Chạy, đi bộ và vật lý

9

log của những người có chiều cao khác nhau được liên hệ dưới dạng căn bậc hai của tỷ lệ chiều cao (ngược lại). Điều này cung cấp cho chúng tôi một cách rất đơn giản để xác định $v_0$ đối với một người có chiều cao bất kỳ. Chỉ cần thay đổi tần số rung động tự nhiên của bài tập yoga của riêng bạn là đủ. Và đây là một số: đứng trên một chân, hiển thị, thả chuột, chân kia và đếm số lần dao động trung bình của chân trong một giây. Ví dụ: đối với một người cao 175 cm thì tần số là 0,8 Hz. Vì vậy, đối với con người, chiều cao là $h(\text{см}) v_0 = 0,8 \sqrt{175/h}$ (Hz).

Nếu chân ổn định, như trường hợp khi chạy, thì chiều dài chân giảm đi sẽ giảm và tần số dao động tự do sẽ tăng khoảng một phần tư.

Khi đi, chân chịu những rung động cưỡng bức dưới tác động của chuột. Người ta biết rằng trong quá trình dao động cưỡng bức, phạm vi của chúng không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của lực mà còn phụ thuộc vào tần số tác dụng của nó. Tần số tại đó thu được dao động cực đại gọi là tần số cộng hưởng.

Tần số cộng hưởng $v_p$ gần như trùng với tần số $v_0$ dao động tự do của con lắc:

$$v_p = v_0 \sqrt{1 - \alpha^2},$$

trong đó $\alpha = \frac{1}{2\pi} \ln n \approx 0,37 \lg n$, $n$ là số biểu thị biên độ dao động tự do giảm bao nhiêu lần trong một chu kỳ. Biên độ dao động tự do của chân người trong một chu kỳ giảm khoảng hai lần, do đó trong trường hợp của chúng ta $n \approx 2$, $\alpha \approx 0,11$ và tần số cộng hưởng từ tần số tự nhiên chỉ là 0,6%.

Rõ ràng là từ quan điểm tiết kiệm năng lượng, việc đi bộ bằng cách di chuyển chân với tần số cộng hưởng là có lợi nhất. Với tốc độ đi bộ này, thế năng tích trữ khi nhấc chân chuyển hóa đầy đủ nhất thành động năng tại thời điểm chân đi qua vị trí cân bằng và sau một phần tư thời gian (nửa bước), động năng của chuyển động dao động chuyển hóa hoàn toàn nhất thành thế năng. Các giá trị tối đa của thế năng và động năng trong trường hợp này gần như giống nhau và tải trọng bổ sung lên chân liên quan đến nhu cầu “treo” định mức khi đi bộ là tối thiểu.

Mọi người thực sự đi bộ với đôi chân di chuyển ở tần số cộng hưởng. Độ lệch của tần số “hoạt động” so với cân bằng cộng hưởng không lớn. Rõ ràng là tại sao: độ lệch này càng lớn thì tải trọng bổ sung lên các cơ liên quan đến việc vượt qua quán tính của chân khi đi bộ với tốc độ nhanh mạnh hoặc vượt qua trọng lực tác động lên chân càng lớn.

Tình huống hoàn hảo tương tự như cách thực hành đu trên xích đu quen thuộc: tương đối dễ dàng vung xích đu ở tần số cộng hưởng của nó, nhưng nếu bạn cố gắng vung nó với tần số, chẳng hạn như cao gấp đôi, bạn sẽ nhanh chóng cảm thấy mệt mỏi và xích đu thực tế sẽ không nhúc nhích.

Bây giờ đã rõ tại sao một người, nếu cần đi bộ nhanh, trước hết phải tăng chiều rộng bước đi chứ không phải tốc độ đi bộ. Trong trường hợp này, tốc độ chuyển động tăng lên và tần số cộng hưởng của dao động ở chân thay đổi rất ít: vật lý học đã biết rằng tần số cộng hưởng gần như không phụ thuộc vào kích thước của dao động.

Ngoài việc tăng chiều rộng của bước, còn có một biện pháp dự phòng khác để tăng tốc độ đi bộ: uốn cong đầu gối khi nhấc chân lên khỏi mặt đất. Tất nhiên, điều này không ảnh hưởng đến độ rộng của bước đi, nhưng tần số cộng hưởng tăng lên và một người, do đó, đã “điều chỉnh” tần số cộng hưởng của chân để đạt tốc độ đi bộ cao hơn, có thể đi bộ nhanh chóng.

