Bài toán M586—M590; F598—F602

26

Bài toán

M586—M590; F598—F602

M586. Trong tam giác $ABC$ có $\hat{B}=60^\circ$, chúng ta vẽ các bissertrix $AD$ và $CE$ cắt nhau tại điểm $O$. Chứng minh rằng $|OD|=|OE|$.

M587. Cho bộ ba số $2, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}$. Được phép thay thế bất kỳ hai trong số chúng bằng hai trong số sau: tổng của chúng chia cho $\sqrt{2}$ và hiệu của chúng cũng chia cho $\sqrt{2}$. Liệu sau khi thực hiện quy trình này vài lần, có thể thu được bộ ba số $1, \sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ không? (9)

M588. a) Qua một điểm nằm bên trong một tứ diện tùy ý, các đoạn có các đầu trên các mặt của tứ diện được vẽ song song với các cạnh của nó. Chứng minh rằng tổng của cả sáu tỉ số giữa độ dài các đoạn thẳng và độ dài các cạnh song song với chúng luôn bằng trem.
b) Lập và chứng minh nhận xét tương tự đối với tam giác (trong mặt phẳng). (9)

E. Yasinovy

M589. Trên mặt phẳng, cho một tập hợp các vectơ $n$, độ dài của mỗi vectơ không vượt quá 1. Chứng minh rằng bằng cách thay thế một số vectơ của tập hợp này bằng các vectơ đối diện của chúng, bạn có thể thu được một tập hợp các vectơ $n$, tổng của chúng có độ dài
a) không vượt quá $\sqrt{n}$;
b) không vượt quá $\sqrt{2}$. (9)

P. Gusyatinikov, A. Plotkin

M590. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\cos x|+|\cos 2x|$. Chứng minh rằng với mọi số $x$ và mọi số tự nhiên $n$ thì tổng
$|\cos x|+|\cos 2x|+|\cos 4x|+\ldots+|\cos 2^n x|$
6) không ít hơn $\frac{n}{4}$;
b) * không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$. (10)

P. Gusyatinikov

F598. Một bình có độ sâu $H$ chứa đầy chất lỏng, mật độ của nó thay đổi tuyến tính từ $\rho_0$ đến bề mặt

27

đạt p ở đáy tàu. Hai quả bóng nhỏ có thể tích bằng nhau $V$, được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh, không trọng lượng, không co giãn có chiều dài $l$, được nhúng trong một chiếc bình. Mật độ của một quả bóng là $\rho_1$, mật độ của quả bóng kia là $\rho_2$. Sau một thời gian, các quả bóng được lắp vào như Hình 1. Tìm lực căng của sợi chỉ. (8)

O. Ovchinnikov

F599. Một sợi dây được ném qua một khối cố định trên trần nhà, trên đó một tải trọng có khối lượng $M$ được cân bằng bởi một cái thang với một người có khối lượng $m$. Theo định luật nào một người phải di chuyển so với cầu thang để phản lực của vật nặng lên trần nhà bằng 0? Khối không trọng lượng, dây hoàn toàn linh hoạt, không thể kéo dài và không trọng lượng. (8)

A. Warzen

F600. Trong mạch điện ở Hình 2, công tắc lần lượt đóng và mở tại những thời điểm khi hướng trên tụ điện thứ nhất bằng 0. Vẽ đồ thị hiệu điện thế trên cuộn cảm theo thời gian. (10)

F601. Trên Mặt Trăng, một hình trụ thẳng đứng được đóng kín bằng một pít-tông nặng chứa argon ở nhiệt độ $T_1$. Piston có thể chuyển động trong xi lanh mà không có ma sát. Một piston tương tự thứ hai được đặt cẩn thận trên piston. Xác định nhiệt độ $T_2$ của khí tại vị trí cân bằng mới của piston. Không nên tính đến nhiệt dung của piston và xi lanh cũng như khả năng truyền nhiệt. Khí được coi là lý tưởng. (9)

F602. Các tụ điện có điện dung $C_1$ và $C_2$ được nối với một mạch gồm một điện trở có điện trở $R$ và một nguồn có EMF $\mathcal{E}$ và điện trở trong $r=R/3$, đóng các cực 1-2, 3-4, 5-6 (Hình 3). Sau mạch điện, điện áp trên tụ $C_1$ hóa ra bằng $\mathcal{E}/2$, và điện thế ở cực 3 cao hơn điện thế ở cực 2. Xác định điện tích $p_0$ trên tụ $C_2$ trước mạch điện. (9).