Diện tích bề mặt theo Minkowski

33

Diện tích bề mặt theo Minkowski

Chiều dài của một con đường bằng diện tích của nó chia cho chiều rộng của nó.
(Trích bài giảng của học sinh)

Trong ghi chú trước về diện tích bề mặt («Kvant», 1978, Số 5), chúng ta đã nói về cách không xác định nó. Ở đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng cả sự phát triển lẫn sự gần đúng của các bề mặt đa diện đều không phù hợp cho mục đích này.

Bài viết này sẽ đề xuất một phương pháp chính xác để xác định diện tích bề mặt do nhà vật lý và toán học kiệt xuất người Đức G. Minkowski (1864-1909) phát minh ra. Định nghĩa của nó là chung chung và đơn giản. Nó cho phép bạn dễ dàng tính toán diện tích không gian. Trong “Hình học 10”, định nghĩa này được sử dụng để tìm diện tích hình cầu (§ 69) và diện tích bề mặt của một hình trụ, hình nón và hình cầu (phụ lục Chương VI).

Ý tưởng về định nghĩa của Minkowski rất rõ ràng. Chúng ta hãy tưởng tượng một lớp có độ dày không đổi “bao bọc” các bề mặt. Bằng trực giác, có thể thấy rõ rằng thể tích $V(\delta)$ (2δ là độ dày của lớp) xấp xỉ bằng $2\delta \cdot S$, trong đó $S$ là diện tích bề mặt đang được xem xét. Sau khi tính các giá trị của $V(\delta)/2\delta$, chúng ta sẽ tìm được giá trị gần đúng của $S$ và giá trị $\delta$ càng nhỏ thì giá trị gần đúng sẽ càng tốt.

Hãy dịch ý tưởng này sang ngôn ngữ toán học. Tương đương về mặt toán học của “lớp có độ dày không đổi” là khái niệm lân cận của một hình *). Hãy định nghĩa điều này theo thuật ngữ nyatcha. Cho $\Phi$ là một số tùy ý trong không gian, $\delta$ là một số dương. Tập $\Phi_\delta$ gồm các điểm $P$ không gian cách $\Phi$ một khoảng không quá $\delta$, $\rho(P \Phi) \leq \delta$ được gọi là lân cận δ (đóng *)) của hình $\Phi$.

Để làm rõ định nghĩa, chúng ta cần xác định khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một hình. Khoảng cách $\rho(P, \Phi)$ từ điểm $P$ đến hình $\Phi$ cũng đồng nghĩa với số $d$, nghĩa là bất kỳ quả bóng nào có tâm $P$ và bán kính nhỏ hơn $d$ không có điểm chung với $\Phi$, nhưng bất kỳ quả bóng nào có tâm $P$ và bán kính lớn hơn $d$ có.

Tuy nhiên, vùng lân cận δ của một hình có thể được xác định mà không cần khái niệm khoảng cách đến $\Phi$. Hóa ra định nghĩa này tương đương với định nghĩa sau: lân cận δ của hình $\Phi$ là tập hợp $\Phi_\delta$ các điểm $P$ của không gian sao cho mọi quả bóng có tâm $P$ và bán kính lớn hơn $d$ đều có điểm chung với $\Phi$. Hãy suy nghĩ kỹ.

Nếu trong định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một hình, chúng ta thay các từ “không gian” và “quả bóng” bằng “mặt phẳng” và “đường tròn”, thì chúng ta thu được định nghĩa về lân cận δ của một hình trên một mặt phẳng. Trường hợp không có quy định khác, chúng tôi sẽ xem xét các vùng lân cận không gian.

Bài tập

1. a) Tìm mặt phẳng và lân cận δ trong không gian của đoạn thẳng. Chứng minh rằng diện tích của hình thứ nhất và thể tích của hình thứ hai lần lượt bằng nhau, $2\delta d + \pi\delta^2$ và $\pi\delta^2 d + \frac{4}{3}\pi\delta^3$, trong đó $d$ là độ dài của đoạn thẳng.

6. Giải tương tự bài toán cho đường tròn bán kính $R > \delta$ (trong trường hợp này đáp số là: $4\pi R$ và $2\pi^2 R\delta^2$).

