Задачи республиканских олимпиад

61

Н. Васильев

Задчи
республиканских
олимпид

Ряд задач, предлагавшихся в этом году на ресурубликанских олимпиадах по математике, включен в Задачик «Кванта» (M556—M563, M587—M590). Задачи, предлагавшиеся на олимпиаде РСФСР, помещены на с. 58. Предлагаем читателем подумать также над следующими задачими, предлагавшими в других ресурубликах (указания и ответы к ним мы опубликуем в одном из следующих номеров).

После задачи указываются фамилии математиков, предложивших эти задачи редакции «Кванта» или Методический комиссии Всегоозной олимпиады.

1. (8) Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 4, 5, 9 и 11 дает остатки соответствующего 3, 4, 8 и 10.
   В. Аефонов

2. (8) Доказать, что всякое число вида 101010…101 (n нулей n + 1 единиц, причем n > 1) является составным.
   В. Аефонов

3. (8—9) $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ — натуральные числа, сумма которых равна 1001. Какое наиболее значение может принимать их НОД (наибольший общий делитель)?

А. Толпьео

4. (8—9) Пусть $p$ — простое $k$-значное число, в записи которого нет нуле. Доказать, что все $k$ чисел, полученных из $p$ циклических перестановками цифр, различны. (Пояснение: например, из числа 2317 циклических перестановками цифр получаются еще три числа 3172, 1723, 7231.)

А. Слинько

5. (8—10) Множество $M$ состоит из всех чисел вида $x^2+x$, где $x$ — всевозможное натуральное число. Доказать, что для любого $k \geqslant 2$ в множество $M$ найдется $k$ различных чисел, сумма которых также принадлежит $M$.

В. Батырев

6. (8—9) Выпуклый четырехугольник разрезан на пять треугольников. Дока-жите, что один из треугольников содержит целиком неокоторую сторону четырехугольника.

7. (8—9) Построенная по данной последовательности $a_n$ последовательность $b_n = a_{n+1} - a_y$ является убывающей, причем $b_1$ меньше $a_1$. Доказать, что тогда и последовательность $c_n = a_n/n$ является убывающей.

8. Чантурия

9. (8—10) Отрезки $AE$ и $CD$ — бисектрисы углов треугольника $ABC$. Докажите, что если $BDE/EDC = BED/DEC$, то треугольник $ABC$ — равноведренный.

А. Савин

9. a) (8) Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки их пересечения на стороны четырехугольника лежат на одной окружности.

6. (9—10) Дана четырехугольная парамида, у которой диагонали $AC$ и $BD$ основания перпендикулярны, а основание $H$ высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей. Докажать, что четыре проекции точки $H$ на боковые грани лежат на одной окружности.

В. Михайловский

10. (9—10) Расматривают все попарно неконгрузительные треугольники с вершинами в точках, делящих окружность на $N$ равных дуг ($N \geqslant 3$). При каких $N$: а) больше половины, б) равно половина этих треугольников — равноведренные?

H. Васильев

11. (8—10) Во всех клетках прямоугольной таблицы $m \times n$ записаны числа $+1$ ($m > n \geqslant 2$). За один шаг разрешается одновременное сменить знак у четырех чисел любого квадрата $2 \times 2$. При таких $m$ и $n$ из первого аналогной таблицы за несколько шагов можно получить таблицу:

a) с суммой чисел 0?
b) с расположением $+1$ и $-1$ в шахматном порядке?

А. Егоров

12. (8—10) Точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$. В полуплоскости с границей $AC$ взятые точки $K$ и $H$, что $|AK| = |KB|$, $|BH| = |HC|$, $AKB = \alpha$, $BHC = 180^\circ - \alpha$. Найдите углы треугольника $KHM$, где $M$ — середина отрезка $AC$.

Л. Купцов

13. (10) Доказать, что при $x \in [0; \pi/4]$ выполнен неравенство $x \cos x < 0.71$.

Л. Гоэоладзе