Квант
Смесь

Советуем купить!

Квант 1979, №4с. 9Тег NT8D

9

ингрок с каждым из остальных сыграл по две партии, причем Вася сделал 4ничных, а Алик и Боря имеют по одному выигрышу и по одному прингрышу; каждый из трех игроков набрал по 2 очка. Если (после указанных 100 двойных туров типа А) были сыграны, скажем, 10 двойных туров типа B, то в результате такого небольшего «шевления турира» Алик будет иметь 10 прингрышей, Боря — 110 прингрышей, а Вася — 100 прингрышей, т. е. свойство I сохраняется. В то же время Боря будет иметь 110 выигрышей — больше, чем Алик (10 выигрышей) и чем Вася (100 выигрышей). Значит, условие II тоже выполняется. Кроме того, в итоге каждой набрал по 220 очков (так что условия III пока не выполнено).

К новь полученному туриру примением еще одно малое шевление в виде какого-либо одного дополнительного типа; независимо от его исхода условия I и II останться выполнеными (эти условия устойчивые). Подберем этот дополнительный тур так, чтобы Вася набрал в нем больше очков, чем каждый из остальных игроков (например, Вася набирает в нем 2 очка, выигрывая у Алика и Бори, а Алик и Боря делают между собой ничью). Таким образом, мы сконструировали турир, в котором все три условия I, II, III выполнены, т. е. турир, о котором говорится в условиям задачи, возможен.

Уражнения

  1. В четырехугольнике ABCD диагонали перpendикularны и конгрузенты и, кроме того, |AB| = |CD|.
  2. В выпуклом притугольнике все стороны конгрузенты. Обязательно ли этот четырехугольник — квадрат?
  3. В выпуклом притугольнике все стороны конгрузенты. Обязательно ли этот четырехугольник — квадрат?

Советуем купить!

  1. Барабой В. А. и Куриинский Б. Р.* Ядерные излучения и жизни. 232 с. 77 к.
  2. Белоусов А. С. * Счетчики элементарных частц. 156 с. 47 к.
  3. Идельсон Н. И. Этюды по историческе

ной механики. 495 с. 1 р. 95 к.
4. Муратов М. В. * Проискождение материков и океанических вадин. 176 с. 1 р. 01 к.
5. Петрушов А. Человек и Земля*. 224 с. 72 к.
6. Физика на рубеже XVII—XVIII вв. * Сборник статей. 248 с. 85 к.
7. Черкасов И. И. Шварев В. В. Грунт Луны 140 с. 57 к.

  1. В выпуклом притугольнике все диагонали конгрузенты. Обязательно ли этот притугольник правильный?

  2. В выпуклом шестиугольнике противоположные стороны попарно параллельны, а диагонали, соединяющие противоположные вершины, конгрузенты. Обязательно ли этот шестиугольник правильный?

  3. Около окружности описан четырехугольник, диагонали которого конгрузенты. Обязательно ли этот четырехугольник — трапец? (Указан и е. Начните с квадрат!

  4. На плоскости данных 2n точек A1, …, An, B1, …, Bn. Доказите, что мальим шевлением этих точек можно добиться того, чтобы никакие два из отрезков A1B1, …, AnBn не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке.

  5. В пространстве данных n точек A1, …, An. Доказите, что мальим шевлением этих точек можно добиться того, чтобы каждой четырехугольных индексов i, j, k, l точки Ai, Aj, Ak, Al не лежали в одной плоскости.

8 *. Дан выпукленный n-уговольник M. Доказите, что шевлением n — 5 вершин этого многоугольника можно добиться того, чтобы никакие три диагонали не пересекались в одной точке.

  1. Дан многочлен
    xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an.x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n.

Доказите, что мальим «шевлением» свободного члена an можно добиться того, чтобы многочлен не имел кратных корней. (Указан и е. Число x0 тогда и только тогда является кратным корнем многочлена, когда оно одновременно является корнем этого многочлена и его произвольной.)

  1. Внутри угла C, меньше, чем развернуть, дана точка P. Постройте прямую, проходящую через точку P и отсекающую от угла C треугольник наименьшей площади.

  2. Если четырехугольник выпукленный, то сумма длины diагональной больше его полуперметра. Приведите контрипер, показывающий, что обратная теорема неверна.

*) См. также задачу M533 («Квант», 1978, № 11).

Советуем купить!

  1. Барабой В. А. и Куриинский Б. Р.* Ядерные излучения и жизни. 232 с. 77 к.
  2. Белоусов А. С. * Счетчики элементарных частц. 156 с. 47 к.
  3. Идельсон Н. И. Этюды по историческе

ной механики. 495 с. 1 р. 95 к.
4. Муратов М. В. * Проискивание материков и океанических вадин. 176 с. 1 р. 01 к.
5. Петрушов А. Человек и Земля*. 224 с. 72 к.
6. Физика на рубеже XVII—XVIII вв. * Сборник статей. 248 с. 85 к.
7. Черкасов И. И. Шварев В. В. Грунт Луны 140 с. 57 к.

  1. Штери М. И. * Космос — Земле. 182 с. 73 к.
  2. Яздовский В. И. Искусственная биосфера. 322 с. 72 к.
    Заказы на книги направлять по адресу: 117192 Москва, Мицуринский проспект, 12, магазин № 3 «Книга — почтой» «Академика».
    *) Книги, отмещенные «звездочкой», имеются в ограниченном количестве.