Bàn tay con người cũng thích nghi với việc đi lại. Vì hai chân chuyển động theo hai mặt phẳng song song khác nhau, nằm cách nhau một khoảng nên chuyển động của chân gây ra một mô men lực có xu hướng làm cơ thể người quay quanh một trục thẳng đứng. Để duy trì dáng đi thẳng, mọi người vung tay “về phía” chuyển động của chân. Với chuyển động của cánh tay như vậy, một mômen lực sẽ xuất hiện ngược lại với mômen lực do chuyển động của chân gây ra và bù đắp cho nó. Giảm ngược lại

10

sự dịch chuyển theo phương thẳng đứng của trọng tâm của cơ thể và công liên quan đến nó: xét cho cùng, việc tách các lỗ khi đi sẽ làm dịch chuyển trọng tâm xuống và sự tách rời của hai cánh tay - lên trên. Tất nhiên, một người có thể duy trì tư thế thẳng mà không cần vung tay, nhưng chỉ phải trả giá bằng lực căng của chuột thêm, và điều này là không có lợi.

Bạn có thể vung tay dễ dàng nhất khi đi bộ nếu phần cộng hưởng của rung động ở tay và chân của bạn giống nhau. Hóa ra những tần số này thực sự trùng khớp. Hơn nữa, nếu một người “điều chỉnh” phần cộng hưởng của dao động của chân theo tốc độ chuyển động nhanh hơn bằng cách lắc chúng, thì người đó cũng lắc cánh tay của mình cho phù hợp, từ đó duy trì sự cân bằng về tần số cộng hưởng của dao động của tay và chân.

Tốc độ đi càng cao thì nhu cầu co chân (và tay) càng mạnh để phần cộng hưởng dao động của chân “điều chỉnh” độ dài của chân cần co lại nhưng bạn đã không thành công (đây là cấu tạo của chân). Điều này có nghĩa là không thể tăng tần số dao động cộng hưởng của chân lên hơn $\sqrt{2}$ lần. (Và nếu chúng ta tính đến việc hora sẽ có vị cay khi bị đẩy khỏi mặt đất, thì rõ ràng là “hệ số tăng” phụ thuộc vào ít hơn $\sqrt{2}$.)

Vì vậy, chỉ có thể “điều chỉnh” phần cộng hưởng theo tốc độ đi bộ hoặc beta trong giới hạn khá hạn chế. Và khi bạn chạy với tốc độ nhanh, thì thế năng tích trữ khi mỗi lần nhấc chân lên không đủ để truyền động năng cần thiết của chuyển động dao động đến chân trong quá trình đẩy khỏi mặt đất. Hãy bù đắp cho sự thiếu hụt thu nhập thông qua công việc của con chuột. Và động năng cần thiết tăng nhanh khi tốc độ tăng dần: nó tỷ lệ với bình phương tốc độ của người chạy. Nếu chúng ta tính đến cùng một chiều rộng bước, tốc độ tỷ lệ thuận với số bước trên giây, thì hóa ra năng lượng “lãng phí” khi “lủng lẳng” chân với tốc độ chuyển động nhanh tỷ lệ thuận với lũy thừa ba của tốc độ. Điều này có nghĩa là việc tăng tốc độ beta chỉ 10% đòi hỏi mức tiêu hao năng lượng tăng thêm một phần ba và việc tăng gấp đôi tốc độ sẽ đòi hỏi mức tiêu hao năng lượng tăng gấp bội. Về lực cần thiết mà chuột phải di chuyển chân với tốc độ nhanh, chúng tỷ lệ thuận với bình phương tốc độ.

