Арифметика на клетчатой бумаге

38

С. Гиндикин

Арифметика на клетчатой бумаге

Почему тетрадь по математике — в клетку? Такой вопрос задают иногда первоклассики, которые не очень удобно писать цифры в клеточках. После они узнали, что на клетчатой бумаге удобно делать геометрические чертежи. Оказывается, рисун различные цифры на клетчатой бумаге, можно много интересного узнать и про.arifметику.

Способ представления чисел фигурми на клетчатой бумаге уходит корнями в глубокую древность — к математике Древнего Вавилона, Египта, Греции. Конечно, тогда математики не разлиновывали глиняные таблички или папирсы на клетки, а составляли фигуры из точек. Мы же воспользовемся клетчатой бумагой.

В Древней Греции число, равное произведению двух натуральных симожителей, называли плоским числом: оно связьалось с точками, расположенными в виде прямоугольной решетки (рис. 1). Мы же договоримся изображать плоское число прямоугольником на клетчатой бумаге и считать число клеточек в нем.

Свойства умножения хорошего или построируются чертежами. Например, распределимному закону (правилу раскрытия скобок) соответствует разрезание прямоугольника на меньшие прямоугольники (рис. 2). Извание «плоское число» теперь забито, а слово «квадрат», обозначающее произведение равных симожителей, сохранили по сейчас день.

Квадраты и гномоны

Нечетные числа изображались в Древней Греции при помощи угловой толь-

3×(2+2)=3×2+3×2
(1+3)×(2+4)=1×2+1×4+3×2+3×4

Рис. 1.

Рис. 2.

39

шиной в одну клетку — экономов (рис. 3). Первое рассужение, которое мы приведем, относится к квадратам и гномонам; принадлежит оно Никомаху Геразскому, жившего примерно в I веке.

Нарисуем подряд несколько квадратов и гномонов (рис. 4). Неправда ли, каждый гномон хочет дополить некоторые квадратом; при этом получится следующее квадрат (рис. 5). Это наблюдаемое означает, что каждое нечетное число является разносимую двух последовательных квадратов.

Теперь сложим подряд несколько гномонов, начиная с самого маленького. Получится квадрат (рис. 6). Значит, сумма последовательных нечетных чисел, начиная с первого, является квадратом: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 и т. д.

Пифогор и пифогорейцы

Полученадарный мудрец Пифогор (VI в. до н. э.), любил путешествовать, и много в его учении поерирую из восточной мудрости.

Для пифогорейцев характерно містчическое отношение к числам. Они коллекционировали всевозможные числовые «диковины», видя в них проявление бокственных сил. При помощи числовых образов пифогорейцы умели выражать свои мысли и чувства. Четные числа называютсяженскими, нечетные — мужскими. Особенно ценили пифогорейцы число 10=1+2+3+4 (рис. 7), называя его превосходным или метрадой, и клялись «тем, кто вложил в нашу душу тетраду — источник и корень вечной природы». Числа, равные сумме своих (соответны x) делители (6=1+2+3), назывались совершенными, и Никомах знал четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128. Другбу символьизировали пары других местственных чисел, каждое из которых является суммой (совственных) делителей другого числа. Например, числа 284 и 220 — других缚ные: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110,220=1+2+4+71+142.

Но раз есть «хорошие» числа, то должны быть и «плохие». «Плохо», если число не обладает никакими достоинствами, еще хуже, если оно окружено интересными числами. Боязнь числа 13 — «чертовой дюжины» — поразает своей бессмертностью. Но коечито забито. Вот что пишет Плутарх: «Пифогорейцы питания отвращение к числу 17. Ибо 17 лежит как раз переделенное между числом 16, представляющим полный квадрат, и числом 18, являющимся удвоенным квадратом; оба эти числа являются единственными плоскими числами, для которых периметр (прямоугольника) равен его площади…». Другими словами, ут-

40

Рис. 7.

Рис. 8. Древневавилонский клипописный текст.

верждается, что если произведение двух чисел (разумется, натуральных) равно их удвоенной сумме, то это либо пара 3 и 6, либо пара 4 и 4 (почему?).

Пифагороны тройки

Существует легенда, согласно которой Пифагор в честь какого-то из своих открытий принес в жертву не то одного быка, не то своего быков. Витруйный утверждает, что стол вжным Пифагору показалось открытие двух квадратов, сумма которых равна третьему квадрату *). Речь идет о соответствии $3^2+4^2=5^2$. Телерь тройки натуральных чисел $a, b, c$, для которых $a^2+b^2=c^2$, принято называть пифагоробыми тройками. Оказывается, пифагороны тройки знали уже в Вавилоне (рис. 8). Постепенно нашли их и гречские математики.

Попытаемся понять, как можно найти пифагороны тройки. Вспомним,

*) Впрочем, другие источники указывают другие причины. Есть также мнение, что наккого жертвоприншения вообще не было, поскольку жертвоприншения противоречили философии пифагорейцев.

что всякое нечетное число представляется в виде разности двух последовательных квадратов. Тогда нечетный квадрат вместе с квадратами, разность которых он является, образуют пифагорову тройку. Например, $3^2=9=2\cdot4+1=5^2-4^2$ (рис. 9). Так получается тройка 3, 4, 5. Аналогично $5^2=25=2\cdot12+1=13^2-12^2$, откуда $12^2+5^2=13^2$; $7^2=49=2\cdot24+1=25^2-24^2$, откуда $24^2+7^2=25^2$. Таким образом получаются все пифагороны тройки $a, b, c$, у которых $c=a+1$. Их общий вид:

$$a = \frac{m^2-1}{2}, \quad b = m, \quad c = \frac{m^2+1}{2}$$

(m — нечетно!). Докажите это. А как найти все пифагороны тройки?

