Lời khuyên của độc giả

48

Lời khuyên của độc giả

Trong thư xã luận chung «Kvant» một phần đáng kể các bức thư từ độc giả của chúng tôi - học sinh, giáo viên, những người yêu thích toán học - liên quan đến chủ đề của phần “Thực hành của ứng viên”. Nhiều người trong số họ đề cập đến các vấn đề từng phần; các biên tập viên trả lời những bức thư như vậy của chính tác giả của họ. Nhưng trong cả một loạt thư và ghi chú, những thông điệp thú vị được thể hiện về các vấn đề lý thuyết khác nhau của khóa học toán ở trường, ý tưởng của một số dạng bài thi nhất định bài toán được trình bày, những nhận xét và đề xuất hữu ích có tính chất phương pháp luận, được biên soạn độc lập bài toán, được đưa ra. Mặc dù các thông điệp và bài toán được đưa ra trong những bức thư như vậy không phải lúc nào cũng mới và độc đáo, nhưng theo quan điểm của chúng tôi, nên giới thiệu cho tất cả độc giả «Kvant» nội dung của chúng. Chưa xét đến việc có thể xuất bản đầy đủ những bức thư và ghi chú này, ban biên tập đã chuẩn bị tuyển chọn tài liệu được biên soạn theo ý kiến ​​và gợi ý của độc giả tạp chí, kèm theo những nhận xét bổ sung cần thiết. Chúng tôi hy vọng rằng những câu hỏi trong bộ sưu tập sẽ giúp ích cho các ứng viên vào các trường đại học.

Sự thành thạo trong khóa học toán ở trường mà thí sinh phải thể hiện trong kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt, ngụ ý khả năng thực hiện các phép tính một cách chính xác và biến đổi chính xác các biểu thức đại số. Thật không may, người nộp đơn thường bị giảm điểm chính xác do những sai sót mắc phải trong quá trình chuyển đổi. Theo quy luật, những lỗi như vậy không xảy ra do tầm thường - đúng hơn, chúng là kết quả của sự thiếu chú ý và sơ suất, không có khả năng kiểm tra bản thân, kết quả của việc thực hành không đầy đủ trong các ví dụ lời giải phản ánh quá trình đào tạo kỹ thuật (xem «Kvant», 1974, Số 3, trang 49-50). Bản chất của phương pháp này là thay vì một trong các biến có trong biểu thức đại số, một hàm lượng giác nhất định của góc phụ được thay thế và nó được chọn sao cho biểu thức ban đầu được đơn giản hóa nhờ các công thức lượng giác nổi tiếng.

Tất nhiên, việc đào tạo lượng giác không chỉ hữu ích trong việc chuyển đổi các biểu thức đại số mà còn trong nhiều bài toán - với phương trình lời giải, chứng minh bất đẳng thức, v.v. Một tập hợp lớn các ví dụ thú vị thuộc loại này đã được độc giả V. Olkhov (Gorky) của chúng tôi gửi.

Ví dụ 1. Chứng minh Giáng sinh

$$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.$$ (1)

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng cả hai vế đẳng thức (1) đồng thời có ý nghĩa nếu

$$b \geq 0, a \geq 0, a \geq \sqrt{b};$$ (2)

đối với những giá trị này $a$ và $b$, chúng tôi sẽ chứng minh danh tính của mình. Sự hiện diện của biểu thức $a^2 - b$ dưới căn bậc hai gợi ý ý tưởng đặt

$$b = a^2\sin^2\varphi, \text{ где } 0 \leq \varphi \leq \pi/2,$$ (3) - bởi vì khi đó

$$\sqrt{a^2 - b} = a\cos\varphi.$$

Việc chuẩn bị lượng giác như vậy có thể chấp nhận được, vì do bất đẳng thức (2) nên phân số $b/a^2$ (tại $a \neq 0$) nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và nó có thể được coi là giá trị của sin bình phương của một góc nhất định của phần tư thứ nhất

49

(nếu $a=0$ thì $b=0$ và nhận dạng (1) rất cụ thể).

Sau khi thay (3) vào pháp luật, phần đẳng thức (1) sẽ được viết dưới dạng

$$\sqrt{a} \left( \cos \frac{\varphi}{2} + \sin \frac{\varphi}{2} \right).$$

Đồng thời

$$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{a + a \sin \varphi} = \sqrt{a} \left( \cos \frac{\varphi}{2} + \sin \frac{\varphi}{2} \right),$$

vì $1 + \sin \varphi = \cos^2 \frac{\varphi}{2} + 2 \cos \frac{\varphi}{2} \sin \frac{\varphi}{2} + \sin^2 \frac{\varphi}{2} = \left( \cos \frac{\varphi}{2} + \sin \frac{\varphi}{2} \right)^2$, và đẳng thức (1) được chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với $c > 0, a > c, b > c$

$$\sqrt{(a + c)(b + c)} + \sqrt{(a - c)(b - c)} \leq 2 \sqrt{ab}.$$

Làm thế nào để đạt được dấu bằng trong bất đẳng thức này?

Ta viết lại bất đẳng thức được chứng minh dưới dạng

$$\sqrt{\left( 1 + \frac{c}{a} \right)\left( 1 + \frac{c}{b} \right)} + \sqrt{\left( 1 - \frac{c}{a} \right)\left( 1 - \frac{c}{b} \right)} \leq 2.$$ (4)

Vì theo điều kiện

$$0 < \frac{c}{a} < 1, \quad 0 < \frac{c}{b} < 1,$$

có thể được đặt

$$\frac{c}{a} = \cos \alpha, \quad 0 < \alpha < \pi/2,$$

$$\frac{c}{b} = \cos \beta, \quad 0 < \beta < \pi/2.$$

Nếu chúng ta thực hiện phép thay thế lượng giác này ở vế trái của bất đẳng thức (4), thì chúng ta có thể làm như sau:

$$\sqrt{(1 + \cos \alpha)(1 + \cos \beta)} + \sqrt{(1 - \cos \alpha)(1 - \cos \beta)} = 2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \right) \leq 2,$$

điều này chứng tỏ bất đẳng thức (4).

