Список читателей, приславших правильные решения

7

Заметим следующее: сумма величины всех многогранных углов этих парами с вершинами в точке $A$ равна 1; сумма величины всех трехгранных углов при основаниях парами совпадает с величины суммы $\varphi$ всех многогранных углов при вершинах многогранника; сумма величины двухгранных углов при основании парами из нашего разбиения совпадает с величины $\varphi$ всех двухгранных углов многогранника. Отсюда и из формулы (4) непосредственно получаем, что $1 - \varphi + \bar{\varphi} = \frac{1}{2} \cdot n$ или

Заметим, что требование выпуклости многогранника присутствуют лишь для простоты изложения. Обобщения в этом направлении читатель может получить самостояльно.

Teorema об обобщенной сумме углов tetraэдра впервые была доказана de Гюз в 1783 г., дальнейшие обобщения опубликованы Брианшоном в 1837 г.

Удивительное свойство формулы (4) состоит в том, что, в отличие от плоского случая, эта формула остается справедливой и в неевклидовой геометрии.

Уражнения

2. а) Найдите обобщенную сумму углов куба и дodeкадра. 6) Для этих многогранников найдите сумму мер многогранных углов при вершинах.

3. Используя формулу (1): вычислите сумму избытков многогранных углов выпуклого многогранника, у которого $P$ ребер и $B$ вершин. (Ответ. $P - B$.)

4. Выведите из упражнения 3 и формулы (6) знаменитию формулу Эйлера, связывающего число граней $\Gamma$, число вершин $B$ и число ребер $P$ вы пуклого многогранника: $P - B = \Gamma - 2$.

5. Приведите пример многогранника, для которого $B - P + \Gamma = 0$.

Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»

В этом номере мы публикуем фамилии читателей, приславших правильные решения задач М536—М544 и Ф533—Ф547 (жирные цифры после фамилий — последние цифры номеров решенных задач).

Математика

Н. Абдибеков (Аркальск) 6а; К. Абдухалков (Алма-Ата) 6—8; А. Адаев (с. Покровка АзССР) 7; З. Алавердян (Иджеван) 3; Ф. Алиев (Баку) 1, 3, 4; А. Андреасян (Бюрегаван АрмССР) 3; Р. Ардан (Львов) 6, 7, 1—3; К. Арстамян (Кафан) 7; Н. Арутиной (Киев) 2—4; П. Ахметевов (Москва) 2—4; А. Ахметхозин (Анджан) 6а, 7; А. Бадалян (пос. Берд АрмССР) 6—8; Б. Байсаколов (Алма-Ата) 6, 7; К. Бакланов (Тула) 6а, 7; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 6—9, 1—4;

А. Барг (Николаев) 6, 7; А. Барышников (Москва) 6; Б. Бегун (Москва) 6, 2; А. Белода (Кривой Рог) 3; Н. Березовский (Черновцы) 2, 3; С. Берковайко (с. Котово Белгородской обл.) 3; С. Беспамятных (Артемовский) 6—9, 2; Н. Бовсунский (с. Путлович Житомирской обл.) 3; А. Борисев (Ленинград) 6, 8, 0, 3,4; Е. Бравый (Пермь) 6; А. Брациский (Волгодск) 6, 0; Я. Бретман (Киев) 3; А. Бурин (Москва) 6, 1, 4; Ю. Бусин (Черемхово) 7, 3; Э. Вайслер (Киев) 3; В. Бардаков (Таштагол) 6; С. Василовский (Ашхабад) 1; Н. Владимиров (Москва) 2, 3; А. Влэдеску (СРР) 7, 8, 0; Х. Воктор (Днепропедерский) 1, 3; А. Воронов (Москва) 6; М. Гаврилов (пос. Черноголовка Московской обл.) 6а, 7, 8, 1—4; Э. Гаджиев (Тбилиси) 6а, 3; М. Гайсинский (Ташкент) 4; Н. Гасилов (Баку) 7, 1, 3; А. Генин (Москва) 3; А. Генязок (Киев) 3; А. Гильман (Москва) 6, 7, 4; А. Гилок (Флорешты) 2; Л. Гимллин (Витебск) 6—8; Ю. Глухов (Шелково) 6, 7; С. Глушко (Дрогобыч) 3; О. Горбачев (Кустанай) 6, 3, 4; О. Гордиенко (Павлодар) 7, 8; М. Горлов (Белорец) 6; Л. Гринаш (г. п. Дятлово Гродненской обл.) 7; Н. Грипбер (Киев) 6, 7, 1; В. Губа (Вологда) 6—8, 1—4; С. Гузов (Львовский)

(Продолжение см. на с. 14)