Задачи М556—М560; Ф568—Ф572

24

Задачик
квана

М556—М560; Ф568—Ф572

М556. Обязательно ли конгрузить два остругольных равноведренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?

А. Едоров

М557. Дано $n$ попарно взимно простых чисел, больших 1 и меньших $(2n-1)^2$. Доказите, что средние их обязательно встретиется простое число.

А. Колотов

М558. В круге расположено $k>1$ черных секторов, угол каждой из которых меньше $180^\circ/(k^2-k+1)$. Доказите, что круг можно повернуть вокруг центра $O$ так, что все черные секторы перейдет в белую часть круга.

В. Произвольов

М559. Доказите, что если $x, y, z$ — длины сторона треугольника, то

$$\left| \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} - \frac{y}{x} - \frac{z}{y} \right| < 1.$$

А. Ermилов

М560. В дне ящика имеет два дырка. Нужно сделать выпуклую заслонку наименьшей площади, при любом положении которого на дне ящика дырка будет закрыта. Решите эту задачу, если:

a) дно ящика — квадрат $4 \times 4$, а дырка $1 \times 1$ расположена так, как показано на рисунке 1;

b) дно ящика — квадрат $n \times n$ (n нечетно), а дырка $1 \times 1$ расположена в центре (рис. 2);

b)* попробyte решить аналогичную задачу для каких-либо других случав, когда дно и дырка — выпуклы фигуры.

В. Батырев

Ф568. Приombardировке литевой мишени протонами с энергией не меньше 1,88 МэВ может проискодить ядерная реакция

$$7\mathrm{Li} + p \rightarrow 7\mathrm{Be} + n.$$

При какой энергии протонов образуются в реакции нейтроны могут лететь назад от литевой мишени?

25

Ф569. Электрическим кипятильником мощностью $W=500$ Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от $85^{\circ}\mathrm{C}$ до $90^{\circ}\mathrm{C}$. Затем кипятильник выключили и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды равна $4,19 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·К).

Е. Сурков

Ф570. Из-за наличия объемного заряда в межэлектроном пространстве плоского диода распределение потенциала $\varphi(x)$ между катодом и аномом имеет вид: $\varphi(x) = x^2 - 2x$ (x — в мм, а $\varphi$ — в волтах). Расстояние между катодом и аномом $d=10$ мм. Koордината $x$ совпадает с расстоянием до катода. Определить, при какой минимальной кинетической энергии электрон с поверхности катода сможет достичь анода. Каким будет максимальное ускорение электровок, которые достигут анода?

Ф571. Батареи и резисторы собирают в цепь двумя способами — как на рисунке 3, а как на рисунке 3, б. Определить точки, текущие через резисторы в обихх случаях. Сопротивлениями источников тока и соединительных проводов пренебречь. Как изменяется токи в случae $a$, если разрезать провода в точках $A$ и $B$?

Ф572. Перен исследовал зависимости от высоты числа шаровобразных части особой смоль — гуммигута во взвесе этих части в воде. Для части радиусом $r_1=0,212$ мкм он получил зависимости, график которого показан на рисунке 4 (n — концентрация части на высоте $h$, $n_0$ — их концентрация у дня кюветы). Такой же график получается для части с радиусом $r_2=0,106$ мкм, только картина растянуто по высоте в 8 раз. В то же время известно, что плотность кислорода в земной атмосфере убивает с высотой так, как показано на рисунке 5 (ρ — плотность кислорода на высоте $H$, $\rho_0$ — у поверхности кюветы). Определить массу молекулы кислорода.

Плотность гуммигута $\rho_r=1,194 \text{ г/cm}^3$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.