Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

43

Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Действие электрического и магнитного полей на заряженные частицы приводит к многим интересным явлениям и широко использоваться в современной технике. Это, например, управление движением электронов в различных электровакуумных приборах иускорение заряженных частиц до высоких энергий, фокусировка частиц с помощью электростантических и магнитных lines и разделение частиц по их удаленным зарядам в масс-спектрографах.

Ограничимся рассмотренем наиболее простых случая — движением заряженных частиц в однородных и Staционных (не зависящих от времени) электрическом и магнитном полях.

В электрическом поле с направлением $\vec{E}$ на частиц с зарядом $q$ и массой $m$ действует электрическая сила

$$\vec{F}_{\text{эл}} = q\vec{E},$$

которая сообщает частицеускорение

$$\vec{a} = \frac{\vec{F}_{\text{эл}}}{m} = \frac{q}{m}\vec{E}.$$

Этоускорение направлено по полю, если $q > 0$, и против поля, если $q < 0$. Следовательно, положительная часть частица начинает равновослоению движения по полю, а отрицательная — против поля.

Пусть частица переместилась из точки с потенциалом $\varphi_1$ в точку с потенциалом $\varphi_2$. При этом ее кинетическая энергия изменлась на величину

$$\Delta W_{\kappa} = -q(\varphi_2 - \varphi_1).$$

Вот почему энергию заряженных частиц удобно изменять в электроновольтах (1эВ — это энергия, которое прибретает частица с зарядом, равным заряду электрона, при прохождения разности потенциалов в один волт).

На движущую заряженную частицу в магнитном поле действует магнитная сила, называемая силой Лоренца $\vec{F}_{\pi}$. Ее модель

$$|\vec{F}_{\pi}| = q|\vec{v}||\vec{B}| \sin \alpha,$$

где $q$ — заряд частицы, $\vec{v}$ — ее скорость, $\vec{B}$ — индукция магнитного поля и $\alpha$ — угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$. Характерной особенностью этой силы является то, что она всегда перpendикулярна направленную движения частицы и индукции магнитного поля.

Поскольку сила Лоренца перpendикулярна скорости частицы, работа этой силы равна нулю. Следовательно, если на частиц не действуют никакие другие силы, при движении в магнитном поле энергия частицы будет оставаться постоянной величиной *).

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задание 1. Отрицательное заряженная частьца движется в однородном электрическом поле так, что эквивалентную поверхность с потенциалом $\varphi_1$ она пересекает под углом $\alpha_1$ к нормали, а эквивалентную поверхность с потенциалом $\varphi_2$ — под углом $\alpha_2$ (рис. 1). Известно, что в точке, где потенциал поля равен нулю, скорость частицы равна нулю. Найдите связь между углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Если в точке с нулевым потенциалом кинетическая энергия частицы была равна нулю, в точках 1 и 2

*) Подробнее об этом можно прочитать в статье Ю. Зайч икова «Сила Лоренца и ее работа» («Квант», 1979, № 2).

44

Рис. 1.

она будет равна соответствию

$$\frac{m \left| \vec{v}_1 \right|^2}{2} = -q\varphi_1$$

и

$$\frac{m \left| \vec{v}_2 \right|^2}{2} = -q\varphi_2,$$

откуда относение скоростей частицы

$$\frac{\left| \vec{v}_1 \right|}{\left| \vec{v}_2 \right|} = \sqrt{\frac{\varphi_1}{\varphi_2}}.$$

В направлении оси $X$ на частиц действует электрическая сила, поэтому проекция скорости $v_x$ будет возрастать: $v_{x_2} > v_{x_1}$. В направлении оси $Y$ нет никаких действующих на частиц силы; следовательно, проекция скорости $v_y$ будет оставаться постоянной:

$$\left| \vec{v}_1 \right| \sin \alpha_1 = \left| \vec{v}_2 \right| \sin \alpha_2,$$

или

$$\frac{\left| \vec{v}_1 \right|}{\left| \vec{v}_2 \right|} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}.$$

Сравнивая два выражения для относения моделей скоростей частицы в точках 1 и 2, найдем связь между снусами углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$:

$$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \sqrt{\frac{\varphi_2}{\varphi_1}}.$$

Обратите внимание на такой факт: траектория частицы отклоняется в направлении нормали к эквивотentialной поверхности, если (как в рассмотренном нами случае) частица движется в сторону возрастания потенциала. Это позволяет понять и более сложные движения зарядов в неоднородных электрических полях, например приции электросистемической фокусировки. На рисунке 2 показана так называемая электросистемическая линия, составленная из двух коаксиальных цилиндров; пунктирными линиями изображены сечения эквивотentialных поверхностей. Точка $O$ — источник расходящегося лучка медленных электронов, а точка $O'$ — изображение сходящегося лучка быстрых электронов.

