Chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường và từ trường

43

Chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường và từ trường

Tác dụng của điện trường và từ trường lên các hạt tích điện dẫn đến nhiều hiện tượng thú vị và được ứng dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Ví dụ, đây là sự điều khiển chuyển động của các electron trong các thiết bị điện chân không khác nhau và sự gia tốc của các hạt tích điện lên năng lượng cao, sự tập trung của các hạt bằng cách sử dụng các đường tĩnh điện và từ tính, cũng như sự phân tách các hạt theo điện tích ở xa của chúng trong máy quang phổ khối.

Chúng ta hãy giới hạn xem xét các trường hợp đơn giản nhất - chuyển động của các hạt tích điện trong điện trường và từ trường đều và đứng yên (không phụ thuộc vào thời gian).

Trong điện trường có hướng $\vec{E}$, các hạt có điện tích $q$ và khối lượng $m$ chịu tác dụng của một lực điện

$$\vec{F}_{\text{эл}} = q\vec{E},$$

truyền gia tốc cho hạt

$$\vec{a} = \frac{\vec{F}_{\text{эл}}}{m} = \frac{q}{m}\vec{E}.$$

Gia tốc này hướng dọc theo trường nếu $q > 0$ và hướng dọc theo trường nếu $q < 0$. Do đó, phần dương của hạt bắt đầu chuyển động đều dọc theo trường và phần âm bắt đầu chuyển động ngược chiều với trường.

Để một hạt chuyển động từ điểm có điện thế $\varphi_1$ đến điểm có điện thế $\varphi_2$. Đồng thời động năng của nó thay đổi một lượng

$$\Delta W_{\kappa} = -q(\varphi_2 - \varphi_1).$$

Đây là lý do tại sao việc thay đổi năng lượng của các hạt tích điện tính bằng electron volt là thuận tiện (1 eV là năng lượng mà một hạt có điện tích bằng điện tích của electron thu được khi đi qua hiệu điện thế một volt).

Một hạt tích điện chuyển động trong từ trường chịu tác dụng của một lực từ gọi là lực Lorentz $\vec{F}_{\pi}$. Người mẫu của cô ấy

$$|\vec{F}_{\pi}| = q|\vec{v}||\vec{B}| \sin \alpha,$$

trong đó $q$ là điện tích của hạt, $\vec{v}$ là tốc độ của nó, $\vec{B}$ là cảm ứng từ trường và $\alpha$ là góc giữa các vectơ $\vec{v}$ và $\vec{B}$. Đặc điểm đặc trưng của lực này là nó luôn vuông góc với hướng chuyển động có hướng của hạt và cảm ứng của từ trường.

Vì lực Lorentz vuông góc với vận tốc của hạt nên công thực hiện bởi lực này bằng không. Do đó, nếu không có lực nào khác tác dụng lên hạt thì khi chuyển động trong từ trường, năng lượng của hạt sẽ không đổi *).

Hãy cùng xem xét một vài bài toán cụ thể.

Bài tập 1. Một hạt tích điện âm chuyển động trong một điện trường đều sao cho nó cắt bề mặt tương đương có điện thế $\varphi_1$ một góc $\alpha_1$ so với pháp tuyến và bề mặt tương đương có điện thế $\varphi_2$ một góc $\alpha_2$ (Hình 1). Người ta biết rằng tại điểm mà điện thế trường bằng 0 thì vận tốc hạt bằng 0. Tìm mối liên hệ giữa các góc $\alpha_1$ và $\alpha_2$.

Nếu tại một điểm có thế năng bằng 0 thì động năng của hạt bằng 0 tại điểm 1 và 2

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này trong bài viết của Yu. Zaichikov “Lực Lorentz và công của nó” («Kvant», 1979, số 2).