Sự phụ thuộc phi tuyến tính rõ ràng của mức tiêu hao năng lượng vào tốc độ cho thấy một khoảng cách tương đối nhỏ về tốc độ beta trong một khoảng cách ngắn giữa những người giữ kỷ lục và những vận động viên giỏi đơn giản. Đây là lý do tại sao rất khó để “vắt kiệt” những phần giây thừa đó trong quãng đường 100 mét. Nhân tiện, điều này cũng giải thích tại sao khi chạy beta trên quãng đường dài, khi đặc biệt cần thiết để bảo toàn sức lực, mọi người thích chạy hơn, tạo ra những chiếc khóa tương đối lớn nhưng sắp xếp lại các sự thật với tần số gần với tần số cộng hưởng. Và điều này mặc dù thực tế là mỗi lần co giật đòi hỏi phải tiêu hao thêm năng lượng.

Để tìm ra lượng lực mà chuột phải phát triển tùy thuộc vào tần số chuyển động của chân, ngoài tần số dao động tự do của chân, còn phải biết mức độ suy giảm của các dao động này. Ở người, biên độ dao động của chân giảm khoảng một nửa trong một chu kỳ. Lực của chuột, di chuyển chân tới lui, tác dụng tuần hoàn và chúng ta có thể giả định gần đúng rằng nó thay đổi theo quy luật hình sin. Những dữ liệu này có thể được sử dụng để sử dụng các công thức nổi tiếng của lý thuyết dao động nhằm tính toán lực cần thiết cho bất kỳ tốc độ đi bộ nào.

Kết quả tính toán được thể hiện trên biểu đồ. Có thể thấy, lực cần thiết có giá trị nhỏ nhất ở tần số chân thay đổi bằng tần số cộng hưởng và tăng mạnh khi lệch khỏi giá trị này. Biểu đồ cho thấy rõ ràng việc đi bộ, di chuyển chân của bạn một cách chính xác với âm thanh cộng hưởng sẽ mang lại nhiều lợi ích hơn

11

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực di chuyển chân vào tốc độ đi. Ở đây $v$ là tần số dao động của chân khi đi, tức là số bước của một chân trong một giây; $v_0$ - tần số cộng hưởng của rung động ở chân. Các giá trị hiển thị theo chiều dọc cho biết lực mà cơ sẽ tạo ra gấp bao nhiêu lần so với việc đi bộ ở tần số cộng hưởng.

tần số, và khi καταstrophic, lực cần thiết tăng lên khi tốc độ đi bộ tăng lên. Vì vậy, ví dụ, khi tần số dao động của chân tăng gấp đôi so với tần số cộng hưởng, tức là khi số bước đi trong một giây tăng gấp đôi thì tải trọng lên các cơ chân có cùng chiều rộng bước sẽ tăng gấp 14 lần! Ngay cả khi tốc độ đi bộ chỉ lệch 10% so với tần số cộng hưởng, lực cần thiết vẫn tăng lên đáng kể. Điều này làm rõ lý do tại sao mọi người đi bộ, cẩn thận duy trì tần số cộng hưởng của họ: đi bộ theo cách này dễ dàng hơn. (Việc giảm chất lượng của sự phụ thuộc cũng được bảo toàn trong trường hợp beta. Chỉ cần tính đến tần số cộng hưởng trong beta do uốn cong chân ở đầu gối cao hơn một chút so với khi đi bộ).

Chiều dài bổ sung của chân càng ngắn cho cùng một chiều dài (trên thực tế, các chân được làm từ dưới lên dưới càng mỏng và độ dày của chúng giảm dần từ trên xuống dưới càng nhanh), tần số cộng hưởng của dao động của chân càng lớn và tốc độ chúng có thể phát triển trong cùng điều kiện càng cao. Mặt khác, chân càng nhẹ thì chân chuột càng cần ít nỗ lực hơn để di chuyển ở cùng tốc độ (vì lực tỷ lệ thuận với trọng lượng của chân). Đó là lý do tại sao tất cả các loài động vật chạy nhanh (linh dương, báo gêpa, ngựa đua, chó săn xám) đều có chân rất gầy và chân tương đối nhẹ.

Đúng, điều kiện thứ hai ít quan trọng hơn điều kiện thứ nhất, vì tần số cộng hưởng của dao động ở chân đóng vai trò quyết định đối với tốc độ của beta. Ví dụ, voi, với đôi chân to lớn nhưng tương đối thon, chạy khá nhanh nhẹn, và ở Ấn Độ, thành ngữ “đi như voi” là lời khen ngợi cao nhất.

