9
лог людей разного роста относится как корни квадратные из отношения (обратного) ростов. Это дает нам очень простой способ определения для человека любого роста. Достаточно изменить собственную частоту колебаний вшей собственнойоги. А это несколько: стоя на одной ноге, показайте, расслабив мышиы, другой и сосчитайте среднее число колебанийоги за одну секунду. Например, для человека, имеющего рост 175 см, частота оказывается равной 0,8 Гц. Так что для человека рост (Гц).
Если ногу согласно как это бывают при беге, то приведенная длина ноги уменшится и частота свободных колебаний возрастет примерно на одну четверть.
При ходьбе ноги совершают вынужденные колебания под действием мыши. Известно, что при вынужденных колебаниях их размах зависит не только от величины силы, но и от частоты ее действия. Частоту, при которой получается наиболее размах, называют резонансной частотой.
Резонансная частота почти совпадает с частотой свободных колебаний мятника:
где , — число, показывающее, во сколько раз уменшается амплитуда свободных колебаний за один период. Амплитуда свободных колебаний ноги человека уменшается за один период приблизительно в два раза, так что в интервушем нас случае , и резонансная частота от собственной всего на 0,6%.
Ясно, что с точки зрения экономии сил выгоднее всего ходить, переставляя ноги с резонансной частотой. При таком темпе ходьбы запасаемая при подъеме ноги потенциальная энергия наиболее полным образом переходит в кинетическая в момент прохождения ноги через положение равновесия, а через четверть периода (через полшага) кинетическая энергия колебательного движения наиболее полно переходит в потенциальную. Максимальные значения потенциальной и кинетической энергии в этом случае почти одинаковы, и полнительная нагрузка на мышиы ног, связанная с необходимостью «болтать» норми при ходьбе, минимальная.
Люди действительно ходят, переставляя ноги с резонансной частотой. Отклонения «работей» частоты от резонансной весы не велики. Иясно почему: чем больше это отклонение, тем больше добавочная нагрузка на мышицы, связанная с предоленением инерции ноги при сильном быстро темпе ходьбы или с предоленением действующей на ноги силы тяжести при сильном медленном темпе.
Ситуация совершенного аналогична знакомой всем практике раскачивания на качелях: сравнительно легко раскачать качели на их резонансной частоте, но если вы будете пытаться раскачать их с частотой, скажем, вдвое больше, то быстро устанете, а качели практические не сдвинутся с места.
Теперь понятно, почему человек, если требуется идти быстрое, прежде всего уvelичивает ширину шага, а не темп ходьбы. Скорость движения при этом возрастает, а резонансная частота колебаний ноги изменяется очень мало: из физики известно, что резонансная частота почти не зависит от размера колебаний.
Кроме уvelичения ширины шага, есть еще один резерв уvelичения скорости хода: сгибание ноги в колене в то время, когда она оторвана от земли. На ширине шага это, конечно, не отражается, а резонансная частота при этом возрастает, и человек, «подстроив» таким образом резонансную частоту своих ноги к более высокому темпу ходьбы, может идти быстрое.
Руки человека также приспособлены для ходьбы. Поскольку ноги движутся в двух разных параллельных плоскостях, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, движение ноги вызывает момент сил, стремящейся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Чтобы сохранить прямую походку, люди размахивают руками «навстречу» движению ноги. При таком движении рук возникает момент сил, противоположный момент силы, обусловленному движению ноги, и компенсирующий его. Задно уменшаются
10
смещения по вертикали центра тяжести тела и связанная с этим работа: ведь разделение нор при ходьбе смещает центр тяжести вниз, а разделение рук — вверх. Конечно, человек может сохранять прямую положку и не размахивая руками, но лишь ценой дополнительного напряжения мыши, а это невыгодно.