44

Hình 1.

nó sẽ bằng với sự tương ứng

$$\frac{m \left| \vec{v}_1 \right|^2}{2} = -q\varphi_1$$

Và

$$\frac{m \left| \vec{v}_2 \right|^2}{2} = -q\varphi_2,$$

Tỷ lệ vận tốc hạt đến từ đâu?

$$\frac{\left| \vec{v}_1 \right|}{\left| \vec{v}_2 \right|} = \sqrt{\frac{\varphi_1}{\varphi_2}}.$$

Theo hướng của trục $X$, có một lực điện tác dụng lên các hạt nên hình chiếu của vận tốc $v_x$ sẽ tăng: $v_{x_2} > v_{x_1}$. Không có lực tác dụng lên các hạt theo hướng của trục $Y$; do đó, phép chiếu vận tốc $v_y$ sẽ không đổi:

$$\left| \vec{v}_1 \right| \sin \alpha_1 = \left| \vec{v}_2 \right| \sin \alpha_2,$$

hoặc

$$\frac{\left| \vec{v}_1 \right|}{\left| \vec{v}_2 \right|} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}.$$

So sánh hai biểu thức liên hệ mô hình vận tốc hạt tại điểm 1 và 2, chúng ta tìm thấy mối liên hệ giữa các góc snus $\alpha_1$ và $\alpha_2$:

$$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \sqrt{\frac{\varphi_2}{\varphi_1}}.$$

Hãy chú ý đến thực tế này: quỹ đạo của hạt lệch theo hướng pháp tuyến đến bề mặt đẳng thế nếu (như trong trường hợp chúng ta đã xem xét) hạt chuyển động theo hướng tăng dần điện thế. Điều này giúp ta có thể hiểu được những chuyển động phức tạp hơn của điện tích trong điện trường không đồng nhất, chẳng hạn như nguyên lý hội tụ hệ điện. Hình 2 cho thấy cái gọi là đường dây hệ thống điện, bao gồm hai hình trụ đồng trục; Các đường chấm chấm biểu thị các phần của bề mặt đẳng hướng. Điểm $O$ là nguồn phát ra chùm tia phân kỳ của các electron chậm và điểm $O'$ là ảnh của chùm tia hội tụ của các electron nhanh.

Nhiệm vụ 2. Chúng ta cho một electron bay vào khoảng trống giữa các bản của một tụ điện phẳng, giữa các bản duy trì sự chênh lệch không đổi của vị trí $U=60$ V (Hình 3). Xác định tốc độ electron tối thiểu $\vec{v}_{\min}$ tại đó nó chạm tới tấm trên cùng. Điện tích riêng của electron là $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ K/kg, điện tích riêng là $\alpha=60^\circ$.

Khi chuyển động trong tụ điện, electron sẽ chịu tác dụng của một lực điện không đổi hướng vào từ trường, tức là từ tấm in dấu sang bản dương. Do đó, hình chiếu của vận tốc electron lên trục $Y$ sẽ giảm đều và hình chiếu lên trục $X$ sẽ không đổi. Không khó để chứng minh rằng quỹ đạo của electron sẽ là một parabol (bạn hãy tự kiểm tra).

Tốc độ tối thiểu của electron sẽ tương ứng với trường hợp parabol chạm vào tấm tụ điện phía trên.

45

TORAH. Điều này có nghĩa là tại thời điểm tiếp xúc, hình chiếu $v_y$ của vận tốc electron sẽ bằng 0.

Tại điểm 1, động năng của electron là $\frac{m|\vec{v}_{\min}|^2}{2}$, và tại điểm 2, nó bằng $\frac{mv_x^2}{2} = \frac{m(|\vec{v}_{\min}| \sin \alpha)^2}{2}$. Mặt khác, sự thay đổi động năng có liên quan đến hiệu điện thế giữa các bản tụ: $\Delta W_\kappa = -eU^*$). Vì vậy, $\frac{m(|\vec{v}_{\min}| \sin \alpha)^2}{2} - \frac{m|\vec{v}_{\min}|^2}{2} = -eU$.

Ở đâu
$$|\vec{v}_{\min}| = \sqrt{2 \frac{e}{m} \frac{U}{1 - \sin^2 \alpha}} \approx 9,2 \cdot 10^6 \text{ m/c}.$$

Hãy thử giải bài toán này theo cách khác: viết phương trình chuyển động của electron dọc theo trục $X$ và $Y$ và từ đó tìm tốc độ ban đầu tối thiểu.

