Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина

52

Варианты вступительных экзаменов вузы в 1978 году

Казанский государственный университет им В. И. Ульянова-Ленина

О Казанском государственном университете подробно расссказывалось в «Кванте» № 6 за 1976 год.

Математика (письменный экзамен)

Механико-математический факультет

1. Решить уравнение
   $$2 \sin 6x = \text{tg} 2x - 2 \sin 2x$$

2. Найти координаты вектора $p$, колlinearного вектора $\vec{q} = (3; -4)$, если известно, что вектор $p$ образует с осью $Ox$ туной угол и $\vec{p} = 10$.

3. Основанием примеры служит равновесный треугольник, у которого боковая сторона равна $a$, а угол при вершине равен $\alpha$. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найти объем примеры.

4. На координатной плоскости изображить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
   $$\log_{1+y} (1 + \sin x) > 1$$

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Решить уравнение
   $$2 \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin^2 x - \text{tg} x$$

2. Решить неравенство
   $$| 3^x - 3 | + 9^x - 3 > 0$$

3. В правильную четырехугольную примеру с высотой $H$ и сторонами основания $a$ вписан прямогольный параллелипед, основанием которого является квадрат со стороной $b$, так, что его нижнее основание лежит на основании примеры, а вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах примеры. При каком $b$ объем вписанного параллелипеда будет наиболее small? Найти объем при этом значении $b$.

4. На дороге на расстоянии 10 м друг от друга лежит некоторое количество столбцов. Начав с одной крайнего столба, рабочий перенес все столбы по одному к другому крайнему столбу, причем для этого ему в общей сложности пришлось пройти 1,44 км. Сколько столбов лежало на дороге?

Физическая факультет

1. Решить уравнение
   $$\sin x - \frac{| 2 \cos x - 1 |}{2 \cos x - 1} \cdot \sin^2 x = \sin^2 x$$

2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 28, \\ \log_9 x - \log_1 y = \frac{3}{2}. \end{cases}$$

3. На кривой $y = x^3 - 3x^2 + 2$ найти точки, в которых касательная параллельна прямой $y = 3x$.

4. Двугранный угол между боковыми гранами правльной четырехугольной прямой $a$, а сторона основания равна $a$. Найти объем примеры.

Физика (задание устного экзамена)

1. Цилиндр радууса $R$ и массы $m$ стоит перед ступенкой высоты $h \ll R$. Какую наименьшую горизонтальную силу, проходящую через цилиндра и перпендикулярную к стенке, надо приложить к цилиндру, чтобы он мог подняться на ступенку? Трение не учитывать.

2. На резиновой нити, длина которой в нерастянутом состоянии $l_0$, подвешен тяжелый шарик массы $m$, который равномерновращается в горизонтальной плоскости воркут вертикальной оси, проходящей через точку подвеса; при этом нить отклоняется на угол $a$. Деформация нити упругая, коэффициент упругости $k$. Найти угловую скорость вращения $\omega$.

3. Льдина с площью поперечного сечения $S$ и высотой $H$ плавает в воде. Какую работу над совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

4. Шарик плотности $\rho_{\text{ш}}$ подвешен на невересом нити длины $l$ в жидкой среде плотности $\rho$. Определить период его колбаний. Трение пребежать.