Размахивать руками при ходьбе легче всего, если резонансные части колебаний рук и ног одинаковы. Оказывается, эти частоты действительно совпадают. Более того, если человек «подстраивает» резонансную часть колебаний ног подускренный темп движения, сибая их, при этом он соответствен сибает и руки, поддерживая тем самым равенство резонансных частот колебаний рук и ног.
Чем больше скорость ходьбы, тем сильнее прихождения сибать ноги (и руки), чтобы «подстраивает» резонансную часть колебаний ног подужаемую длину ноги, вам не удался (таково уж устройство ног). Значит, нельзя увеличить частоту резонансных колебаний ног более чем в раз. (А если учеть, что во время отталкивания от землиhora должна быть пряной, то станет ясно, что «козффициент увеличения» зависит меньше .)
Итак, «подстройка» резонансной части под темп ходьбы или бета возмножна лишь в довольно ограниченных пределах. И когда прихождения бекать в быстром темпе, то запасаемой при каждом подъеме ноги потенциальной энергии неxbатает для сообщения ноги во время отталкивания от земли нужной кинетической энергии колебательного движения. Восполнять ее недостачу прихождения за счет работы мыши. А требуемая кинетическая энергия быстро растет с увеличением скорости: она пропорциональная квадрату скорости движения бегуна. Если же учеть, что при той же ширине шага скорость пропорциональная числу шагов в секунду, то выходит, что энергия, «попусть» затрачиваемая на «болтание» ногами при быстром темпе движения, пропорциональная третьей степени скорости. Это означает, что увеличение скорости бета всего на 10% требует увеличения затраты энергии на одну третье, а двукратное увеличение скорости потребовано бы восмноженного увеличения затрачиваемой энергии. Что же касается требуемых сил, с которых мыши должны пройти в движение ноги при быстром темпе, то они пропорциональны квадрату скорости.
Такая резкая нелинейная зависимость затрата энергии от скорости объявления сравнительно небольшой разрыв в скорости бета на коротке дистанции между рекордсменами и простого хорошим легкоатлетами. Вот почему так трудно «выжать» лишние доли секунд на стометровке. Кстати сказаать, это также объясняет, почему при бете на длиные дистанции, когда особенно нужно беречь силы, люди предпочтают бежать, делая сравнительно большие пряжки, но переставляя истин с частотой, близкой к резонансной. И это несмотряна то, что каждое подрыгивание требует дополнительной затраты энергии.
Для нахождения количество сил, которые должны развивать мыши, от частоты перестановки ног нужно, кроме частоты свободных колебаний ног, знать еще и степень затухания этих колебаний. У человека амплитуда колебаний ног уменьшается примерно в два раза за один период. Сила мыши, движущая ногу вперед и назад, действует периодически, притом можно приближенно считать, что она меняется по синусoidальному закону. Эти данные дисстановно, чтобы полезь известиыми формулими теории колебаний, расчитать силу, необходимую для любого темпа ходьбы.
Результаты расчеты приведены на графике. Видно, что требуемая сила имеет минимум при частоте перестановки ног, равной резонансной, и резко возрастает при отклонении от этого значения. График наглядно показывает, насколько выгоднее ходить, переставляя ноги именно с резонансным
11
График зависимости сил, приводяших в движение ноги, от темпа ходьбы. Здесь — частота колебаний ноги при ходьбе, то есть число шагов одной ноги за секунду; — резонансная частота колебаний ноги. По вертикали отложена величины, показывающая, во сколько раз больше силы должны создавать мышцы по сравнению с ходьбой на резонансной частоте.
ной частотой, и как καταстрофические возрастает требуемая сила с увеличением темпа ходьбы. Так, например, при увеличении частоты колебаний ноги вдвое по сравнению с резонансной частотой, то есть при двукратном увеличении числа шагов в секунду, сливая нагрузка на мышцы ноги при той же ширине шага возрастает в 14 раз! Уже при отклонении темпа ходьбы всего на 10% от резонансной частоты требуемая сила заметно возрастает. Отсюда ясно, почему люди идут, стрательно придерживая своей резонансной частоты: так легче ходить. (Качественное приведение зависимости сохраняется и в случае бета. Нужно только учитывать, что резонансная частота при бете из-за сгибания ноги в коленях несколько выше, чем при ходьбе).
