Задачи М586—М590; Ф598—Ф602

26

Задачи

M586—М590; Ф598—Ф602

M586. В треугольнике $ABC$, у которой $\hat{B}=60^\circ$, провели биссертрисы $AD$ и $CE$, пересекающие в точке $O$. Докажите, что $|OD|=|OE|$.

M587. Дана тройка чисел $2, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}$. Разрешается любые два из них заменить двумя такими: их суммой, деленной на $\sqrt{2}$, и их разность, также деленной на $\sqrt{2}$. Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел $1, \sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$? (9)

M588. a) Через точку, взятую внутри произвольного tetraэдра, параллельно его ребрам проведены отрезки с концами на гранах tetraэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длины отрезков к длиам параллельных им ребер всегда trem.
b) Сформируйте и докажите аналогичное утверждение для треугольника (на плоскости). (9)

Э. Ясиновый

M589. На плоскости дан набор из $n$ векторов,лина каждой из которых не превышает 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор $n$ векторов, сумма которых имеет длину
a) не превышает $\sqrt{n}$;
b) не превышает $\sqrt{2}$. (9)

П. Гусятиников, А. Плоткин

M590. a) Найдите наименьшее значение выражения $|\cos x|+|\cos 2x|$. Докажите, что для любого числа $x$ и любого натурального числа $n$ сумма
$|\cos x|+|\cos 2x|+|\cos 4x|+\ldots+|\cos 2^n x|$
6) не меньше $\frac{n}{4}$;
b) * не меньше $\frac{n}{2}$. (10)

П. Гусятиников

Ф598. Сосуд глубины $H$ заполнен жидкостью, плотность которого линейно меняется от $\rho_0$ на поверх-

27

ности до р на дне сосуда. В сосуд погружают два маленьких шарика одинакового объема $V$, связанных тонкой неевесомой нерастижной нитью длины $l$. Плотность одного шарика $\rho_1$, плотность другого—$\rho_2$. Через некоторое время шарики установливаются так, как показано на рисунке 1. Найти силу наяжения нити. (8)

О. Овчинников

Ф599. Через блок, укрепленный в потолке, перекиниута ввервка, на котором груз массы $M$ уравновешен лестницей с человеком массы $m$. По какому закону должен дивгаться человек относительно лестниццы, чтобы реакция блока на потолок равна лась нулю? Блок неевесом, ввервка абсолотно гибка, нерастижма и неевесoma. (8)

А. Варцен

Ф600. В схеме, приведенной на рисунке 2, ключ попеременного замыкают и размыкают в те моменты, когда направление на первом конденсаторе равно нулю. Нарисовать график зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени. (10)

Ф601. На Луне в вертикальном цилиндре, закрытом тяжелым поршнем, находится аргон при температуре $T_1$. Поршень может перемешаться в цилиндре без трения. На поршень кладут осторожно второй такой же поршень. Определите температуру $T_2$ газа при новом равновесном положении поршня. Теплоемкость поршня и цилиндра, а также теплотадачу, не учитывать. Газ считается идеальным. (9)

Ф602. К цепи, состоящей из резистора с сопротивлением $R$ и источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r=R/3$, присоединяют конденсаторы с емкостьми $C_1$ и $C_2$, замыкая клеммы 1—2, 3—4, 5—6 (рис. 3). После замыкания напряжение на конденсаторе $C_1$ оказывается равным $\mathcal{E}/2$, причем потенциаль клеммы 3 выше потенциаль клеммы 2. Определите, какой заряд $p_0$ был на конденсаторе $C_2$ до замыкания. (9).