Площадь поверхности по Минковскому

33

Площадь поверхности по Минковскому

Длина дороги равна ее площади, деленной на ее ширину.
(Из лекции для школьников)

В предшествующей заметке о площади поверхности («Квант», 1978, № 5) мы рассаказали о том, как не следует ее определить. Мы показали там, что для этой цели не подходит ни развертка, ни приближение многогранными поверхности.

В данной заметке будет предложен корректный способ определения площади поверхности, придуманный выдающимся немецким физиком и математиком Г. Минковским (1864—1909). Его определение отличается общностью и простотой. Она позволяет легко вычислять площади пространств. В «Геометрии 10» это определение использует при нахождения площади сферы (§ 69) и площади поверхности цилиндра, конуса и шарового сегмента (приложение к гл. VI).

Идея определения Минковского очень наглядна. Представим себе слой постоянной толщины, «окутывающий» поверхности. Интуитивно ясно, что его объем $V(\delta)$ (2δ — толщина слоя) примерно равен $2\delta \cdot S$, где $S$ — площад расматриваемой поверхности. Вычислив величины $V(\delta)/2\delta$, мы найдем приближение значения $S$, причем приближение будет тем лучше, чем меньше $\delta$.

Переведем эту идею на язык математики. Математический эквивалентом «слоя постоянной толщины» является понятие окрестности фигуры *). Дадим определение этого по няття. Пусть $\Phi$ — произвольная фигура в пространстве, $\delta$ — положительное число. Множество $\Phi_\delta$ точек $P$ пространства, удаленных от $\Phi$ на расстояние, не превышает $\delta$, $\rho(P \Phi) \leq \delta$ называется (замкнутой *)) δ-окрестностью фигуры $\Phi$.

Чтобы определение стало понятным, надо определить понятие расстояния от точки до фигуры. Под расстоянием $\rho(P, \Phi)$ от точки $P$ до фигуры $\Phi$ понимается также число $d$, что любой шар с центром $P$ и радиусом, меньшим $d$, не имеет с $\Phi$ общих точек, а любой шар с центром $P$ и радиусом, большим $d$, имеет.

Впрочем, δ-окрестность фигуры можно определить и без понятия расстояния до $\Phi$. Оказывается, данное определение эквивалентно следующему: δ-окрестность фигуры $\Phi$ — это множество $\Phi_\delta$ таких точек $P$ пространства, что всякий шар с центром $P$ и радиусом, большим $d$, имеет с $\Phi$ общие точки. Продумайте это.

Если в определении расстояния от точки до фигуры заменить слова «пространство» и «шар» на «плоскость» и «круг», то получится определение δ-окрестности фигуры на плоскости. Взделе, где не оговорено противное, мы будем рассматривать пространственные окрестности.

Упражнения

1. a) Найти плоскую и пространственную δ-окрестности отрезка. Доказать, что площад первой и объем второй равны, соответствующим, $2\delta d + \pi\delta^2$ и $\pi\delta^2 d + \frac{4}{3}\pi\delta^3$, где $d$ — длина отрезка.

6. Решить ту же задачу для окружности радиуса $R > \delta$ (в этом случае ответы такие: $4\pi R$ и $2\pi^2 R\delta^2$).

2. Найти в пространстве δ-окрестность правильного шестиугольника. Доказать, что $V(\delta)/2\delta$, где $V(\delta)$ — объем, при $\delta \rightarrow 0$ стремится к площад шестиугольника.

Дадим теперь основное для этой заметки определение: площадное поверхности $\Pi$ называется предел

$$S(\Pi) = \lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Pi_\delta)}{2\delta},$$

*) Так как мы будем рассматривать только замкнутые окрестности, прилагаемые «замкнутой» в дальнейшем опускается.

34

где $V(\Pi_\delta)$ — объем ее δ-окрестности.
Предостеряние. Разумеется, предел (1) может и не существовать. Можно показать, что для всех «хороших» поверхностей он существует (в простейших случаях он будет нами вычислен). Однако не следует думать, что из его существования для некоторой фигуры $\Pi$ вытекает, что $\Pi$ является поверхностью в общеприятном смысле. Кроме того, для плоскости по Минковскому не всегда справедливо равенство $S(\Pi_1 \cup \Pi_2) = S(\Pi_1) + S(\Pi_2)$ (при $\Pi_1 \cap \Pi_2 = \emptyset$); соответственно пример рассматривается в задаче 4. Впрочем, с «хорошими» поверхностями таких непрятностей не следует.