Чем меньше приведение длина ноги при той же их длине (пraktическая — чем тонше делаются ноги книзу и чем резце происходит уменшение их толщины сверху вниз), тем больше резонансная частота колебаний ноги и тем больше скорость при тех же условиях может развивать их обладаться. С другой стороны, чем легче ноги, тем меньше усилий требуется от мыши ноги для движения с той же скоростью (поскольку сила пропорциональная весу ноги). Именно поэтому все быстроigne животные (антилопы, гепарды, скаковые лошади, борзые собаки) имеют сильно утончающесся книзу и сравнительное легкие ноги.
Правда, второе условие имеет меньше значения по сравнению с первым, поскольку решающую роль в быстроте бета играет резонансная частота колебаний ноги. Например, слоны с их массивными, но сравнительно стройными ногами бегают довольно резво, а в Индии выражение «походка, как у слона» — высшая похвала.
Да что там слоны и антилопы! Попробуйтека договора обыкновенного поросенка, который задался целю убежать от вас. Форма ноги поросенка — того, что в обиходе называют окороком,— характеризуется очень резким уменшением толщины ноги сверху вниз. Окорок нужен поросенку вовсе не для того, чтобы из него делали ветчину, а чтобы резонансная частота ноги была pobлше. Короткие ноги поросенка имеют настоящее высокую резонансную частоту, что позволяет ему конкурировать в скорости бета с человекам, ноги которого гораздо длине.
Итак, решающую роль в быстроте бета и ходьбы играет резонансная частота колебаний ноги. Естественно, возникает вопрос: а нельзя ли ее увеличит? Сделать это было бы веса заманчиво: увеличение резонансной частоты позволяет бы лодать и бегать быстрое.
В принципие возможны по крайней мере два способа решения проблем. Первый способ — увеличить силу земного тяготения повлекло бы за собой увеличение резонансной частоты колебаний ноги в раз. Правда, увеличить силу земного тяготения, мягго говоря, не так просто, а главное, пожалей, и не стоит. Но для космонавтов, которые когда-нибудь будут разгульивать по другим планетам, во-
12
прос о зависимости резонансной части колебаний ног от ускорения силы тяжестии носит далеко не академический характер: ведь на каждой планете свое ускорение силы тяжестии.
Второй способ решения проблем несравнено прошше. Если запасаемой при каждом подьеме ноги потенциальной энергии не хватает для сообщения norte требуемой скорости колебательного движения, то, связав ногиластичным резиновым шнуром или присоединив к ногам каким-либо иным способом упругие элементы, стремится возвратить в положение равновесия отклонению от этого положения ногу, мы тем самым увеличим потенциальную энергию, накопливаему (за счет кинетической) при подьеме ноги. В результате уменышится бесполезная добавочная нагрузка на мышицы, связанная с необходимостью предолевать инерцию ног при ходьбе и беге. Прикрепленные к ногам упругие элементы будут игrate роль резервуаров потенциальной энергии, пополняемых и опустошаемых движжды за каждой перiod колебаний, и, как во всех колебательных системах, они будут повышать резонансную часть колебаний. Чем больше упругость этих элементов (например, чем только связывающий ноги резиновый шнур), тем выше резонансная часть. Значит, чтобы ходить и бегать быстрее, нужно… связать ноги (разумется, упругой связи).