*) Đến $e$ sau đây chúng ta sẽ hiểu mô hình điện tích electron.

Hình 3.

Hình 4.

Bài toán 3. Một loạt các ion dương tích điện đơn Li$^+$(A=6) được phát ra từ nhiệt kế “E”.
Các nonon được gia tốc bởi điện trường $u$, đi qua hiệu điện thế $U=3000$ V và đi vào buồng có từ trường ngang $|\vec{B}| = 3 \cdot 10^{-2}$ T (Hình 4). Tìm giá trị độ lệch của chùm tia $h$. Chiều dài buồng $L=15$ cm, điện tích $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ C, khối lượng proton $m_p=1,67 \cdot 10^{-24}$ e.

Sau khi vượt qua hiệu điện thế tăng tốc $U$, mỗi vật thu được động năng

$$\frac{m|\vec{v}|^2}{2} = eU,$$

trong đó $m$ là khối lượng của ion, $\vec{v}$ là tốc độ của nó. Từ đây

$$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2eU}{m}}.$$

Với tốc độ này anh ta đi vào một căn phòng nơi chỉ tồn tại từ trường. Lực Lorentz bắt đầu tác dụng lên nó, lực này sẽ truyền gia tốc hướng tâm cho nó. Vì lực Lorentz tại mỗi thời điểm vuông góc với tốc độ của ion nên nó sẽ chuyển động theo một vòng tròn. Bán kính của vòng tròn này có thể được tìm thấy từ phương trình chuyển động của ion

$$\frac{m|\vec{v}|^2}{R} = e|\vec{v}||\vec{B}|.$$

Có tính đến thực tế là $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$, chúng tôi nhận được

$$R = \frac{m|\vec{v}|}{e|\vec{B}|} = \frac{1}{|\vec{B}|} \sqrt{\frac{2mU}{e}}.$$

Mức độ lệch chùm tia $h$ được tìm thấy từ các phép tính hình học đơn giản (xem Hình 4):

$$h = R - \sqrt{R^2 - L^2} \approx 0,02 \text{ м}.$$

Bài toán 4. Một chùm electron phân kỳ yếu phát ra từ điểm $O$ với tốc độ $v$ và chuyển động trong từ trường dọc có cảm ứng $\vec{B}$ (Hình 5). Tại những giá trị nào của mô hình cảm ứng từ, chùm tia sẽ hội tụ vào màn hình “E” nằm ở khoảng cách $L$ tính từ điểm $O$?

46

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một electron riêng lẻ, vectơ vận tốc của nó nằm trong mặt phẳng của Hình 5 và tạo một góc $\alpha$ với vectơ $\vec{B}$.

Vì electron chỉ chịu tác dụng của lực Lorentz, hình chiếu của lực này theo hướng của trường bằng 0, nên hình chiếu vận tốc của electron theo hướng này sẽ không đổi và bằng $|\vec{v}| \cos \alpha$.

Trong mặt phẳng vuông góc với vectơ $\vec{B}$, electron sẽ chuyển động theo một đường tròn với tốc độ tuyến tính bằng $|\vec{v}| \sin \alpha$. Hãy viết phương trình chuyển động của electron trong một vòng tròn:

$$\frac{m(|\vec{v}| \sin \alpha)^2}{R} = e |\vec{v}| |\vec{B}| \sin \alpha.$$

Từ đây ta tìm được bán kính của đường tròn $R$ và chu kỳ quay $T$:

$$R = \frac{m |\vec{v}| \sin \alpha}{e |\vec{B}|},$$

$$T = \frac{2\pi R}{|\vec{v}| \sin \alpha} = \frac{2\pi m}{e |\vec{B}|}.$$

Đồng thời, electron chuyển động đều trên trường với tốc độ $|\vec{v}| \cos \alpha$.