Примеры вычисления плошадей

Вычислять плошади поверхностей, неисредственно пользоваться данными выше определением, удается, конечно, только в простейших случаях *).

Мы найдем плошади сферы, тора (поверхности, получаемой при выражении окружности вокруг непересекающей ее прямой), боковых поверхностей цилиндра и конуса. Половинки осевых сечений δ-окрестностей этих поверхностей изображены на рисунках 1, 2, 3a, 4a.

Упражнения

3. Доказать, что δ-окрестность поверхности, получаемой при выражении окружности вокруг непересекающей ее прямой, боковых поверхностей цилиндра и конуса. Половинки осевых сечений δ-окрестностей этой кривой вокруг прямой l.

4. Доказать, что тела, возникшие при выражении фигур желтого цвета, изображены на рисунках 1, 2, 3a, 4a, являются δ-окрестностями соответствуют поверхности.

5. Сфера. Очевидно, что объем δ-окрестности сферы $\Sigma = \Sigma(R)$ радиуса $R$ равен разности объемов шаров радиусов $R + \delta$ и $R - \delta$ (рис. 1):

$$V(\Sigma_\delta) = \frac{4}{3}\pi[(R + \delta)^3 - (R - \delta)^3] = 2\delta \cdot \frac{4}{3}\pi(3R^2 + \delta^2).$$

Деля последнее выражение на 2δ и переход к пределу при $\delta \rightarrow 0$, находим, что $S(\Sigma(R)) = 4\pi R^2$.

2. Тор. Расмотрим тор $T = T(R, r)$, получащийся при выражении окружности радиуса $r$ вокруг прямой, отстоящей от ее центра на расстоянии с помощью тех или иных интегральных формул.

*) В более сложных случаях плошадь поверхности находится с помощью тех или иных интегральных формул.

35

стоянии $R > r$ (рис. 2). Ясно, что ограниченное им тело есть $r$-окрестность окружности радиуса $R$, объем которого, согласно результату упражнения 16), равен $2\pi^2 R r^2$. Пользовать этой формулой, легко найти объем $\delta$-окрестности тора (см. рис. 2)—он равяется-radiusовом $(r + \delta)$-окрестности и $(r - \delta)$-окрестности окружности радиуса $R$:

$$V(T_\delta) = 2\pi^2 R(r + \delta)^2 - 2\pi^2 R(r - \delta)^2 = 2\delta \cdot 4\pi^2 R r.$$

Следовательно, $S(T(R, r)) = 4\pi^2 R r$.

Из рисунков 3a и 4a видно, что найти объемы $\delta$-окрестностей боковых поверхностей цилиндра и особенно конуса не так просто, как для сферы и тора. Вычисления существенного упростятся, если чут-чут «подправить» эти окрестности (рис. 36 и 46). Мы проведем подсчет, воспользовались «поправками», а затем докажем их правомерность.

3. Ц и ли и др. Обозначим через $C = C(R, H)$ боковую поверхность цилиндра радиуса $R$ и высоты $H$. Объем ее «исправленной» $\delta$-окрестности $C'_\delta$ (рис. 36) равен разности объемов цилиндров радиусов $R + \delta$ и $R - \delta$ с одинаковой высотой $H$:

$$V(C'_\delta) = \pi H \left[ (R + \delta)^2 - (R - \delta)^2 \right] = 2\delta \cdot 2\pi R H,$$

позтому

$$S(C(R, H)) = \lim_{\delta \to 0} \frac{V(C'_\delta)}{2\delta} = 2\pi R H.$$

4. Конус. Пусть $R$ — радиус основания конуса, $\alpha$—угол между его осью и образующей, а $K = K(R, \alpha)$— его боковая поверхность. Тогда объем тела $K'_\delta$ (рис. 46) равен разности объемов конуса $R + \frac{\delta}{\cos \alpha}$ и $R - \frac{\delta}{\cos \alpha}$ и одинаковыми углами $\alpha$. Легко видеть, что

$$V(K'_\delta) = \frac{1}{3} \pi \text{ctg} \alpha \left( R + \frac{\delta}{\cos \alpha} \right)^3 - \frac{1}{3} \pi \text{ctg} \alpha \left( R - \frac{\delta}{\cos \alpha} \right) = 2\delta \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( R^2 + \frac{\delta^2}{3 \cos^2 \alpha} \right).$$

Следовательно, $S(K(R, \alpha)) = \frac{\pi R^2}{\sin \alpha}$.