В одной стороны немецкой сказке повестиется о человека, который мог бегать на редкость быстро. Чтобы ходить с нормальной скоростью, он привязвал к ногам гири. Скород знал, что делал. Ведь тем самым он уvelичивал приведенную длину ноги, следовательно, уменышал их резонансную часть колебаний, а вместе с ней — и скорость хода. А вот если бы вместе гирь он прикреплял к ногам упругие элементы, то бегал бы еще быстрее. Впрочем, можно подозреть, что секрет быстроого бета скорохода как раз и состоит в том, что его ноги имели города более высокую резонансную часть колебаний, чем у других людей.
Любой здоровый человек может стать скороходом, повышив с помощью упругих элементов резо-нансную часть колебаний.
Представим себе такое человек, принимающего участие в легкотлетических состояниях. Перед стартом он связывает себе ноги и, чтобы как-то объяснить свое страное поведение, скромно посягет судьям, что он-de бегает очень быстро и, чтобы не убегать слишком далеко от своих соперников, имеет общиховение слегка связывать ноги. Заняв свое место на старте, наш спортмен с некоторым усилением отводит одну ногу назад, тем самым «заряжая» ее потенциальной энергейой. Как только в момент старта он отрывает эту ногу от земли,hora «выстреливается» вперед, как из рогатки. Кстати, при этом сокращается и время разгона. Конецно, бегун со связанным ногами придет к физишу первым. Вот только остановиться ему будет труднее, и он пробежит несколько лишних шагов: ведь связанныеластичной резинкой ноги «бегут сами». Кстати, уж если бы последовательным до конца, то с целью облегчения бета следует прикреплять упругие элементы и к рукам, которые, как уже было отмечено, играют определенную роль при ходьбе и беге. Это можно сделать, например, привязав руки (повышшее кисти) к поясуластичными резинками. Общий выбор таких: если «связывать» человек по рукам и ногам, он будет бегать быстрее.
13
Когда я изложил эти сообщения своим товарищам по работе, они посмеялись, но согласились со мной, а самый решительный из них, заявив, что нечего тянут резину, пошел к экспериментаторам и принесот них резиновый амортизационный канат. Такой канат состоит из множества тонких эластичных резинок. Нарезав эти тонкие резинки на куски длиной по 75 см, мы изготовили из них несколько жгутов-колес топшной примерно в один сантиметр. Техника изготовления была простой: из каждого куска, связав его концы, сделали колюц, а из семи-восьмидесятков таких колц составили одно толстое колью-жгут. Дабы жгут не рассыпался, его пришлось перезать в несколько местах (точно также, как переявывалот прутья при изготовлении веника).
Если такое колюц надеть на обе ноги, то в положении, когда ноги составлены вместе, колюц оказывается нерастутым, но будет плотно обхватывать ноги, не провисая. При ходьбе или беге оно будет периодически растягивать. Возникающие при этом упругие силы будут стремиться возвратить ноги в положение равновесия, что и приведет к повышению резонансной частоты колебаний ног. Однако такое колюц, обхватывающее ноги на уровне икр, повышает резонансную частоту в полтора раза.
Чтоы колюц не перегигавало кровеносные сосуда, мы надевали его поверх жестких повязок, сделанных из картона или другого подходящого материала. Наконец, чтобы колюц не съездало с повязок (вверх по ноге), мы прикрепляли его к повязкам в двух точках, а другие две точки колюца соединяли бечевками с обувью. Бечевки превращаются смесению точек колюца, к которым они были прикреплены, вверх по ноге, но не стесняли движения колюца в горизонтальной плоскости, поскольку угол между бечевкой и ногой всегда мал и бечевка остается практическим параллельной ноге.
