Метод малых шевелений

4

Метод малых шевелений

При использовании геометрических высказываний на правдополобие, при поиске контриримеров математик нередко рассуждает так:

— Возму случай, когда высказывание подтверждается, и «пошевелю» одну точку (или отрезок, или какое-либо другое множество точек). Не могу ли я таким способ получить такой случай, когда высказывание не подтверждается?

Рассмотрим простой пример:

Задача 1. Из точки P, расположенной внутри выпуклого многоугольника, опускаются перpendикуляры на его стороны или на их продолжения. Условимся основание макоzo перpendикуляра называть «прямным», если оно принадлежит стороне, и «непрямным» в противном случае. Верно ли, что всякая внутренняя точка любого многоугольника имеет по крайней мере две прямыные проекции?

Решение. Возьмем сначала в качестве исходного выпуклого многоугольника треугольник ABC. Если он остроугольный, то все проекции любой его внутренней точки — пряные. Пусть ΔABC типугольный. В этом случae внутри него легко выбрать такую точку P, у которой будет две пряные проекции (рис. 1). Тепер не трудно построить выпуклый четырехугольник и точку, лежащую на его контуре, так, чтобы эта точка имела только одну прят-

Рис. 1.

6

Рис. 4.

Задание 4а. Можно ли расположить в пространстве два конгузительных правильных метраэдра, так, чтобы при отроцальном проектировании их на некоторую — одну и ту же — плоскость проекция одного метраэдра лежала целиком (включая и ее границу) внутри проекции другого метраэдра?

Решение е. Расположим метраэдр $T'$ так, чтобы его грань $A'B'C'$ лежала в плоскости проекции $\alpha$ (рис. 4). Второй метраэдр $T$ расположим сначала так, чтобы проекция его грани $ABC$ на плоскость $\alpha$ совпала с треугольником $A'B'C'$. Теперь, шевеля метраэдр $T$, попытается достичь того, чтобы его проекция на плоскость $\alpha$ оказалась целиком внутри треугольника $A'B'C'$. Прежде всего поверхметра $T$ так, чтобы внутри треугольника $A'B'C'$ оказалась проекция вершины $C$. Это можно сделать, например, так: поверхметра $T$ вокруг ребра $AB$ до положения, в котором ребро $CD$ становится перpendикулярным плоскости $\alpha$. При этом проекцией метраэдра $T$ оказется равноведенный треугольник $A_1B_1C_1$, причем $|A_1B_1| = |A'B'|$ (рис. 5).

Пошевелим теперь метраэдр $T$ так, чтобы проекция ребра $AB$ оказалась короче отрезка $A'B'$. Для этого отметим середины $F$ и $K$ ребер $AB$ и $CD$ и поверхметра $T$ на малый угол вокруг прямой $FK$. После такого шевеления проекцией метраэдра $T$ на плоскость $\alpha$ оказется трапеция

Рис. 5.

$A_2B_2C_2D_2$ (рис. 6). Если угол поворота достаточно мал, то эта трапеция будет расположена в треугольнике $A'B'C'$, причем сторона $A_2B_2$ будет лежать на границе этого треугольника.

Чтобы трапеция оказалась целиком внутри треугольника $A'B'C'$, достаточно теперь подвергнуть метраэдр еще одному шевелению, а именно, сдвинуть метраэдр на малый вектор, колlinearный вектор $FK$ (рис. 7).

Мы видим, что метраэдры $T$ и $T'$ можно расположить в пространстве таким образом, чтобы проекция метраэдра $T$ на плоскость $\alpha$ оказалась лежащей целиком внутри проекции метраэдра $T'$ на ту же плоскость. Задание 4а решена.

Значит, возможно в метраэдре $T'$ просверлить отверстие, через которое проедет метраэдр $T$ (просверливать отверстие в $T'$ следует перепendlкулярно плоскости $A'B'C'$, причем так, чтобы проекций отверстия на плоскость $A'B'C'$ оказалась какая-либо фигура, содержащая внутри себя трапецию $A_3B_3C_3D_3$ и лежащая внутри треугольника $A'B'C'$.

Идею малых шевелений полезно привлечь и тогда, когда в каком-то множество фигуры требуется выбрать (построить, найти) ту, которая в том или ином смысле является «наилучший» (например, имеет наименший перimeter, наиболее шумную площадь и т.п.). В таких задачах основ-

7

Рис. 6.
ная трудность состоит в том, чтобы сначала угадать правильный ответ; для этого и может оказаться полезным метод малыхшевелений: возьмем сначала какую-то фигуру из данного множества и попробем малымшевелением ее улущить. Если это неудается, то правдополобно, что взятая фигура является искомой (за этим, разумется, должно последовать строое доказательство).

Задание 5. Внутри уела C, меньшего, чем развернутый, дана точка P. Указите способ построения прямой, проходящей через точку P и отсекающей от уела C треугольник наименьшего периметра.