Если вместе угла $\alpha$ задана длина $l$ образующего конуса, то, поскольку $l = \frac{R}{\sin \alpha}$, для плоскки формулу $S(K) = \pi R l$.

Докажем теперь законность замены окрестностей $C_\delta$ и $K_\delta$ на $C'_\delta$ и $K'_\delta$. Ясно, что замена окрестности $\Pi_\delta$ в формуле (1) на какое-то тело $\Pi'_\delta$ не влияет на результат в том и только том случае, когда величины $v(\delta) = \frac{V(\Pi_\delta) - V(\Pi'_\delta)}{2\delta}$ стремятся к нулю при $\delta \to 0$. Разности объемов $V(C'_\delta)$ и $V(C'_\delta)$, $V(K_\delta)$ и $V(K'_\delta)$ по модели не превозходит, очевидно, объемов тел, получаемых при врашении прямогогольников $Q_1$ и $Q_2$ на рисунках 5a и 5b соответственно. Найда эти объемы (заметим, что для этого можно воспользоваться формулой (2)), мы получим, что в случае цилиндра $|v(\delta)| \leq 4\pi R \delta$, а в случае конуса $|v(\delta)| \leq \left( \frac{4\pi R}{\cos \alpha} + \frac{\pi \delta}{\sin \alpha} \right)\delta$. Следовательно, в общих случаях $\lim_{\delta \to 0} v(\delta) = 0$.

Обобщения

Пусть для какого-то множества $\Phi$ существует конец и положительный предел $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{2\delta}$;

тогда, очевидно, при замене знаменателя $2\delta$ на $c\delta^n$ этот предел обратится в нуль при $n < 1$ и в бесконечность при $n > 1$. В определении смысл это свойство специфично для поверхности. Легко понять, что для тел таким погранчным значением будет уже $n = 0$, а для линей — $n = 2$.

В частности, в последнем случае принимают следующие определения

36

ление: длиной линии $L$ по Минковскому (в пространстве) называется предел $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(L_\delta)}{\pi \delta^2}$.

Интуитивным оправданием этого определения служит то, что сечение окрестности $L_\delta$, перепределуя линии $L$, есть круг радиуса $\delta$ (площади $\pi \delta^2$), так что объем $L_\delta$ должно равнять произведение $\pi \delta^2$ на длину линии $L$. Проверьте, пользоваться результатом управления 1, что определение Минковского дает для длин отрезка и окружности нужные значения.

Менее содержательно, но в полне осмысленно рассмотрение величины $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{c \delta^n}$ при $n=0$ и $n=3$, где $c$ — надлежащим образом выбранные постоянные (см. задач 7).

Аналогичные определения можно дать и на плоскости, где наиболее интересен случай $n=1$: величины $\lim_{\delta \to 0} \frac{S(L_\delta)}{2\delta}$, где $S(L_\delta)$ — площадь (плоской) $\delta$-окрестности кривой $L$, естественно принять за длину линии $L$ (ср. эпиграф).

Дальнейшие обобщения касаются $n$-мерных пространств при $n>3$ и на них мы, конечно, останавливается не будем.

3 адач и

1. Покажите, что не всегда $\delta$-окрестность фигуры $\Phi$ является обедининием всех шаров радиуса $\delta$ с центрами в точках этой фигуры.

2. Приведите пример двух различных фигура $\Phi$ и $\Phi'$ таких, что $\Phi_\delta = \Phi_\delta'$: а) при некотором $\delta$; б) при всех $\delta$.

3. Докажите, что объем $\delta$-окрестности выпуклого $n$-угольника равен $2\delta \cdot S + \pi \delta^2 \cdot P + \frac{4}{3} \pi \delta^3$, где $S$ — его площадь, а $P$ — полуперimetр.