Còn voi và linh dương thì sao! Hãy thử hợp đồng của một con lợn bình thường, người đã lên đường trốn thoát khỏi bạn. Hình dạng chân của lợn con - thường được gọi là dăm bông - có đặc điểm là độ dày của chân giảm rất mạnh từ trên xuống dưới. Con lợn cần giăm bông không phải để làm thành giăm bông mà để tần số cộng hưởng của chân cao hơn. Chân ngắn của lợn có tần số cộng hưởng thực sự cao, cho phép nó cạnh tranh ở tốc độ beta với những người có chân dài hơn nhiều.

Vì vậy, tần số cộng hưởng của rung động ở chân đóng vai trò quyết định đến tốc độ beta và bước đi. Đương nhiên, câu hỏi được đặt ra: liệu có thể tăng nó lên không? Sẽ thật thú vị khi làm điều này: việc tăng tần số cộng hưởng sẽ cho phép bạn đi bộ và chạy nhanh.

Về nguyên tắc, có ít nhất hai cách có thể xảy ra vấn đề lời giải. Cách đầu tiên là tăng lực hấp dẫn, điều này sẽ kéo theo sự tăng tần số dao động cộng hưởng của chân lên $\sqrt{2}$ lần. Đúng là việc tăng lực hấp dẫn, nói một cách nhẹ nhàng, không phải là điều dễ dàng và quan trọng nhất là phải hối tiếc, điều đó không đáng. Nhưng đối với các phi hành gia một ngày nào đó sẽ đi vòng quanh các hành tinh khác,

12

Câu hỏi về sự phụ thuộc của phần cộng hưởng của dao động của chân vào gia tốc trọng trường không có bản chất học thuật: xét cho cùng, mỗi hành tinh đều có gia tốc trọng trường riêng.

Phương pháp thứ hai giải quyết vấn đề lời giải tốt hơn nhiều. Nếu thế năng dự trữ trong mỗi lần nhấc chân không đủ để truyền tốc độ dao động cần thiết tới phía bắc, thì bằng cách buộc chân bằng dây cao su đàn hồi hoặc gắn các phần tử đàn hồi vào chân theo cách khác, chúng ta cố gắng đưa chân về vị trí cân bằng khi thực hiện sai lệch so với vị trí này, nhờ đó chúng ta sẽ làm tăng thế năng tích lũy (do động năng) khi nâng chân. Kết quả là, tải trọng bổ sung vô ích lên các cơ liên quan đến việc phải vượt qua quán tính của chân khi đi và chạy sẽ giảm đi. Các phần tử đàn hồi được gắn vào chân sẽ hoạt động như một nguồn dự trữ năng lượng tiềm năng, được bổ sung và làm trống bởi chuyển động trong mỗi chu kỳ dao động, và giống như trong tất cả các hệ thống dao động, chúng sẽ làm tăng phần cộng hưởng của dao động. Độ đàn hồi của các phần tử này càng lớn (ví dụ như chỉ dây cao su nối các chân) thì phần cộng hưởng càng cao. Điều này có nghĩa là để đi và chạy nhanh hơn, bạn cần… buộc chân (tất nhiên là bằng dây thun).

Một mặt của câu chuyện cổ tích Đức kể về một người đàn ông có thể chạy cực nhanh. Để đi được với tốc độ bình thường, anh buộc tạ vào chân. Skorod biết mình đang làm gì. Rốt cuộc, bằng cách làm như vậy, anh ta đã tăng độ dài đã giảm của chân, và do đó, làm giảm phần dao động cộng hưởng của chúng và cùng với đó là tốc độ chuyển động. Nhưng nếu anh ấy gắn các bộ phận đàn hồi vào chân cùng với tạ, anh ấy sẽ chạy nhanh hơn nữa. Tuy nhiên, người ta có thể nghi ngờ rằng bí mật của người đi bộ beta nhanh nằm chính xác ở chỗ chân của anh ta có phần dao động cộng hưởng cao hơn chân của những người khác.

Bất kỳ người khỏe mạnh nào cũng có thể trở thành người đi bộ bằng cách tăng phần cộng hưởng của dao động với sự trợ giúp của các phần tử đàn hồi.

