Обобщённая сумма углов многогранника

4

А. Ширцов, А. Никитин

Обобщенная сумма углов многогранника

В евклидовой геометрии важное место занимает теорема о сумме углов плоского многоугольника, поэтому естественно возникает вопрос о пространственном анализе этой теоремы. О таком анализе и о связанных с ним понятиях рассказывается в этой статье.

Мера $n$-гранного угла

Будем изучать плоские и многогранные углы следующим образом. Пусть $AOB$ — произвольный угол на плоскости. Построим окружность радиуса $r > 0$ с центром в точке $O$ и примем за метру угла $AOB$ величины отношения длины дуги $A'mB'$, находящейся внутри угла $AOB$, к длине всей окружности (рис. 1).

При таком изучении углов, например, метра угла в один градус равна $\frac{1}{360}$, метра угла в л радиан равна $\frac{1}{2}$, а известные теоремы о сумме углов треугольника и сумме углов выпуклого $n$-угольника формулируют с соответствием следующим образом: величины суммы углов треугольника равна $\frac{1}{2}$ и величины суммы углов выпуклого $n$-угольника равна $\frac{n}{2} - 1$.

Рассмотрим произвольный $n$-гранный угол. Вокруг его вершины (а в случае двугранного угла бокруг произвольной точки ребра этого угла) построим сферу и наозем метой $n$-гранного угла величины отношения площади части сферы, находящейся внутри угла, к площади всея сферы (рис. 2).

Если $n > 2$ и $A_1, A_2, \dots, A_n$ — точки пересечения $n$-гранного угла со сферой, то через $|A_1, A_2 \dots A_n|$ обозначим меру нашего $n$-гранного угла, а через $|\hat{A}_1|, |\hat{A}_2|, \dots, |\hat{A}_n|$ обозначим соответствию меры внутри

5

ренних двугранных углов $\hat{A}_1$, $\hat{A}_2$, …, $\hat{A}_n$ $n$-гранного угла.

Каждая из граней $n$-гранного угла пересекается со сферой по большей okружности и все грани $n$-гранного угла отсекают от сферы фигуру, которое обычно называют сферическим $n$-удольником (см. рис. 2).

На рисунках 3 и 4 показаны сферические 2-угольник и треугольники.

Мера двугранного угла, как видно из рисунка 3, равна мере его линейного угла. Из известной формулы площади сферического треугольника, которая дает нам выражение площади через величины углов, измеренных в радианной мере (см. «Квант», 1977, № 1, с. 9), переходя к нашим обозначениям, получим

$$2|ABC| = |\hat{A}| + |\hat{B}| + |\hat{C}| - \frac{1}{2},$$

где $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ — внутренние двугранные углы при ребрах $OA$, $OB$, $OC$ нашего треугранного угла.

Действительно, площадь фигуры $\Phi_1$, составленной из двух сферических треугольников $ADC$ и $A'D'C$, совпадает с площадью 2-угольника $C^*$), площадь фигуры $\Phi_2$, составленной из треугольников $AD'B$ и $A'DB$, — с площадью 2-угольника $\hat{B}$; фигура же $\Phi_3$, ограниченная получением $ABA'$ и $A'CA$, есть 2-угольник $\hat{A}$. Пересечение этих трех фигур $\Phi_1 \cap \Phi_2 \cap \Phi_3 = \Phi_1 \cap \Phi_2 = \Phi_2 \cap \Phi_3 = \Phi_3 \cap \Phi_1$ является интересующим нас сферическим треугольником $ABC$. Поэтому, вычисляя сумму площадей этих трех фигур, мы трижды, т. е. два лишних раза, посчитаем площадь треугольника $ABC$. Вычитая из этой суммы удвоенную площадь треугольника $ABC$, мы получим площадь видимой (на рисунке 4) получcfеры. Итак, $1/2 = |\hat{A}| + |\hat{B}| + |\hat{C}| - 2|ABC|$, т. е. справедлива формула (1).

Из равенства (1) следует, что сумма мер внутренних двугранных углов произвольного треугrahного угла на $\frac{1}{2}$ превышает его удвоенную меру.

*) 2-угольник мы обозначем так же как соответствующий двугранный угол.

6

Рис. 5.

Найдем теперь меры вЫ пук-лого $n$-гранного угла. Заметим, что всякий выпуклый $n$-угольник может быть разбит на $n - 2$ треугольника. Аналогично этому, всякий выпуклый $n$-гранный угол ($n > 2$) может быть разбит на $n - 2$ треугольных угла, а соответствующий сферический $n$-угольник разбиается при этом на $n - 2$ сферических треугольника (рис. 5). Применяя формулу (1) ко всем этим треугольникам и суммируя, видим, что для сфериского $n$-угольника $A_1A_2 \ldots A_n$, соответствующего неокторому выпуклому $n$-гранному углу, выполняется формула

$$|\hat{A}_1| + |\hat{A}_2| + \ldots + |\hat{A}_n| - 2|A_1A_2| \ldots A_n|$$

(to есть сумма мер внутренних двумерных углов $n$-гранного угла на $\frac{n}{2} - 1$ превышает удвоенную меру $n$-гранного угла (при $n > 2$).

Величину $|\hat{A}_1| + |\hat{A}_2| + \ldots + |\hat{A}_n| - 2|A_1A_2 \ldots A_n|$ в дальнейшем будет назвать избытком многогранного угла $OA_1A_2 \ldots A_n$.

Уражнение 1. Применяя формулы (1) и (2), найдем а) меру треугольного угла в вершинах куба; б) меру треугольного угла в вершинах правильного треугольника; в) меру четырехугольного угла в вершинах octаэдра.

Сумма углов многогранника

Рассмотрим теперь произвольный теграэдр. Обозначим через $\alpha_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$) величины его треугольных углов, а через $\beta_j$ ($j = 1, 2, \ldots, 6$) величины его двумерных углов. Избыток всякого треугольного угла равен $\frac{1}{2}$, поэтому сумма избытков всех треугольных углов составляет $\frac{6}{2} \beta_j - 2 \sum_{i=1}^{4} \alpha_i = 2$. Следовательно,

$$\sum_{j=1}^{6} \beta_j - \sum_{i=1}^{4} \alpha_i = 1.$$

Рассмотрим произвольную выпуклую $k$-угольную парамиду. Обозначим через $\alpha$ величины $k$-угольного угла (при вершине парамиды), через $\bar{\alpha}$ сумму величины всех двумерных углов при основании парамиды и через $\bar{\beta}$ сумму величины всех двумерных углов, образованных ее боковыми гранями. Как и в случае теграэдра, вычислим сумму избытков по всем вершинам парамиды.

Из формулы (2) следует, что $\bar{\beta} - 2\alpha = \frac{k}{2} - 1$, а из формулы (1) получаем, что $\bar{\beta} + 2\beta - 2\bar{\alpha} = \frac{1}{2} k$, поэтому,

$$\beta - \bar{\alpha} + \alpha = \frac{1}{2},$$

$$\beta + \bar{\beta} - (\alpha + \bar{\alpha}) = \frac{k + 1}{2} - 1.$$

Таким образом, из формулы (3) и (5) вытекает, что как для теграэдра, так и для любой выпуклой $k$-угольной парамиды разносить между суммой величины всех двумерных углов и суммой величины всех многогранных углов при вершинах есть величины, зависящая molко от числа гранями парамиды.

Рассмотрим теперь произвольный выпуклый многогранник с $n$ гранями (рис. 6). Выберем произвольную внутреннюю точку $A$ и соединим ее со всем точками ребер многогранника. В результате получим разбиение многогранника на $n$ парамид.