4. Пусть $Q$ — квадрат, лежащий в плоскости $Oxy$, $Q_1$ — множество его точки, у которых обе координаты $x$ и $y$ расположены, $Q_2$ — его остальные точки. Докажите, что все эти множества имеют площадь по Минковскому, причем $S(Q) = S(Q_1) = S(Q_2)$, так что $S(Q_1 \cup Q_2) < S(Q_1) + S(Q_2)$, хотя множества $Q_1$ и $Q_2$ не пересекаются.

5. Найдите площадь поверхности, получаем при выражении других окружности вокруг стягивающей ее хорды.

6. Найдите площадь поверхности тела, являющегося пересечением двух (достаточно длиных) цилиндров радиуса $R$, оси которых проходят через общую точку и взаимно перпендикулярны.

7. Подберите константы $c_1$ и $c_2$ так, чтобы предель a) $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{c_1}$ б) $\lim_{\delta \to 0} \frac{V(\Phi_\delta)}{c_2 \delta^3}$ имели содержательный геометрический смысл. Для каких фигура $\Phi$ они положительные?

Список читателей, прилавших правильные решения…

(Начало см. на с. 32)

В. Беркум (Днепропетровск) 18, 19; А. Болдырев (Алма-Ата) 19; В. Болотников (Харьков) 10, 12, 14—17, 19, 22; Г. Борисов (п. Комсомольский Томенской обл.) 11, 12, 15, 17; А. Бродин (Киев) 11, 12; О. Бульценин (Павлодар) 18; М. Валейко (Киев) 9, 10; О. Васильев (п. Урмары ЧувАССР) 9; С. Васильев (Калинин) 10; А. Велько (п. Сахарный завод Минской обл.) 18; Д. Волдько (Долгопрудный) 18, 19, 22; Ф. Габасов (п/о Насибаш БашкАССР) 18; М. Гаврилов (п. Черноголовка Московской обл.) 9—14, 16, 19; М. Гольцман (Днепропетровск) 10, 11, 15, 20; И. Гопиц (Новосибирск) 9, 10, 14, 15; И. Грузбере (Пермь) 9, 13; Е. Давидов (п. Поплевно Рязанской обл.) 13; И. Даниловский (Горький) 19; В. Джалоян (с. Урцадзор АрмССР) 15; В. Дидух (Львов) 10; А. Дремин (п. Черноголовка Московской обл.) 11, 15, 18, 22; М. Ермолаев (Кострома) 16; В. Жилин (с. Хабары Алтайского кр.) 15, 18; Ю. Жук (Москва) 13, 15; В. Жуков (Абаза) 19, 20, 22; К. Жуков (Москва) 13, 15; Д. Захаров (Москва) 18; А. Земсков (Ухта) 18; Е. Зудин (Александров) 10, 11, 13—17, 22; Е. Ивенко (Винница) 18; К. Ильин (Вильнюс) 18; С. Калашников (Рязань) 10; А. Каплан (Сумгант) 18; В. Кельман (Москва) 19; О. Кириленко (Балашина) 22; А. Клюков (Челябинск) 13; В. Ковтуненко (Киев) 9, 10; Е. Козан (Днепропетровск) 10, 15, 16; М. Коков (с. Батех КВАССР) 9; В. Комов (Александров) 10, 11, 13, 14, 16—19, 22; А. Коробейников (Балашов) 10; А. Костеров (Семилуки) 20; О. Кравец (Воронеж) 19; Р. Криштуль (Бобриск) 16; Е. Кузьмин (Череновец) 9, 18, 19; А. Куприн (Москва) 9—12, 18—20, 22; В. Курьян (Ростов-на-Дону) 11—13, 15, 17, 19, 20; В. Лашкин (Киев) 12, 15, 18, 22; А. Леонович (Лида) 16; В. Линьков (Калуга) 10; Д. Людмирский (Киев) 10, 17—19, 22; Ю. Макаров (п/о Чагода Вологоской обл.) 18; С. Маламанов (Ленинград) 15, 18; И. Маницев (Слуцк) 18; А. Матюкас (Каунс) 15, 16, 19; Л. Марухленко (п. Старая Купавна Московской обл.) 12; С. Медведев (Москва) 10, 11; В. Микулов (Павлодар) 20; А. Моцельнер (Свердловск) 20; А. Молотовичков (Тейково) 16; С. Мурачцев (Махачка) 10;

(Окончание см. на с. 51)