Резиновые колюца можно надевать на ноги как выше, так и ниже колен — в любом случае резонансная часть колебаний ног будет возрастать. Но поскольку кинетическая
14
Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»
(Начало см. на с. 7)
2—4; В. Дашевский (Москва) 7; В. Джалоян (с. Урцадзор АрмССР) 7, 8; В. Добров (Ангарск) 2; С. Довбыш (Москва) 6—9, 1—3; А. Дорозовцев (Киев) 2; А. Дубинский (Москва) 2; К. Дубровский (Славянск) 3; Д. Дужчев (с. Махмудавар АзССР) 2, 3; Д. Дунцев (Масалынский р-н АзССР) 7; И. Елишевич (Чернигов) 6, 7; А. Ермолин (Петрозаводск) 6—8, 1, 3, 4; А. Забаринов (Заволжск) 3; И. Зверович (Минск) 6, 7; М. Зламоустовский (с. Правая Хава Воронежской обл.) 3; Зозуля (Баку) 6а; В. Золоматевский (Киев) 1, 3, 4; К. Ильин (Вильнюс) 7; Ф. Кабдыкаиров (Алма-Ата) 6—8, 3; А. Кадаманов (Белорек) 6, 7; П. Калужин (Москва) 1—4; Р. Камалян (Ереван) 7, 2, 3; А. Канель (Москва) 6—8; А. Каплан (Сумгант) 6а, 7, 8, 1—4; А. Келарев (Свердловск) 6, 7, 1—4; Е. Кнаус (Павлодар) 6; А. Коран (Москва) 6, 7, 9; Д. Коломиццев (Сумгант) 6а; А. Коломицев (Ангарск) 6, 7; И. Колаков (Сочи) 7, 3; Ю. Кондрахин (Новосибирск) 7, 2; М. Концевичи (Химки) 6—9, 1, 3, 4; Д. Корнеев (Саратов) 2; А. Король (Ташкент) 6, 7; О. Кравец (Воронеж) 6а, 7, 8, 2; И. Кроунк (Львов) 6; О. Крылов (В. Устюг) 6, 7, 4; И. Кузь (Львов) 6а, 1;
Е. Кузьмин (Черповец) 6; А. Кулеско (Донецк) 6, 8, 9; В. Кухарчик (с. Малый Шпаков Ровенской обл.) 6, 3; А. Кушнеров (Москва) 6, 7; А. Куши (Днепропетровск) 7; Б. Лапидус (Москва) 66; Ю. Лапусма (Терпололь) 6а, 7; Б. Лейтес (Москва) 6, 7, 3, 4; А. Липин (Ленинград) 8, 1, 3; С. Лоунов (Москва) 7, 8; А. Лукашов (Лебедин) 6; Ю. Макаров (Ленинград) 1; Г. Малхасян (с. Цалка ГрССР) 7; Р. Мамедов (Баку) 6, 7, 1, 3; М. Марьянович (СФРЮ) 3; А. Меегрецкий (Ленинград) 2—4; М. Мелamed (Запорожее) 2; В. Мельник (Гайсин) 6а, 7, 3; Г. Мильников (пос. Черноголовка Московской обл.) 1; А. Миндлин (Саратов) 6, 8; С. Мокроусов (Ленинград) 4; Г. Молчанов (Саратов) 2; С. Морейно (Москва) 6, 7; П. Мулин (Иркутск) 6а; Р. Набоков (Саратов) 2, 3; Н. Назнибида (Черновцы) 3; О. Назавов (с. Фахрало ГрССР) 6а, 7, 3; Н. Низкарадзе (Тбилиси) 3; А. Николаев (дер. Октябрь ТАССР) 7; А. Нинцевский (Воронеж) 3; С. Новаковский (Саратов) 2; С. Новиков (Херсон) 6а, 9, 3; В. Ольхов (Горький) 3; А. Опарин (Горький) 6—8; А. Павлцев (Рига) 6, 7, 2; Е. Палош (Ворошиловград) 3; М. Панмаев (Москва) 1; А. Панмелев (Ростов-на-Дону) 7; А. Пашкевич (ПНР) 2; В. Пашенко (Киев) 6; К. Пелих (Павловский Посад) 6, 7; Г. Пельц (Ленинград) 7; Г. Перельман (Ленинград) 8; (Продолжение см. на с. 25)