Hãy tưởng tượng một người như vậy đang tham gia môn điền kinh. Trước khi bắt đầu, anh ta trói chân mình và để giải thích phần nào hành vi kỳ lạ của mình, anh ta khiêm tốn nói với ban giám khảo rằng anh ta chạy rất nhanh và để không chạy quá xa đối thủ, anh ta thường có thói quen buộc nhẹ chân. Sau khi vào vị trí ngay từ đầu, vận động viên của chúng ta dùng một lực nào đó lùi lại một chân, từ đó “sạc” thế năng vào đó. Ngay khi bắt đầu nhấc chân này lên khỏi mặt đất, hora “bắn” về phía trước, giống như từ súng cao su. Nhân tiện, điều này cũng làm giảm thời gian tăng tốc. Tất nhiên, người chạy bị trói chân sẽ đến với nhà vật lý trước. Nhưng anh ta sẽ khó dừng lại hơn và anh ta sẽ chạy thêm vài bước: sau cùng, hai chân anh ta bị trói bằng dây chun “tự chạy”. Nhân tiện, nếu nó nhất quán đến cùng, thì để tạo điều kiện thuận lợi cho phiên bản beta, các phần tử đàn hồi cũng phải được gắn vào cánh tay, như đã lưu ý, chúng đóng một vai trò nhất định khi đi và chạy. Điều này có thể được thực hiện, ví dụ, bằng cách buộc cánh tay (bàn tay cao hơn) vào thắt lưng bằng dây thun. Lựa chọn chung là thế này: nếu một người bị “trói” tay và chân, người đó sẽ chạy nhanh hơn.

13

Khi tôi trình bày những thông điệp này với các đồng nghiệp của mình, họ đã cười nhưng đồng ý với tôi, và người kiên quyết nhất trong số họ tuyên bố rằng chẳng ích gì khi kéo chân họ, đi đến chỗ những người thí nghiệm và mang cho họ một sợi dây cao su chống sốc. Sợi dây này bao gồm nhiều dây thun mỏng. Sau khi cắt những sợi dây thun mỏng này thành những đoạn dài 75 cm, chúng tôi làm từ chúng một số bánh xe kéo dày khoảng một cm. Kỹ thuật sản xuất rất đơn giản: từ mỗi mảnh, bằng cách buộc các đầu của nó, họ tạo thành một chiếc nhẫn, và từ bảy đến tám mươi chiếc nhẫn như vậy, họ tạo thành một sợi dây cọc dày. Để dây garô không bị bung ra, nó phải được cắt lại ở một số chỗ (giống như cắt lại các thanh khi làm chổi).

Nếu một chiếc vòng như vậy được đặt trên cả hai chân, thì ở tư thế hai chân khép vào nhau, chiếc vòng sẽ không phát triển mà sẽ quấn chặt quanh chân mà không bị chùng xuống. Khi đi bộ hoặc chạy, nó sẽ giãn ra định kỳ. Các lực đàn hồi phát sinh trong trường hợp này sẽ có xu hướng đưa chân về vị trí cân bằng dẫn đến tần số dao động cộng hưởng của chân tăng lên. Tuy nhiên, một chiếc vòng như vậy, ôm chặt hai chân ngang tầm bắp chân, sẽ làm tăng tần số cộng hưởng lên gấp rưỡi.

Để chiếc nhẫn không làm cong các mạch máu, chúng tôi đặt nó lên trên những miếng băng cứng làm bằng bìa cứng hoặc vật liệu phù hợp khác. Cuối cùng, để ngăn chiếc vòng khỏi băng (lên trên chân), chúng tôi gắn nó vào băng ở hai điểm và nối hai điểm còn lại của chiếc vòng bằng dây bện với giày. Dây xe quay để di chuyển các điểm của vòng mà chúng được gắn vào chân, nhưng không cản trở chuyển động của vòng trong mặt phẳng nằm ngang, vì góc giữa dây xe và chân luôn nhỏ và dây xe gần như song song với chân.