2. Tìm lân cận δ của một hình lục giác đều trong không gian. Chứng minh rằng $V(\delta)/2\delta$, trong đó $V(\delta)$ là thể tích, tại $\delta \rightarrow 0$ hướng về diện tích hình lục giác.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra định nghĩa cơ bản cho lưu ý này: diện tích bề mặt $\Pi$ được gọi là giới hạn

$$S(\Pi) = \lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Pi_\delta)}{2\delta},$$

*) Vì chúng ta sẽ chỉ xem xét các vùng lân cận đóng, nên phần “đóng” được thêm vào sẽ bị bỏ qua trong phần tiếp theo.

34

trong đó $V(\Pi_\delta)$ là thể tích của vùng lân cận δ của nó.
Một lời cảnh báo. Tất nhiên, giới hạn (1) có thể không tồn tại. Có thể chứng minh rằng đối với tất cả các bề mặt “tốt” thì nó tồn tại (trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta sẽ tính toán nó). Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng từ sự tồn tại của nó đối với một số hình $\Pi$ thì $\Pi$ là một bề mặt theo nghĩa được chấp nhận rộng rãi. Ngoài ra, đối với mặt phẳng Minkowski, đẳng thức $S(\Pi_1 \cup \Pi_2) = S(\Pi_1) + S(\Pi_2)$ (tại $\Pi_1 \cap \Pi_2 = \emptyset$) không phải lúc nào cũng đúng; Theo đó, ví dụ được xem xét ở bài toán 4. Tuy nhiên, với bề mặt “tốt” thì những bất tiện như vậy sẽ không xảy ra.

Ví dụ về tính diện tích

Tất nhiên, có thể tính diện tích các bề mặt và sử dụng trực tiếp định nghĩa nêu trên chỉ trong những trường hợp đơn giản nhất *).

Chúng ta sẽ tìm diện tích của một hình cầu, một hình xuyến (bề mặt thu được bằng cách biểu diễn một đường tròn xung quanh một đường thẳng không cắt nó), các bề mặt bên của một hình trụ và một hình nón. Một nửa các phần trục của vùng lân cận δ của các bề mặt này được thể hiện trong Hình 1, 2, 3a, 4a.

Bài tập

3. Chứng minh rằng lân cận δ của bề mặt thu được bằng cách biểu diễn một đường tròn quanh một đường thẳng không cắt nó, các bề mặt bên của hình trụ và hình nón. Một nửa tiết diện trục của các vùng lân cận δ của đường cong này quanh đường thẳng l.

4. Chứng minh rằng các vật xuất hiện trong quá trình biểu hiện các hình màu vàng trong Hình 1, 2, 3a, 4a là các lân cận δ tương ứng với bề mặt.

5. Quả cầu. Rõ ràng, thể tích của vùng lân cận δ của hình cầu $\Sigma = \Sigma(R)$ bán kính $R$ bằng với hiệu thể tích của các quả bóng có bán kính $R + \delta$ và $R - \delta$ (Hình 1):

$$V(\Sigma_\delta) = \frac{4}{3}\pi[(R + \delta)^3 - (R - \delta)^3] = 2\delta \cdot \frac{4}{3}\pi(3R^2 + \delta^2).$$

Chia biểu thức cuối cùng cho 2δ và chuyển đến giới hạn ở $\delta \rightarrow 0$, chúng ta thấy rằng $S(\Sigma(R)) = 4\pi R^2$.

2. Thor. Chúng ta hãy xem xét hình xuyến $T = T(R, r)$ thu được bằng cách biểu thị một đường tròn có bán kính $r$ xung quanh một đường thẳng nằm cách tâm nó một khoảng bằng cách sử dụng các công thức tích phân nhất định.

*) Trong những trường hợp phức tạp hơn, diện tích bề mặt được tính bằng các công thức tích phân nhất định.

