой пластины конденсатора. Тогда заряд правой пластины (согласно закону сохранения заряда) равен $-q_1$. Заряды $q_1$ и $-q_1$ пластин конденсатора создают между пластинами электростатическое поле с напряженнойностью $|\vec{E}_1| = \frac{q_1}{\varepsilon_0 S}$ ($S$ — площад каждой пластины), а находящая внутренняя конденсатора пластина с зарядом $q$ — поле с напряженнойностью $|\vec{E}| = \frac{q}{2\varepsilon_0 S}$ (рис. 11). С одной стороны от пластины направления направленной обихой полей совпадает, а с другой стороны — противоположны друг другу. Поэтому разность потенциальов $\Delta\varphi$ между пластинами конденсатора равна

$$\Delta\varphi = \left( |\vec{E}_1| - |\vec{E}| \right) \frac{1}{3} d + \left( |\vec{E}_1| + |\vec{E}| \right) \frac{2}{3} d.$$

С другой стороны, так как пластины конденсатора замкнуты, направление между ними равно нулю: $\Delta\varphi = 0$. Следовательно,

$$\frac{1}{3} d \left( \frac{q_1}{\varepsilon_0 S} - \frac{q}{2\varepsilon_0 S} \right) + \frac{2}{3} d \left( \frac{q_1}{\varepsilon_0 S} + \frac{q}{2\varepsilon_0 S} \right) = 0.$$

Из этого уравнения найдем заряд $q_1$:

$$q_1 = -\frac{1}{6} q.$$

Аналогично можно найти заряд $q'_1$ левой пластины конденсатора, когда средняя пластина (заряд q) находится от нее на расстоянии $\frac{2}{3} d$:

$$q'_1 = \frac{1}{6} q.$$

Таким образом, при перемещении внутренней конденсатора точного заряд q (или заряженной пластины) по проводнику, соединяющему пластинами конденсатора, проходит заряд

$$\Delta q = q'_1 - q_1 = \frac{1}{3} q.$$

И. Слободецкий