Từ chuỗi chuyển đổi trên, rõ ràng sự bình đẳng theo (4) đạt được khi

$$\cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \right) = 1,$$

tức là ở $\alpha = \beta$; điều này chỉ có thể thực hiện được với $a = b$ (hãy tự kiểm tra!).

Phương trình vô tỷ sau đây có tham số có thể được giải dễ dàng bằng phương pháp tiêu chuẩn - lũy thừa; bạn chỉ cần cẩn thận để không bị bén rễ. Chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải phương trình này theo cách khác - sử dụng phép thế lượng giác.

Ví dụ 3: Giải phương trình

$$\sqrt{p + x} + \sqrt{p - x} = x.$$ (5)

Trước tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng nếu phương trình (5) đối với một số giá trị của tham số $p$ có nghiệm, thì nghiệm này là một số không âm (tại sao?). Theo đó, đối với $p < 0$ phương trình (5) không có nghiệm, đối với $p = 0$ nó có một nghiệm $x = 0$ và đối với $p > 0$ các nghiệm phải thỏa mãn bất đẳng thức $0 < x \leq p$ (chứng minh các phát biểu này).

Hãy thực hiện một sự thay thế lượng giác

$$x = p \cos \psi, \quad 0 \leq \psi < \frac{\pi}{2};$$

thì phương trình (5) sẽ có dạng

$$\sqrt{1 + \cos \psi} + \sqrt{1 - \cos \psi} = \sqrt{p} \cos \psi,$$

hoặc

$$\sqrt{2} = \sqrt{p} \left( \cos \frac{\psi}{2} - \sin \frac{\psi}{2} \right)$$

(thực hiện các phép tính). Bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình cuối cùng, chúng ta nhận được

$$\sin \psi = \frac{p - 2}{p}.$$

Từ đây, chúng tôi xác định giá trị $\psi$ chỉ có thể được chọn trong quý đầu tiên khi $p \geq 2$; do đó, phương trình (5) chỉ có nghiệm đối với các giá trị của tham số $p \geq 2$. Đối với bất kỳ giá trị tham số nào thỏa mãn điều kiện này,

51

mặc

$$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

(«Kvant», 1976, số 4, trang 41-42).

M. Shkalenyuk (Odessa) chỉ ra một cách khái quát thú vị về công thức (7) trong thư của mình. Hãy để chúng tôi chứng minh sự khái quát này trên một bài toán cụ thể.

Ví dụ 5 (MSU, Cơ học và Toán học, 1965). Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

$$\sin x + 2 \sin 2x = 3 + \sin 3x?$$

Sử dụng các công thức lượng giác đã biết, chúng ta viết lại phương trình đã đề xuất dưới dạng

$$\sin 2x - \sin x \cos 2x = \frac{3}{2}.$$

(8)

Bây giờ chúng ta biến đổi phần bên trái như sau:

$$\sin 2x - \sin x \cos 2x =$$

$$= \sqrt{1 + \sin^2 x} \left[ \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \sin 2x - \frac{\sin x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \cos 2x \right].$$

Vì với bất kỳ $x$

$$\left( \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \right)^2 + \left( -\frac{\sin x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \right)^2 = 1,$$

tồn tại một góc $\varphi = \varphi(x)$ phụ thuộc vào $x$ sao cho

$$\frac{1}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} = \cos \varphi(x),$$

$$- \frac{\sin x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} = \sin \varphi(x).$$

không thì

$$\sin 2x - \sin x \cos 2x =$$

$$= \sqrt{1 + \sin^2 x} \sin (2x + \varphi(x)),$$

nên phương trình (8) tương đương với phương trình

$$\sqrt{1 + \sin^2 x} \sin (2x + \varphi(x)) = \frac{3}{2}.$$

Vì vế trái của phương trình cuối cùng không vượt quá $\sqrt{2}$ với tất cả các giá trị của $x$ nên phương trình này không có nghiệm.

---

Độc giả của chúng tôi V. Kolmykov (Voronezh) đề nghị tìm ra lỗi trong “chứng minh” của “định lý” rõ ràng là sai sau đây:

10. Định lý. Nếu hai mặt phẳng song song thì chúng trùng nhau.

Bằng chứng. Cho phép

$$ax + by + cz + d = 0$$

là phương trình của mặt phẳng $\alpha$, và

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

là phương trình của mặt phẳng $\beta$ và đặt $\alpha \parallel \beta$. Do sự song song của các mặt phẳng này

$$\frac{A}{a} = \frac{B}{b} = \frac{C}{c},$$

hoặc, nếu anh ta biểu thị các mối quan hệ này bằng $k$, $A = ka$, $B = kb$, $C = kc$.

Không thì phương trình của mặt phẳng $\beta$ có thể viết là

$$ax + by + cz + d = 0.$$

Trừ đẳng thức (9) khỏi đẳng thức (10), chúng ta thu được $D = kd$, và do đó phương trình (10) của mặt phẳng $\beta$ có thể được viết lại dưới dạng

$$ax + by + cz + d = 0.$$

Vì phương trình này trùng với phương trình (9) của mặt phẳng $\alpha$ nên chúng ta thu được $\alpha = \beta$.