35

đứng $R > r$ (Hình 2). Rõ ràng vật thể giới hạn bởi nó là lân cận $r$ của một đường tròn có bán kính $R$, thể tích của nó, theo kết quả của Bài tập 16), bằng $2\pi^2 R r^2$. Sử dụng công thức này, dễ dàng tìm được thể tích của vùng lân cận $\delta$ của một hình xuyến (xem Hình 2)—nó bằng bán kính $(r + \delta)$-láng giềng và $(r - \delta)$-lân cận của một đường tròn có bán kính $R$:

$$V(T_\delta) = 2\pi^2 R(r + \delta)^2 - 2\pi^2 R(r - \delta)^2 = 2\delta \cdot 4\pi^2 R r.$$

Vì vậy, $S(T(R, r)) = 4\pi^2 R r$.

Từ Hình 3a và 4a, rõ ràng là việc tìm thể tích của các vùng lân cận $\delta$ của các bề mặt bên của hình trụ và đặc biệt là hình nón không đơn giản như đối với hình cầu và hình xuyến. Việc tính toán phần thiết yếu sẽ được đơn giản hóa nếu các lân cận này được “sửa” một chút (Hình 36 và 46). Chúng tôi sẽ tiến hành tính toán, sử dụng các “sửa đổi” và sau đó chứng minh tính hợp lệ của chúng.

3. Ts tôi li và cộng sự. Chúng ta biểu thị bằng $C = C(R, H)$ bề mặt bên của hình trụ có bán kính $R$ và chiều cao $H$. Thể tích của vùng lân cận $\delta$-vùng lân cận $C'_\delta$ (Hình 36) đã được hiệu chỉnh của nó bằng với chênh lệch thể tích của các hình trụ có bán kính $R + \delta$ và $R - \delta$ có cùng chiều cao $H$:

$$V(C'_\delta) = \pi H \left[ (R + \delta)^2 - (R - \delta)^2 \right] = 2\delta \cdot 2\pi R H,$$

bởi vì

$$S(C(R, H)) = \lim_{\delta \to 0} \frac{V(C'_\delta)}{2\delta} = 2\pi R H.$$

4. hình nón. Gọi $R$ là bán kính đáy của hình nón, $\alpha$ góc giữa trục của nó và ma trận và $K = K(R, \alpha)$ bề mặt bên của nó. Khi đó thể tích của vật $K'_\delta$ (Hình 46) bằng hiệu giữa thể tích của hình nón $R + \frac{\delta}{\cos \alpha}$ và $R - \frac{\delta}{\cos \alpha}$ và các góc bằng nhau $\alpha$. Thật dễ dàng để thấy điều đó

$$V(K'_\delta) = \frac{1}{3} \pi \text{ctg} \alpha \left( R + \frac{\delta}{\cos \alpha} \right)^3 - \frac{1}{3} \pi \text{ctg} \alpha \left( R - \frac{\delta}{\cos \alpha} \right) = 2\delta \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( R^2 + \frac{\delta^2}{3 \cos^2 \alpha} \right).$$

Vì vậy, $S(K(R, \alpha)) = \frac{\pi R^2}{\sin \alpha}$.

Nếu cùng với góc $\alpha$ cho chiều dài $l$ của hình nón sinh ra, thì vì $l = \frac{R}{\sin \alpha}$, đối với mặt phẳng, công thức $S(K) = \pi R l$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh tính đúng đắn của việc thay thế các vùng lân cận $C_\delta$ và $K_\delta$ bằng $C'_\delta$ và $K'_\delta$. Rõ ràng là việc thay thế vùng lân cận $\Pi_\delta$ trong công thức (1) bằng một phần nào đó $\Pi'_\delta$ không ảnh hưởng đến kết quả khi và chỉ khi các đại lượng $v(\delta) = \frac{V(\Pi_\delta) - V(\Pi'_\delta)}{2\delta}$ có xu hướng bằng 0 tại $\delta \to 0$. Sự khác biệt về thể tích $V(C'_\delta)$ và $V(C'_\delta)$, $V(K_\delta)$ và $V(K'_\delta)$ theo mô hình rõ ràng không vượt quá thể tích của các vật thể thu được bằng cách xoay các hình chữ nhật $Q_1$ và $Q_2$ lần lượt trong Hình 5a và 5b. Sau khi tìm thấy các thể tích này (lưu ý rằng để làm được điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức (2)), chúng ta thấy rằng trong trường hợp hình trụ $|v(\delta)| \leq 4\pi R \delta$ và trong trường hợp hình nón $|v(\delta)| \leq \left( \frac{4\pi R}{\cos \alpha} + \frac{\pi \delta}{\sin \alpha} \right)\delta$. Vì vậy, trong trường hợp chung $\lim_{\delta \to 0} v(\delta) = 0$.

