Bài toán M516—M520; F528—F532

33

Bài toán

M516—M520; F528—F532

M516. Ba máy in các cặp số tự nhiên lên thẻ. Các máy hoạt động như sau. Máy đầu tiên đọc thẻ (a; b) sẽ phát ra thẻ mới (a+1; b+1); thứ hai, đọc thẻ (a; b), phát thẻ $\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$ (chỉ hoạt động khi a và b chẵn); người thứ ba đưa ra hai thẻ (a; b) và (b; c), đưa thẻ (a; c). Ngoài ra, máy còn trả về toàn bộ thẻ đã đọc.

Giả sử ban đầu có một thẻ có một cặp số (5; 19). Tôi có thể sử dụng theo thứ tự bất kỳ để nhận thẻ: a) (1;50)? 6) (1;100)?

c) Giả sử ban đầu có một thẻ (a; b), a <b> và ta muốn lấy thẻ (1; n). Việc này có thể được thực hiện để làm gì? (lớp 8-10)

V. Gutenmacher

M517. Một n-giác có diện tích S nội tiếp trong một đường tròn bán kính R. Một điểm nằm ở mỗi bên của n-giác. Chứng minh rằng chu vi của n-giác có các đỉnh tại các điểm lệch nhau ít nhất là 2S/R. (lớp 8-9)

V. Dubrovsky

M518. Các số $x_1, x_2, \ldots, x_n$ thuộc đoạn [a; b], trong đó 0 < a < b. Chứng minh bất đẳng thức

$$\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right) \leq \frac{(a+b)^2}{4ab} n^2.$$ (9 lớp)

S. Fomin

M519. Hai đống que diêm được đưa ra. Ban đầu, có m que diêm trong một chồng, n que diêm trong chồng kia, m > n. Hai người chơi lần lượt lấy các que diêm từ chồng bài. Trong một nước đi, người chơi lấy từ một cọc bất kỳ số trận đấu nào (khác 0) là bội số của số trận đấu trong

34

một đám khác. Người chơi nào giành được ván cuối cùng ở một trong các cọc sẽ thắng.
a) Chứng minh rằng nếu $m > 2n$ thì người chơi đi nước đầu tiên có thể đảm bảo chiến thắng.
b) Với α thì câu phát biểu đúng là gì: nếu $m > \alpha n$, thì người chơi đi nước đầu tiên có thể đảm bảo thắng? (9 lớp)

A. Slinko

M520. Khoảng cách là một dãy số $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Mỗi người trong số họ được đưa đến hình thức

$$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6},$$

trong đó $q_n, r_n, s_n, t_n$ là số nguyên. Tìm giới hạn của bạn

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{q_n}. \quad (10 \text{ кл.})$$

I. Bernitsyn

F528. Hình 1 cho thấy sự phụ thuộc của dòng điện qua bóng đèn tự động vào điện áp trên nó. Bóng đèn được mắc nối tiếp với nguồn điện áp không đổi $U = 10$ V có điện trở $R = 4$ Ohm. Xác định công suất của bóng đèn. (8 lớp)

F529. Sử dụng một bức ảnh chụp áp phích quảng cáo (Hình 2), xác định: 1) tiêu cự của vật thể chụp ảnh; 2) vật thể nằm cách lòng bàn tay bao nhiêu khi chụp ảnh; 3) kích cỡ của con cá mà ngư dân đánh bắt được; 4) đường kính vật thể (giả sử

Hình 2.

Chú ý! Thời hạn gửi lời giải bài toán từ “Sách Vấn đề Quaita” số 6 (1978) là đến ngày 1 tháng 9.

35

độ mờ chi tiết ảnh trong ảnh không vượt quá 0,2 mm). Hãy coi ống kính máy ảnh như một ống kính mỏng. (10 lớp)

F530. Trong sơ đồ hiển thị ở Hình 3, $\mathcal{E}_0 > \mathcal{E}_1$. Xác định điện tích sẽ chạy qua pin với e. d.s. $\mathcal{E}_0$ khi đóng chìa khóa $K$, giả sử điện trở trong của pin và điện trở của cuộn dây bằng 0. Điốt được coi là lý tưởng (điện trở thuận của nó bằng 0, điện trở ngược của nó là vô cùng); Tụ điện không được tích điện trước khi đóng công tắc. (10 lớp)

F531. Mạch nước phun có thể được coi là các hồ chứa lớn dưới lòng đất chứa đầy nước ngầm và được làm nóng bởi lòng đất (Hình 4). Lối ra từ chúng đến bề mặt Trái đất là thông qua một kênh hẹp, trong thời kỳ “yên tĩnh” gần như chứa đầy nước. Giả sử rằng giai đoạn “hoạt động” là khi nước trong bể chứa ngầm sôi lên và trong quá trình phun trào, kênh chỉ chứa đầy hơi nước thoát ra ngoài, hãy ước tính lượng nước mà bể chứa mạch nước phun mất đi trong một lần phun trào. Độ sâu kênh $h=90$ m; nhiệt bay hơi của nước $\lambda=2,26 \cdot 10^6$ J/kg; nhiệt dung của nước $c=4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K). Sự phụ thuộc của áp suất hơi nước bão hòa vào nhiệt độ được thể hiện trên Hình 5. (9 ô)

F532. Con lắc là một thanh nhẹ có chiều dài $l$ với khối lượng $M$ ở cuối. Một ống lót hình trụ nhẹ $a$ có bán kính trong $r$ được gắn vào đầu kia của thanh, gắn trên trục quay ngang $b$ (Hình 6). Hệ số ma sát giữa ống lót và trục là $\mu$. Xác định góc lệch của thanh so với phương thẳng đứng ở trạng thái cân bằng. (8 lớp, 10 lớp)