Задание 2. Электрон влетаем в пространство между пластинами плоского конденсатора, между коморными поддерживающими постоянная разность помещаемой $U=60$ В (рис. 3). Определите минимальное скорость электрона $\vec{v}_{\min}$, при котором достигает верхней пластины. Удельный заряд электрона $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ К/кг, уелл padения $\alpha=60^\circ$.

При движении в конденсаторе на электрон будет действовать постоянная электрическая сила, направленная против поля, то есть от отпечатной пластины к положительной. Поэтому проекция скорости электрона на ось $Y$ будет равномерно уменьшаться, а проекция на ось $X$ — оставаться постоянной. Нетрудно показать, что траекторий движения электрона будет парабола (проверьте это самостояльно).

Минimalя скорость электрона будет соответствовать случае, когда парабола касается верхней пластины конденсатором.

45

ТОРА. Это означает, что в момент касания проекция $v_y$ скорости электрона будет равна нулю.

В точке 1 кинетическая энергия электрона была $\frac{m|\vec{v}_{\min}|^2}{2}$, а в точке 2 она равна $\frac{mv_x^2}{2} = \frac{m(|\vec{v}_{\min}| \sin \alpha)^2}{2}$. С другой стороны, изменение кинетической энергии связано с разностью потенциальов между пластинами конденсатора: $\Delta W_\kappa = -eU^*$). Таким образом, $\frac{m(|\vec{v}_{\min}| \sin \alpha)^2}{2} - \frac{m|\vec{v}_{\min}|^2}{2} = -eU$.

откуда
$$|\vec{v}_{\min}| = \sqrt{2 \frac{e}{m} \frac{U}{1 - \sin^2 \alpha}} \approx 9,2 \cdot 10^6 \text{ m/c}.$$

Попробуйте решить эту задачу другим способом: запишите уравнение движения электрона по осям $X$ и $Y$ и из них найти минимальную начальную скорость.

*) Под $e$ здесь и в дальнейшем мы будем поннимать модель заряда электрона.

Рис. 3.

Рис. 4.

Задача 3. Пуок однократно заряженных положительных ионов Li$^+$(A=6) испускается эмметром «Э».
Ноны ускоряются электрическим полем $u$, пройдя разность потенциальов $U=3000$ В, попадают в камеру с поперечным магнитным полем $|\vec{B}| = 3 \cdot 10^{-2}$ T (рис. 4). Найдите величины отклонения пучка $h$. Длина камеры $L=15$ см, заряд электрона $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, масса промона $m_p=1,67 \cdot 10^{-24}$ e.

Пройдя ускоряющего разность потенциальов $U$, каждый он прибретает кинетическую энергию

$$\frac{m|\vec{v}|^2}{2} = eU,$$

где $m$ — масса иона, $\vec{v}$ — его скорость. Отсюда

$$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2eU}{m}}.$$

С такой скоростью он в камеру, где существует только магнитное поле. На он начинает действовать сила Лоренца, которая сообщит ему центристремительное ускорение. Поскольку сила Лоренца в каждый момент перpendикулярна скорости иона, он будет движаться по окружности. Радиус этой окружности можно найти из уравнения движения иона

$$\frac{m|\vec{v}|^2}{R} = e|\vec{v}||\vec{B}|.$$

С учетом того, что $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$, получим

$$R = \frac{m|\vec{v}|}{e|\vec{B}|} = \frac{1}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2mU}{e}}.$$

Величина отклонения пучка $h$ находится из простых геометрических расчетов (см. рис. 4):

$$h = R - \sqrt{R^2 - L^2} \approx 0,02 \text{ м}.$$

Задача 4. Слаборасходящая пучок электроновылегаем из точки $O$ со скоростью $v$ и движется в продольном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$ (рис. 5). При каких значениях моделя магнитной индукции будет происходить фокусировка пучка на экран «Э», расположенном на расстоянии $L$ от точки $O$?