Khái quát hóa

Giả sử một số tập hợp $\Phi$ có điểm cuối và giới hạn dương $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{2\delta}$;

thì rõ ràng là khi thay mẫu số $2\delta$ bằng $c\delta^n$ giới hạn này sẽ biến mất ở $n < 1$ và đến vô cùng ở $n > 1$. Trong định nghĩa về ý nghĩa, thuộc tính này mang tính đặc trưng trên bề mặt. Điều dễ hiểu là đối với các phần thân, giá trị biên như vậy sẽ là $n = 0$ và đối với các dòng - $n = 2$.

Đặc biệt, trong trường hợp sau, các định nghĩa sau được chấp nhận

36

định nghĩa: độ dài của đoạn thẳng $L$ theo Minkowski (trong không gian) được gọi là giới hạn $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(L_\delta)}{\pi \delta^2}$.

Sự biện minh trực quan cho định nghĩa này là phần của vùng lân cận $L_\delta$, phân phối lại các đường $L$, là một hình tròn có bán kính $\delta$ (diện tích $\pi \delta^2$), do đó thể tích $L_\delta$ phải bằng tích của $\pi \delta^2$ và độ dài của đường $L$. Sử dụng kết quả của điều khiển 1, kiểm tra xem định nghĩa của Minkowski có đưa ra các giá trị cần thiết cho độ dài của đoạn thẳng và đường tròn hay không.

Ít ý nghĩa hơn nhưng đầy đủ ý nghĩa là việc xem xét giá trị của $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{c \delta^n}$ cho $n=0$ và $n=3$, trong đó $c$ là các hằng số được chọn thích hợp (xem bài toán 7).

Các định nghĩa tương tự có thể được đưa ra trên mặt phẳng, trong đó trường hợp thú vị nhất là $n=1$: đại lượng $\lim_{\delta \to 0} \frac{S(L_\delta)}{2\delta}$, trong đó $S(L_\delta)$ là diện tích của lân cận (phẳng) $\delta$ của đường cong $L$, được lấy một cách tự nhiên bằng độ dài của đường $L$ (xem biểu đồ).

Những khái quát hóa sâu hơn liên quan đến không gian $n$ chiều cho $n>3$ và tất nhiên, chúng tôi sẽ không tập trung vào chúng.

3 adach và

1. Chứng minh rằng lân cận $\delta$ của hình $\Phi$ không phải lúc nào cũng là hợp của tất cả các quả bóng có bán kính $\delta$ có ​​tâm tại các điểm của hình này.

2. Cho ví dụ về hai hình khác nhau $\Phi$ và $\Phi'$ sao cho $\Phi_\delta = \Phi_\delta'$: a) đối với một số $\delta$; b) với mọi $\delta$.

3. Chứng minh rằng thể tích lân cận $\delta$ của một $n$-giác lồi bằng $2\delta \cdot S + \pi \delta^2 \cdot P + \frac{4}{3} \pi \delta^3$, trong đó $S$ là diện tích và $P$ là bán chu vi của nó.

4. Cho $Q$ là một hình vuông nằm trong mặt phẳng $Oxy$, $Q_1$ tập hợp các điểm của nó mà tại đó có cả tọa độ $x$ và $y$, $Q_2$ các điểm còn lại của nó. Chứng minh rằng tất cả các tập hợp này đều có diện tích Minkowski và $S(Q) = S(Q_1) = S(Q_2)$, do đó $S(Q_1 \cup Q_2) < S(Q_1) + S(Q_2)$, mặc dù các tập hợp $Q_1$ và $Q_2$ không giao nhau.

