Ярославский государственный университет

53

5. Колеса паровоза имеет радиус $R_0 = 1$ м при $0^\circ$ С. Определить размеры в числах оборотов колеса летом при температуре $t_1 = 25^\circ$ С и зимой при температуре $t_2 = -25^\circ$ С на пути пробела колеса $l = 100$ км (телловой коэффициент линейного расширения $\alpha = 1,2.10^{-5}$ К$^{-1}$).

6. Электромотор питания от батареи с ЭДС $\beta = 12$ В. Какую механическую работу совершает motor за время $t = 1$ с при протекании по его обмотке тока $I = 2$ А, если при полном затормаживании якоря по цепи течет ток $I_0 = 3$ А?

7. В электропитке сопротивления соединены в схему, показанную на рисунке.

Электропитка включается в себя точками 1 и 2, при этом за некоторое время удается довести до кипения $m_1 = 500$ г воды. Сколько воды можно довести до кипения за то же время, если электропитку включается в себя точками 1 и 3? Начальная температура воды в обихх случаях одна и та же. Тепловыми потерями претензий.

8. Через двухэлектродную лампу (диод) с плоским электродами течение ток $I = 10$ мА. Напряжение на лампе $U = 100$ В. С какой силой $|\vec{F}|$ действуют на аномалмы попадующие на него электроды, если скорость их вблизи катода равна нулю? Отношение заряда электрода к его массе $e/m = 1,76 \times 10^{11}$ КЛ/кг.

9. В однородном магнитном поле с индукцией $|\vec{B}| = 0,125$ T расположен проводной виток таким образом, что его плоскость перpendicularна магнитным линям. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, протекший через гальванометр при некотором повороте витка, $q = 8.10^{-2}$ КЛ. На какой угол повернулся виток, если его площадь $S = 5.10^3$ см$^2$, а сопротивление витка $R = 1$ Ом?

10. Вогнутое зеркало дает действительное изобравнение точного источника, расположенного на оптической оси на расстоянии $d = 50$ см от зеркала. Фокусное расстояние зеркала $F = 25$ см. Зеркало разрезали пополам, и его половины отодвинут друг от друга на расстояние $a = 1$ см в направлении, перpendicularном оптической оси. Как расположены по отношению друг к другу изобравнения, даваемые половинками зеркала?

В. Вишневский,
О. Соколов,
А. Хасанов

Ярославский государственный университет

О Ярославском государственном университете см. «Квант», 1978, № 6, с. 73.

Matematika
(письменный экзамен)

Matematический факультет

Вариант 1

1. Найти высоту треугольной прямиды набольшшего объема, вписанной в шар радиуса $R$.

2. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7, чтобы цифры не повторились и кратные цифры были четными?

3. Решить неравенство

$$\log_{x^2-1}(x+1) < 1.$$

4. Решить уравнение

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\cos x - \frac{8}{3}\pi\right) = 1.$$

Вариант 2

1. Примогольный параллелипед вписан в шар радиуса $R$. Найти поверхности параллелипеда, если он имеет наибольший возможный объем.

2. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7, чтобы цифры не повторились и сумма крайных была двизначным числом?

3. Решить неравенство

$$\log_{x^2+3x}(x+3) < 1.$$

4. Решить уравнение

$$2\cos\left[\frac{\pi}{6}\left(\sin x - 13 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] = \sqrt{3}.$$

Физическая факультет

Вариант 1

1. Какую часть площины квадрата отсекает парабола, проходящая через две сесдние вершины квадрата и касающаяся его стороны в ее середине?

2. Решить неравенство

$$2C_n^5 > 11C_n^3-2,$$

где $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ элементов по $k$.

3. Решить уравнение

$$9^x - 2^{x+\frac{1}{2}} = 2^{x+\frac{3}{2}} - 3^{2x-1}.$$

4. Решить уравнение

$$2 + \cos 4x = 5\cos 2x + 8\sin^6 x.$$