Vòng cao su có thể được đặt ở chân cả trên và dưới đầu gối - trong mọi trường hợp, phần cộng hưởng của rung động ở chân sẽ tăng lên. Nhưng vì động học

14

Danh sách độc giả đã gửi đúng lời giải bài toán trên Bài toán Kvant

(Để bắt đầu, xem trang 7)

2—4; V. Dashevsky (Moscow) 7; V. Jaloyan (làng Urtsadzor, Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Armenia) 7, 8; V. Dobrov (Angarsk) 2; S. Dovbysh (Moscow) 6-9, 1-3; A. Dorozovtsev (Kyiv) 2; A. Dubinsky (Moscow) 2; K. Dubrovsky (Slavyansk) 3; D. Duzhchev (làng Makhmudavar AzSSR) 2, 3; D. Duntsev (quận Masalynsky của AzSSR) 7; I. Elishevich (Chernigov) 6, 7; A. Ermolin (Petrozavodsk) 6—8, 1, 3, 4; A. Zabarinov (Zavolzhsk) 3; I. Zverovich (Minsk) 6, 7; M. Zlamoustovsky (làng pravaya Khava, vùng Voronezh) 3; Zozulya (Baku) 6a; V. Zolomatevsky (Kyiv) 1, 3, 4; K. Ilyin (Vilnius) 7; F. Kabdykairov (Alma-Ata) 6-8, 3; A. Kadamanov (Belorek) 6, 7; P. Kaluzhin (Moscow) 1-4; R. Kamalyan (Yerevan) 7, 2, 3; A. Kanel (Moscow) 6-8; A. Kaplan (Sumgant) 6a, 7, 8, 1-4; A. Kelarev (Sverdlovsk) 6, 7, 1-4; E. Knaus (Pavlodar) 6; A. Kinh Koran (Moscow) 6, 7, 9; D. Kolomitsev (Sumgant) 6a; A. Kolomitsev (Angarsk) 6, 7; I. Kolkov (Sochi) 7, 3; Yu. Kondrakhin (Novosibirsk) 7, 2; M. Kontsevichi (Khimki) 6—9, 1, 3, 4; D. Korneev (Saratov) 2; A. Vua (Tashkent) 6, 7; O. Kravets (Voronezh) 6a, 7, 8, 2; I. Krounk (Lviv) 6; O. Krylov (V. Ustyug) 6, 7, 4; I. Kuz (Lviv) 6a, 1;

E. Kuzmin (Cherpovet) 6; A. Kulesko (Donetsk) 6, 8, 9; V. Kukharchik (làng Maly Shpkov, vùng Rivne) 6, 3; A. Kushnerov (Moscow) 6, 7; A. Kushi (Dnepropetrovsk) 7; B. Lapidus (Moscow) 66; Y. Lapusma (Terpolol) 6a, 7; B. Leites (Moscow) 6, 7, 3, 4; A. Lipin (Leningrad) 8, 1, 3; S. Lounov (Moscow) 7, 8; A. Lukashov (Lebedin) 6; Yu. Makarov (Leningrad) 1; G. Malkhasyan (làng Tsalka, GrSSR) 7; R. Mamedov (Baku) 6, 7, 1, 3; M. Marjanovic (SFRY) 3; A. Meegretsky (Leningrad) 2-4; M. Melamed (Zaporozhye) 2; V. Melnik (Gaysin) 6a, 7, 3; G. Milnikov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 1; A. Mindlin (Saratov) 6, 8; S. Mokrousov (Leningrad) 4; G. Molchanov (Saratov) 2; S. Moreino (Moscow) 6, 7; P. Mulin (Irkutsk) 6a; R. Nabokov (Saratov) 2, 3; N. Naznibida (Chernivtsi) 3; O. Nazavov (làng Fakhralo, GrSSR) 6a, 7, 3; N. Nizkaradze (Tbilisi) 3; A. Nikolaev (làng Oktyabr TASSR) 7; A. Nintsevsky (Voronezh) 3; S. Novakovsky (Saratov) 2; S. Novikov (Kherson) 6a, 9, 3; V. Olkhov (Gorky) 3; A. Oparin (Gorky) 6-8; A. Pavtsev (Riga) 6, 7, 2; E. Palosh (Voroshilovgrad) 3; M. Panmaev (Moscow) 1; A. Panmelev (Rostov-on-Don) 7; A. Pashkevich (Ba Lan) 2; V. Pashenko (Kyiv) 6; K. Pelikh (Pavlovsky Posad) 6, 7; G. Pelts (Leningrad) 7; G. Perelman (Leningrad) 8; (Tiếp theo trang 25)