Понск решения. Проведем через точку P произвольную прямую A’B’ (рис. 8), и пусть Γ — «вневписанная» окружность для ΔA’CB’, касающаяся стороны A’B’ и продолженной сторон CA’ и CB’. Представим себе сначала, что окружность Γ расположена «далеко» от точки C. Периметр 2p треугольника A’CB’ равен
2p = |A’C| + |CB’| + |A’B’| =
= |A’C| + |CB’| + |A’T| + B’T| =
= |A’C| + |CB’| + |A’M| +

• |B’N| = |CM| + |CN|.
  Будем приближать касательную окружность Γ к вершине C, уменьшая ее радиус. При этом будет уменьшаться отрезки CM, CN, а значит, и перimetр 2p = |CM| + |CN| треугольника A’CB’. Если точка P расположена в не окружности Γ, то мы можем пошевелить эту

Рис. 7.
окружность так, чтобы ее центр немного приблизился к вершине C, но чтобы точка P еще по-прежнему оставалась в не окружности Γ; при этом перimetр треугольника A’CB’ уменьшится.

Такая возможность — полученная наряду с данным треугольником другой треугольника с меньшим перimetром — исчезнет, как только точка P оказывается не в не окружности Γ, а на этой окружности. Поэтому правдополобно, что треугольник минимального перimetра получится тогда, когда прямая A’B’ будет касаться окружности, проходящей через точку P и касающейся сторон угла C.

Решение. Построим какую-либо окружность Γ’, вписанную в угол C; пусть O’ — ее центр. Далее, обозначим через P’ первую (считая от C) точку пересечения луча CP с построенной окружностью. При готовении с центром C и коэффициентом k = |CP| / |CP’| точка P’ перейдет в точку P, и потому окружность Γ’ перейдет в окружность γ, вписанную в угол C и проходящую через точку P. (Заметим, что окружность, обладающая этим свойствами, единственная; это также вытекает из сообщения готовения.) Через AB обозначим касательную к окружности γ, проведенную через точку P (точки A и B лежат на сторонах угла).

Доказем, что треугольник ABC — искомый. В самом деле, если

8

Рис. 8.

[АB] — какой-либо (отличный от [АВ]) отрезок с концами на сторонах угла, проходящий через точку P (рис. 9), то прямая AB не является касательной к окружности γ, т. е. пересекает ее в двух точках P и Q. Следовательно, внешняя окружность Γ* треугольника ABC получается из γ готовей с коэффициентом, больше и меньше. Но тогда ясно, что |CM*| + |CN*| > |CM| + |CN| (рис. 9), т. е. перimeter треугольника ABC больше и меньше perimeter треугольника ABC.

Идея малыхшевелий может оказаться полезной не только в геометрических задачах. Для примера рассмотрим следующую задачу («Квант», 1974, № 1, стр. 73):

Задача 6. Три друга — Алик, Боря и Вася — рассказали, что они будто бы однajкды сырали некоторое число партии в шахматы, причем каждой с каждой сырали одинаковое число партии. Помом, когда стали решать, кто лучше сырал и должен считаться победителем, Алик сказал своим movарицам: «У меня меньше, чем у каждого из вас, произрывей». Боря сообщил: «А у меня больше, чем у каждого из вас, вызрывей», а Вася заметил: «Я набрал больше всего очков» (вызрыв — 1 очко, ничья — 1/2 очка, произрыв — 0). Мод ли в действительности быт мурир с максимальным? Если нет, то доказите; если да, то приведите пример.

Решение е. Попытаемся конструкировать турир, который удовлетворял бы поставленным тем условием:

I. Алик должен иметь всего проигрывшей.

Рис. 9.

II. Боря должен иметь больше всего выигрышей.

III. Вася должен haben больше всего очков.

Будем его составлять из отдельных туров (в треи партии — каждый игрок играет с каждым другом одну партию). Например, может быть такой тур: Алик сырал с двумя другими игроками вничью, а Боря выигral у Васи. Или такой тур: Алик сырал с двумя другими игроками вничью, а Вася выигral у Бори. Пару таких туров называем двойным туром тира A («типа Алика»). В турнире, который состоит только из одного такого двойного тура, выполняется, очень удобно, условия I: у Алика меньше, чем у остальных, проигрывшей (нуль проигрывшей); при этом каждый игрок набрал по 2 очка. Турир, составленный из любого числа таких двойных туров типа A, будет обладаать свойствам I.

Пусть турир составлен из большого числа двойных туров типа A — скажем, из 100 таких туров. В нем каждый набрал по 200 очков, причем у Алика меньше всего проигрывшей — нуль проигрывшей (но и нуль выигрывшей), а Боря и Васи имеют по 100 выигрывшей и по 100 проигрывшей.

Теперь немного пощевелим турир. А именно, пусть сырано еще небольшое число туров (не обязательно «типа А»); тогда Алик будет иметь по-прежнему меньше проигрывшей, чем Боря и чем Васи (инначе говоря, при малыхшевелях турира свойство I «устойчиво»). Подберем этошевление так, чтобы выполнялось еще условия II. Для этой цели сначала вообразим себе двойной тур тира B («типа Васи»): в нем каждый