Nếu sau thời gian $\tau = \frac{L}{|\vec{v}| \cos \alpha}$ electron kết thúc ở điểm $O'$ (xem Hình 5), điều này có nghĩa là nó đã thực hiện một số nguyên $n$ số vòng quay đầy đủ:

$$\tau = nT,$$

hoặc

$$\frac{L}{|\vec{v}| \cos \alpha} = n \frac{2\pi m}{e |\vec{B}_n|},$$

ở đâu $n=1, 2, 3, \ldots$. Kết quả là chúng ta thu được một tập hợp các giá trị mô hình vectơ cảm ứng từ rời rạc mà tại đó electron sẽ chạm điểm $O'$:

$$|\vec{B}_n| = \frac{2\pi m |\vec{v}| \cos \alpha}{e L} n.$$

Nói đúng ra, giá trị của trường lấy nét phụ thuộc vào góc $\alpha$. Tuy nhiên, ở các góc nhỏ $\cos \alpha \approx 1$ và

$$|\vec{B}_n| \approx \frac{2\pi m |\vec{v}|}{e L} n.$$

Vấn đề 5. Tích cực

47

Nó sẽ dần dần mất tốc độ và ngày càng bị từ trường bẻ cong nhiều hơn (xem Hình 6). Tại điểm thấp nhất của quỹ đạo, hình chiếu của vận tốc hạt $v_z$ trở thành bằng 0 và tổng vận tốc của nó sẽ là tối thiểu. Bán kính cong của quỹ đạo tại điểm này sẽ nhỏ nhất và gia tốc hướng lên của hạt sẽ lớn nhất.

Sau đó, hạt bắt đầu chuyển động đi lên dọc theo trường $\vec{E}$, tốc độ của nó sẽ tăng lên và cùng với đó là bán kính cong của quỹ đạo sẽ tăng lên. Tại một số thời điểm, tốc độ của hạt trở nên bằng tốc độ ban đầu $\vec{v}_0$.

Kết quả là hạt sẽ “trôi” dọc theo trục $X$. Quỹ đạo chuyển động của nó là một cơn lốc xoáy. Hình 6 cho thấy quỹ đạo của hạt trong trường hợp $\left|\vec{v}_0\right| > 2 \left|\vec{E}\right| / \left|\vec{B}\right|$.

(Một tính toán chặt chẽ cho thấy chuyển động dọc theo lốc xoáy có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất của chuyển động đều dọc theo trục $X$ với tốc độ $\left|\vec{v}\right| = \frac{\left|\vec{E}\right|}{\left|\vec{B}\right|}$ và chuyển động tròn trong mặt phẳng $XZ$.)

Bài tập

1. Hai hạt tích điện có tốc độ bằng nhau $\left|\vec{v}\right| = 10^9$ cm/c đồng thời bay vào một tụ điện phẳng (Hình 7).

Xác định hướng $\vec{E}$ của điện trường trong tụ điện mà các hạt sẽ va chạm vào nhau. Điện tích riêng của hạt có giá trị tuyệt đối bằng nhau $(e/m = 1,76.10^{11}$ C/kg), nhưng trái dấu. Khoảng cách giữa các bản tụ là $d = 1$ cm; $h = 5$ cm; góc tới của hạt $\alpha = 45^\circ$.

2. Trong mô hình hành tinh của nguyên tử hydro (theo Rutherford - Bohr), người ta cho rằng electron quay theo quỹ đạo tròn xung quanh một hạt nhân nhỏ, nặng, tích điện dương (proton). Xác định bán kính của nguyên tử hydro nếu biết rằng năng lượng tối thiểu phải truyền thêm cho electron để loại nó ra khỏi nguyên tử (ion hóa năng lượng) bằng $W = 2,2.10^{-18}$ J. Điện tích của electron và proton bằng $e = 1,6.10^{-19}$ Cl.

3. Trong một thiết bị xác định trạng thái đồng vị (máy quang phổ khối), các ion kali tích điện đơn lẻ có trọng lượng nguyên tử $A_1 = 39$ và $A_2 = 41$ lần đầu tiên được tăng tốc bằng điện