5. Tìm diện tích bề mặt, chúng ta có được bằng cách biểu thị các vòng tròn khác xung quanh dây cung phụ thuộc vào nó.

6. Tìm diện tích bề mặt của một vật là giao điểm của hai hình trụ (đủ dài) có bán kính $R$, các trục của chúng đi qua một điểm chung và vuông góc với nhau.

7. Chọn các hằng số $c_1$ và $c_2$ sao cho giới hạn a) $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{c_1}$ b) $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{c_2 \delta^3}$ có ý nghĩa hình học có ý nghĩa. Chúng dương với hình nào $\Phi$?

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải…

(Để bắt đầu, xem trang 32)

V. Berkum (Dnepropetrovsk) 18, 19; A. Boldyrev (Alma-Ata) 19; V. Bolotnikov (Kharkov) 10, 12, 14-17, 19, 22; G. Borisov (khu định cư Komsomolsky, vùng Tomen) 11, 12, 15, 17; A. Brodin (Kyiv) 11, 12; O. Bultsenin (Pavlodar) 18; M. Valeiko (Kyiv) 9, 10; O. Vasiliev (khu định cư Urmary, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Chuvash) 9; S. Vasiliev (Kalinin) 10; A. Velko (Làng trồng mía, vùng Minsk) 18; D. Voldko (Dolgoprudny) 18, 19, 22; F. Gabasov (p/o Nasibash Bashk ASSR) 18; M. Gavrilov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 9-14, 16, 19; M. Goltsman (Dnepropetrovsk) 10, 11, 15, 20; I. Gopits (Novosibirsk) 9, 10, 14, 15; I. Gruzbere (Perm) 9, 13; E. Davidov (làng Poplevno, vùng Ryazan) 13; I. Danilovsky (Gorky) 19; V. Jaloyan (làng Urtsadzor, Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Armenia) 15; V. Didukh (Lviv) 10; A. Dremin (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 11, 15, 18, 22; M. Ermolaev (Kostroma) 16; V. Zhilin (làng Khabary, vùng Altai) 15, 18; Yu. Zhuk (Moscow) 13, 15; V. Zhukov (Abaza) 19, 20, 22; K. Zhukov (Moscow) 13, 15; D. Zakharov (Moscow) 18; A. Zemskov (Ukhta) 18; E. Zudin (Alexandrov) 10, 11, 13-17, 22; E. Ivenko (Vinnitsa) 18; K. Ilyin (Vilnius) 18; S. Kalashnikov (Ryazan) 10; A. Kaplan (Sumgant) 18; V. Kelman (Moscow) 19; O. Kirilenko (Balashina) 22; A. Klyukov (Chelyabinsk) 13; V. Kovtunenko (Kyiv) 9, 10; E. Kozan (Dnepropetrovsk) 10, 15, 16; M. Kokov (thôn Bateh KVASSR) 9; V. Komov (Alexandrov) 10, 11, 13, 14, 16-19, 22; A. Korobeinikov (Balashov) 10; A. Kosterov (Semiluki) 20; O. Kravets (Voronezh) 19; R. Kristul (Bobrisk) 16; E. Kuzmin (Cherenovets) 9, 18, 19; A. Kuprin (Moscow) 9-12, 18-20, 22; V. Kuryan (Rostov-on-Don) 11-13, 15, 17, 19, 20; V. Lashkin (Kyiv) 12, 15, 18, 22; A. Leonovich (Lida) 16; V. Linkov (Kaluga) 10; D. Lyudmirsky (Kyiv) 10, 17-19, 22; Yu. Makarov (p/o Chagoda, vùng Vologda) 18; S. Malamanov (Leningrad) 15, 18; I. Manitsev (Slutsk) 18; A. Matyukas (Đếm) 15, 16, 19; L. Marukhlenko (làng Staraya Kupavna, vùng Moscow) 12; S. Medvedev (Moscow) 10, 11; V. Mikulov (Pavlodar) 20; A. Motselner (Sverdlovsk) 20; A. Molotovichkov (Teykovo) 16; S. Murachtsev (Makhachka) 10;

(Cuối cùng xem trang 51)