Общая задача о пифагоровых тройках

Накопленный опыт подсказывает, что надо исследовать разность двух любых x (а не только сседних) квадратов $c^2-a^2$, где $c>a$. Получается «толстый гномон» толщиной в $c-a$ клеток (рис. 10). Задча, таким образом, свидетельствует о описанию всех возможных способов преобразования (без изменения числа клеток!) квадрата $b^2$ в некоторых «толстый гномон».

Первое наблюдение состоит в том, что «толстый гномон» можно преобразовать в прямогольник (плоское число!) со стороны длины $m=c-a$ и $n=c+a$ (рис. 11; мы получили геометрическое доказательство формулы $c^2-a^2=(c-a)(c+a)$). Возникает вопрос, какие плоские числа могут быть преобразованы в «толстые гномоны». Ясно, что числа $m=c-a$ и $n=c+a$ не равны друг другу и являются либо одновременно четными, либо одновременно нечетными — других же ограничений нет. Итак, если имеется прямогольник, не являющийся квадратом, длиной сторона которого $m$ и $n$ имеют одинаковую четность, то его можно преобразовать в «толстый гномон», являющийся разностью квадратов

$$c^2 = \left( \frac{m+n}{2} \right)^2 \quad \text{и} \quad a^2 = \left( \frac{m-n}{2} \right)^2$$

(при наших предположениях числа $m+n$ и $m-n$ четны и отличны от нуля).

41

Рис. 9.

Итак, мы свели задачу о нахождения пифагоровых треек к вопросу о том, каким образом квадрат $b^2$ может быть преобразован в прямоугольник со сторонами длины $m, n$ одинаковой четности ($m \neq n$). Эта задача легко решается. Пусть $r \neq b$ — делитель числа $b^2$ (но не обязательно — делитель числа $b$), для которого $\frac{b^2}{r}$ имеет ту же четность, что и $r$. При этом $r$ должно быть той же четности, что и $b$, хотя это условие и не достаточно (почему?). Тогда прямоугольник со сторонами длины $m = r$ и $n = \frac{b^2}{r}$ может быть преобразован в «толстый гномон», являющийся разностою квадратов

$$c^2 = \left[ \frac{b^2/r + r}{2} \right]^2 \text{ и } a^2 = \left[ \frac{b^2/r - r}{2} \right]^2.$$

Отметим, что $r$ может равнять 1 и что можно ограничиться делителем $r < b$ (почему?).

Итак, все пифагоры трейки имеют вид

$$a = \frac{b^2 - r^2}{2r}, \quad b, \quad c = \frac{b^2 + r^2}{2r},$$

где $1 \leq r < b$ — такой делитель числа $b^2$, что $r$ и $b^2/r$ имеют одинаковую четность (совпадающий с четностью $b$). Пользовать пифагоры трейки автоматически. Попробуйте проделать это; для контроля мы приводим таб-

В таблице встречются трейки $a, b, c$, отличношиеся только перестановкой чисел $a$ и $b$; это объясняется тем, что в пифагородной трейке $a$ и $b$ можно переставлять. Кроме того, мы видим, что не существует пифагоровой трейки с $b=2$: в этом случае нет подходящего делителя $r$

42

Рис. 13.
(условию $r < 2$ удовлетворяет лишь натуральное $r=1$, но единца — нечетное число). Для всех же остальных $b$ хотя бы одна пифагорова трейка существует. Если $b$ нечетно, то можно взять $r=1$; при этом получается $a$ и $c$, отлично иссяса на единцу (мы рассмотрели этот случай в самом начале). Если $b \neq 2$ — четное, то можно взять $r=2$; при этом получается трейки с $c-a=2$ (почему?).

Треугольные числа
В клипописных табличках вычисляется сумму первых $n$ натуральных чисел: $1+2+3+\dots+n$. Такие суммы стали называть треугольными числами, поскольку из точек, соответствующих слагаемым, можно составить треугольник (рис. 12). На клетчатой бумаге удобнее нарисовать фигуру, например лестница (рис. 13): в каждом следующем ряду лестницы на одну клетку больше, чем в предыдущем. Чтобы составить число клеток в лестнице (равное искомой сумме), нарисуем еще одну такую же лестницу, но перевернуть; после чего «свивнем» обе лестницы (рис. 14). Зубцы лестниц соединяются и получится прямогольник, у которого длина одной стороны равна $n$, а другой $n+1$. В таком прямогольнике $n(n+1)$ клеток; в лестнице же —

Рис. 14.
вдвое менше, т. е. $\frac{n(n+1)}{2}$
Таким образом,
$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
Задача 1. Пользовесь лестницами, найдите сумму $1+3+5+\dots+(2k+1)$ нечетных чисел; сумму $2+4+6+\dots+2k$ нечетных чисел, сумму $1+4+7+\dots+3k+1$ чисел вида $3k+1$ (первую из этих сумм мы уже нашли при помощи гномонов).

Следующая задача связана с еще одним интересным наблюдием Никомаха:
Задача 2. Убедитесь в том, что гномон, являющийся разностюквадратом соседних треугольных чисел, является кубом, мочее
$$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2=n^3.$$
Из этого соотношения Никомах получил формулу для суммы кубов
$$1^3+2^3+\dots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.$$
Для ее доказательства достаточно собрать все гномоны, отвечающие соседним треугольным числом.