46

Рассмотрим движение отдельного электрона, вектор скорости которого лежит в плоскости рисунка 5 и составляет угол $\alpha$ с вектором $\vec{B}$.

Поскольку на электрон действует только сила Лоренца, проекция которой на направление поля равна нулю, проекция скорости электрона на это направление будет оставаться постоянной и равной $|\vec{v}| \cos \alpha$.

В плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$, электрон будет двигаться по окружности с линейной скоростью, равной $|\vec{v}| \sin \alpha$. Запишем уравнение движения электрона по окружности:

$$\frac{m(|\vec{v}| \sin \alpha)^2}{R} = e |\vec{v}| |\vec{B}| \sin \alpha.$$

Отсюда найдем радиус окружности $R$ и период обращения $T$:

$$R = \frac{m |\vec{v}| \sin \alpha}{e |\vec{B}|},$$

$$T = \frac{2\pi R}{|\vec{v}| \sin \alpha} = \frac{2\pi m}{e |\vec{B}|}.$$

Одновременно электрон равномерно движется по полю со скоростью $|\vec{v}| \cos \alpha$.

Если через время $\tau = \frac{L}{|\vec{v}| \cos \alpha}$ электрон оказывается в точке $O'$ (см. рис. 5), это будет означать, что он сделал целое число $n$ полных оборотов:

$$\tau = nT,$$

или

$$\frac{L}{|\vec{v}| \cos \alpha} = n \frac{2\pi m}{e |\vec{B}_n|},$$

где $n=1, 2, 3, \ldots$. В результате получаем дискретный набор значений модели вектора магнитной индукции, при которых электрон будет попадает в точку $O'$:

$$|\vec{B}_n| = \frac{2\pi m |\vec{v}| \cos \alpha}{e L} n.$$

Говоря строго, значения фокусирующих полей зависит от угла $\alpha$. Однако при малых углах $\cos \alpha \approx 1$ и

$$|\vec{B}_n| \approx \frac{2\pi m |\vec{v}|}{e L} n.$$

Задча 5. Положимельно за-

47

Будет постепенно терять скорость и все сильнее и сильнее загибаться магнитным полем (см. рис. 6). В самом нижней точке траектории проекция скорости частицы $v_z$ становится равной нулю, а ее полная скорость будет минимальной. Радиус кривизны траектории в этой точке будет наименьшим, аускорение частицы, направленное вверх, — наиболее шим.

Затем частица начинает движаться вверх, по полю $\vec{E}$, ее скорость будет увеличивать, а вместе с ней будет увеличивать и радиус кривизны траектории. В некоторых моментах скорость частицы становится равной начальной скорости $\vec{v}_0$.

В результате частица будет «дрей-фовать» вдоль оси $X$. Траекторий ее движения является циклона. На рисунке 6 показана траектория частицы для случая, когда $\left|\vec{v}_0\right| > 2 \left|\vec{E}\right| / \left|\vec{B}\right|$.

(Строгий расчет показывает, что движение по циклоне можно представить как суперпозицию равномерного движения по оси $X$ со скоростью $\left|\vec{v}\right| = \frac{\left|\vec{E}\right|}{\left|\vec{B}\right|}$ и движения по окружности в плоскости $XZ$.)

Уражнения

1. Две заряженные частицы с равными скоростями $\left|\vec{v}\right| = 10^9$ cm/c одновременно влетают в плоский конденсатор (рис. 7).

Определяйте, при какой направлении $\vec{E}$ электрического поля в конденсаторе частицы смотут стольнуться. Удельные заряды частицы равны по абсцилтной величины $(e/m = 1,76.10^{11}$ Кл/кг), но противоположны по знаку. Расстояние между пластнами конденсатора $d = 1$ см; $h = 5$ см; угол падения частицы $\alpha = 45^\circ$.

2. В планетарной модели atoma водорода (по Резерфорду — Бору) предполагалось, что электрон вращается по круговой орбите вокруг небольшого тяжелого положительно заряженного ядра (протона). Определяйте радиус atoma водорода, если известно, что минимальная энергия, которую нужно дополнительно сообщить электрону для удаления его из atoma (энергияонизации), равна $W = 2,2.10^{-18}$ Дж. Заряды электрона и протона равны $e = 1,6.10^{-19}$ Кл.

3. В устройстве для определения изотопного состояния (масс-спектрографе) однозарядныеоны калия с atomными весами $A_1 = 39$ и $A_2 = 41$ сначалаускоряются в электриче-